Механические свойства материалов

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 11Следующая ⇒

Для оценки способности материала сопротивляться деформированию и разрушению в механике принято использовать силовые и деформационные показатели, определяемые либо по результатам кратковременных статических испытаний на растяжение-сжатие специально подготовленных стандартных образцов (в расчётах деталей при кратковременных перегрузках), либо по результатам длительных циклических испытаний образцов на изгиб или кручение. Для определения статических характеристик по результатам разрушающих испытаний строится диаграмма " напряжения-относительные удлинения", типичный вид которой представлен на Рис. 9.1.

Рис. 9.1 - Диаграмма " напряжения-относительные удлинения"

Определение характеристик длительной прочности ведётся на основе построения кривых усталости (кривых Веллера, рис. 4)

Рис. 9.2 – Диаграмма Веллера

Диаграмма имеет типичные участки:

участок ОА-участок упругого деформирования, выполняется закон Гука;

- предел пропорциональности;

АВ - участок, соответствующий течению материала, то есть деформированию без увеличения нагрузки на образец (площадка текучести);

- предел текучести.

На этом участке деформирования АВ структура материала изменяется, на поверхности образца появляются тёмные линии (линии Чернова), зеркальная поверхность образца становится матовой. - упругая (восстанавливаемая) деформация;

- пластическая (невосстанавливаемая) деформация, то есть деформация, остающаяся после снятия нагрузки на образец.

ВС - зона упрочнения, - предел прочности (или временное сопротивление), где Р_мах - максимальная нагрузка, выдерживаемая образцом, A_нач - начальная площадь поперечного сечения образца.

СД - участок падения условного напряжения (Р/A_нач) в образце,

СЕ-участок возрастания действительного напряжения в образце. На участке ОА образец испытывает только упругие, то есть исчезающие при снятии нагрузки деформации.

При нагружении образца до величины напряжений, превышающей предел пропорциональности, возникают пластические деформации, остающиеся после разгрузки образца. Повторное нагружение образца происходит упруго вплоть до величины первоначальных напряжений. Такое явление повышения предела пропорциональности получило название наклёпа, которое используется на практике для уменьшения пластических деформаций и, например, устранения провисания проводов линий электропередач.

Усталостная прочность

Находясь длительное время под действием переменных, чаще всего циклически изменяющихся нагрузок, детали машин и элементы конструкций разрушаются вследствие накопления в материале критической концентрации внутренних микроповреждений, приводящей к появлению усталостной трещины. Такое разрушение, рассматриваемое как временной процесс, получило название усталостного, а способность материала сопротивляться такому разрушению - выносливостью. Её количественной характеристикой является предел выносливости ( на Рис. 9.2) -таково максимальное значение напряжений, циклически изменяющихся в сечении стандартного образца (в частности, по симметричному циклу, Рис. 9.1), при котором образец выдерживает без разрушения базовое число циклов N_б. Это число достаточно велико, и для стальных образцов, например, составляет 10 млн. циклов.

Помимо материала, на выносливость реальной детали влияют также такие факторы, как размеры, состояние её поверхности, концентраторы напряжений в материале. Степень этого влияния характеризуют соответствующими коэффициентами, представляющими собой отношение предела выносливости стандартного образца диаметром 7 мм, изготовленного с идеально гладкой поверхностью без концентраторов напряжений, к пределу выносливости образцов-аналогов рассчитываемой детали. Совместное влияние перечисленных факторов на выносливость детали учитывается произведением указанных коэффициентов.

Все механические характеристики и коэффициенты влияния получают по результатам нескольких разрушающих испытаний и усредняют. Значения заносятся в таблицы и используются для механического расчёта изделий. Иногда для оценки величины временного сопротивления или предела выносливости пользуются косвенными методами, в частности методом, основанным на измерении твёрдости материала и её связи с временным сопротивлением при разрыве.

Твердость материала

Твёрдостью материала называют способность оказывать сопротивление механическому проникновению в его поверхностый слой другого твёрдого тела. Для определения твёрдости в поверхность материала с определённой силой вдавливается тело (индентор), выполненное в виде стального шарика, алмазного конуса или пирамиды. По размерам получаемого на поверхности отпечатка судят о твёрдости материала. В зависимости от способа измерения твёрдости материала, количественно её характеризуют числом твёрдости по Бринелю (НВ), Роквеллу (HRC) или Виккерсу (HV).

