Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий (т.е. вероятность их суммы) равна сумме вероятностей каждого в отдельности без вероятности их совместного появления:

Теорема о вероятности полной группы событий

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

Таким образом сумма событий А₁, А₂…А_n есть событие достоверное.

 

Противоположными называют два единственно возможных события , образующих полную группу.

Например, попадание и промах при одном выстреле – противоположные события.

Теорема о вероятностях противоположных событий

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

В противном случае события называют зависимыми.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Вероятность совместного появления двух независимых событий (т.е. вероятность произведения этих событий) равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема о вероятности появления хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведениями вероятностей противоположных событий :

,

где А – появление хотя бы 1 из событий ,

- вероятности событий .

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Формула полной вероятности, формула Байеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий которые образуют полную группу. Эти события называют ещё гипотезами. Известны вероятности гипотез и соответствующие условные вероятности события А .

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную

группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Если событие А уже произошло, для