Указанные механические характеристики связаны между собой, поэтому их конкретные значения могут быть найдены расчётным путём на основе данных о твёрдости с помощью формул, полученных для конкретного материала с определённой термообработкой. Так, например, предел выносливости на изгиб сталей с твёрдостью 180-350 НВ равен примерно 1, 8 НВ, с твёрдостью 45-55 HRC - 18 HRC+150, связь предела выносливости с пределом прочности стали описывается соотношениями:

Конкретным образцам конструкционных материалов, а также выполненным из них изделиям, присуща индивидуальность прочностных и упругих характеристик. Разброс их значений для различных образцов, выполненных из одного и того же материала, обусловлен статистической природой прочности твёрдых тел, различием структур внешне одинаковых образцов. Из-за неопределённости реальных механических характеристик материала, неопределённости некоторых внешних нагрузок, действующих на технический объект, погрешности расчётов для обеспечения безопасной работы проектируемых конструкций должны быть приняты соответствующие проектному этапу обеспечения надёжности меры предосторожности. В качестве такой меры используется понижение в n раз относительно опасного напряжения материала (предела прочности, предела текучести, предела выносливости или предела пропорциональности) величины максимально допускаемых напряжений, используемых в условии прочности. Величина n получила название нормативного коэффициента запаса прочности:

n = n1 * n2 * n3,

где n1-учитывает среднюю точность определения напряжений, n2-учитывает неопределённость механических характеристик материала, n3-учитывает среднюю степень ответственности проектируемой детали.

Модуль Юнга

Модуль Юнга (модуль упругости) — коэффициент, характеризующий сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга. Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

где:

E — модуль упругости, измеряемый в паскалях

F — сила в ньютонах,

S — площадь поверхности, по которой распределено действие силы,

l — длина деформируемого стержня,

x — модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l).

Модуль сдвига

Модулем сдвига (обозначается буквой G или μ ), называется отношение касательного напряжения к сдвиговой деформации (Рис. 9.3):

где - касательное напряжение;

F — действующая сила;

A — площадь, на которую действует сила;

- сдвиговая деформация;

Δ x — смещение;

I — начальная длина.

Рис. 9.3 – Сдвиговая деформация.

Модуль сдвига измеряется в ГПа (гигапаскалях) и характеризует упругие свойства материала.

Материал	Значение модуля сдвига (ГПа) (при комнатной температуре)
Алмаз	478.
Сталь	79.3
Медь	44.7
Титан	41.4
Стекло	26.2
Алюминий	25.5
Полиэтилен	0.117
Резина	0.0006

Коэффициент Пуассона

Коэффициент Пуассона (обозначается как μ ) характеризует упругие свойства материала.

, где

μ — коэффициент Пуассона;

— деформация в поперечном направлении (отрицательна при осевом растяжении, положительна при осевом сжатии);

— продольная деформация (положительна при осевом растяжении, отрицательна при осевом сжатии).

При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (то есть продольная длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает, во сколько раз изменяется поперечное сечение деформируемого тела при его растяжении или сжатии. Для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно упругого — 0, 5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0, 3, для резины он примерно равен 0, 5. (Измеряется в относительных единицах: мм/мм, м/м).

Модуль сдвига связан с модулем Юнга через коэффициент Пуассона:

где ν - значение коэффициента Пуассона для данного материала.

Аускетики

Существуют также материалы (преимущественно полимеры), у которых коэффициент Пуассона отрицателен, такие материалы называют ауксетиками. Это значит, что при приложении растягивающего усилия поперечное сечение тела увеличивается.

К примеру бумага из однослойных нанотрубок имеет положительный коэффициент Пуассона, а по мере увеличения доли многослойных нанотрубок наблюдается резкий переход к отрицательному значению − 0, 20.

Отрицательным коэффициентом Пуассона обладают многие анизотропные кристаллы. Так как коэффициент Пуассона для таких материалов зависит от угла ориентации кристаллической структуры относительно оси растяжения. Отрицательный коэффициент обнаруживается у таких материалов как литий (минимальное значение равно -0.54), натрия (-0.44), калия (-0.42), кальция (-0.27), меди (-0.13) и т. д. 67% кубических кристаллов из таблицы Менделеева имеют отрицательный коэффициент Пуассона.

Достоверность МКЭ

Расчет по МКЭ базируется на двух государственных стандартах (ГОСТ Р 50-54-42-88 «Расчеты и испытания на прочность. Метод конечных элементов и программы расчета на ЭВМ пространственных элементов конструкций в упругопластической области деформирования». ГОСТ ISO 10303-104: 2000 «Системы промышленной автоматизации и интеграция. Представление данных о продукции и обмен данными. Часть 104. Интегрированный прикладной источник: анализ конечных элементов»), устанавливающих порядок производства прочностных расчетов методом конечных элементов (МКЭ).

МКЭ является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связанно с решением задач космических исследований (1950г.), и первые он был опубликован в работе М.Тернера, Р.Клужа, Г.Мартина и Л.Топпа (Turner M.J., Clouhg R. W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures // J. Aeronaut. Sci. – 1956. – №23. – P.805-824). Эта работа способствовала появлению других работ – был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам строительной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1965г. Р.Мелош (Melosh R.J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness method. // J. Am. Inst. For Aeronautics and Astronautics. – 1965. - №1. – P.1631-1637), после чего показанная им связь МКЭ с процедурой минимизации функционала привела к широкому использованию МКЭ при решении задач в других областях техники. В первых работах с помощью метода решались задачи распространения тепла. Затем МКЭ был применен к задачам гидромеханики. Область применения существенно расширилась, когда О.Зенкевичем (Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир. – 1975. – 541с) на основе глубокого анализа развития и апробации метода было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галеркина и метод наименьших квадратов.

Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений. МКЭ из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, в том числе и краевых задач теории упругости и теории пластичности. В СССР большой вклад в развитие МКЭ и его применение к прочностным расчетам в машиностроении внес уфимский ученый Р.Р.Мавлютов (Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах конструкций. – М.: Наука. – 1996. – 240с), которым показано, что МКЭ является одним из наиболее эффективных методов расчета. Он, в частности, позволяет с высокой точностью описать геометрию деталей сложной конфигурации, их напряженно-деформированное состояние в зонах больших градиентов напряжений.

С помощью МКЭ не представляет затруднений расчет конструкций из разнородных материалов, просто и точно учитываются реальные граничные условия, характеризующие контактные взаимодействия, адгезионные эффекты и т.п.

Интересным примером достоверности метода является сравнение результатов его применения с результами натурных краш-тестов.

Рис. 10.1 – Расчетная и фактическая деформация автомобиля Dodge Neon.

На Рис. 9.1 показано сравнение расчетной и фактической деформации автомобиля.

Рис. 10.2 - Cопоставление расчетных и фактических замедлений, скоростей и перемещений центра масс.

Как видно из Рис. 9.1, совпадение расчетной и фактической формы деформированного автомобиля очень хорошее. Из Рис. 9.2 видно, что расхождение расчетных и фактических параметров удара незначительное, и, например, расчетное и фактическое конечное положение центра масс автомобиля различаются не более чем на 50мм.

Институтом NCAC был всесторонне исследован (Zaouk A., Bedewi N., Kan C., Marzougui D. Validation of non-linear finite element vehicle model using multiple impact date. – The George Washington University, NCAC) МКЭ-аналог пикапа Шевроле С-1500, показанный на Рис. 9.3.

Рис. 10.3 - МКЭ-модель пикапа Chevrolet C1500

Рис. 10.4 - Сравнение моделирования и натурного эксперимента.

Сначала аналог была испытан на фронтальный удар в плоский неподвижный жесткий барьер. Как и аналог Доджа, аналог пикапа Шевроле показал хорошее совпадение с результатами краш-теста (Рис. 9.4). Затем было произведено испытание на скользящий удар пикапа в бетонное дорожное ограждение на скорости около 100км/ч. На Рис. 9.4 показано сопоставление кадров видеосъемки с расчетными результатами на виде сверху. Видно, что результат расчета хорошо согласуется с фактическим движением пикапа.

Для полноты на Рис. 9.5 показано сопоставление кадров видеосъемки с расчетными результатами на виде спереди.

Рис. 10.5 – Сравнение расчетного и фактического движения автомобиля при скользящем ударе

Здесь следует отметить, что скользящий удар является длительным и, как правило, корректно не воспроизводится иными, чем расчет МКЭ, методами реконструкции ДТП.

Рис. 10.6 - Расчетная (жирная линия) и фактическая (тонкая линия) зависимости скорости автомобиля от времени

На Рис. 9.6 показана расчетная и фактическая олзависимость скорости центра масс пикапа от времени. Видно, что в период скольжения пикапа по ограждению скорости совпадают с высокой точностью. После отделения пикапа от ограждения расчетная скорость отличается от фактической скорости на величину 1-2м/с=3.6-7.2км/ч, причем расчетная скорость выше фактической. Это обусловлено тем, что расчетная величина затрат кинетической энергии на деформацию меньше фактической, так как каким бы ни был подробным МКЭ-аналог автомобиля, учесть все элементы конструкции не представляется возможным.

Матрицы в CAE-ситемах

Многие технические задачи в приближенных расчетах сводятся к решению систем линейных уравнений в матричном виде, кроме того, при решении инженерных задач исходные и обрабатываемые табличные данные могут быть представлены для компьютерных вычислений в виде матриц.

Квадратная матрица

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Вектор

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-столбец или вектор-строка соответственно).

Диагональная матрица

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Единичная матрица

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Следует отметить особую роль единичной матрицы, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел: при умножении произвольной квадратной матрицы на единичную получают исходную матрицу: AE = EA = A.

Транспонированная матрица

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной.

Сложение и умножение матриц

При сложении матриц складываются их элементы с одинаковыми индексами. Сложение проводится только для матриц одинаковых размеров. При умножении матрицы на число каждый элемент исходной матрицы умножается на данное число. Произведение матриц вычисляется как сумма произведений элементов i-ой строки матрицы на соответствующие элементы j-го столбца матрицы. Операция умножения проводится для двух матриц, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Коммутирующие матрицы

Произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает в общем случае перестановочным свойством. Матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, называют коммутирующими матрицами.

Эквивалентные матрицы

Эквивалентные матрицы – матрицы, которые могут быть получены одна из другой с помощью элементарных преобразований, а именно: 1) перестановкой местами двух строк матрицы; 2) умножением всех элементов строки на число, отличное от нуля; 3) сложением двух строк.

Определитель матрицы

Определитель матрицы или ее детерминант – вещественное число, вычисляемое по элементам матрицы согласно определенным правилам. Определитель матрицы порядка более 2 вычисляется через определители этой матрицы низших порядков.

Минор матрицы

Минор элемента определителя матрицы – определитель, полученный из исходного после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Присоединенная матрица

Присоединенная матрица имеет элементы, равные алгебраическим дополнениям элементов исходной матрицы.

Обратная матрица

Обратная матрица – квадратная матрица того же порядка, произведение которой на исходную матрицу равно единичной матрице. Обратная матрица находится делением присоединенной матрицы на определитель исходной матрицы. Процедура нахождения обратной матрицы используется при решении системы линейных алгебраических уравнений. Систему уравнений можно представить в матричном виде. Решение матричного уравнения можно свести к нахождению обратной матрицы, поскольку умножив слева обе части уравнения на обратную матрицу, получаем непосредственно вектор-столбец неизвестных значений.

Вырожденная матрица

Вырожденная матрица – матрица, определитель которой равен нулю. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Разреженная матрица

Разреженная матрица – матрица, большинство элементов которой равно нулю. Вводится понятие плотности матрицы – отношение числа ненулевых элементов к общему числу элементов матрицы. Разреженные матрицы формируются при переходе к компьютерному решению различных задач с помощью программ компьютерного инженерного анализа. Матрицы в решаемых при этом уравнениях, как правило, симметричны относительно главной диагонали и имеют разреженную структуру. При решении задач на прочность и жесткость конструкций формируется глобальная матрица жесткости системы, в тепловых задачах матрица имеет смысл теплового сопротивления.

Ленточная матрица

Ленточная матрица – разреженная матрица с ленточной структурой ненулевых элементов. Ленточные матрицы формируются при выполнении вычислительных процедур в САЕ-программе. Для ленточных матриц вводят понятие ширины ленты.

Трехдиагональная матрица

Трехдиагональная матрица – матрица, все элементы которой, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. Важность трехдиагональной матрицы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица – такая матрица, для которой выполняется условие: АТА = Е, где АТ – транспонированная матрица, Е – единичная матрица. Матрица, обратная ортогональной, эквивалентна транспонированной.

Сингулярная матрица

Сингулярная матрица – такая матрица, между строками которой (а также между столбцами) существует линейная зависимость; определитель такой матрицы равен нулю. Решение системы линейных алгебраических уравнений в САЕ-программе приводит к обработке матрицы большой размерности. Если матрица является сингулярной и ее определитель равен нулю, решаемая система уравнений является вырожденной и однозначное решение для нее отсутствует. Понятие вырожденной системы линейных уравнений означает, что фактически сама система является недостаточно определенной для решения, поскольку некоторые уравнения, входящие в такую систему, представляются линейной комбинацией других уравнений. Тогда существует либо бесконечное множество решений, либо не существует ни одного.

Симметрическая матрица

Симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е. нижний треугольник квадратной матрицы является «зеркальным отражением» верхнего треугольника. Разреженная ленточная симметрическая матрица может быть объектом обработки в САЕ-программах при решении некоторых задач. Симметрическая положительно определенная матрица (в американской литературе – Symmetric Positive Defined или сокращенно SPD) формируется в САЕ-программах при решении задач о прочности и жесткости конструкций.

Треугольная матрица

Треугольная матрица формируется при выполнении вычислительных процедур.

Факторизация матриц

Факторизацией матрицы называют такое преобразование, которое ведет к формированию эквивалентной треугольной матрицы. Один шаг факторизации формирует одну строку треугольной матрицы. Такое преобразование производят при решении системы алгебраических уравнений методом исключения (Гаусса), когда коэффициенты системы представлены в матричном виде.

Матричное уравнение

В соответствии с правилом умножения матриц система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b. Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы. Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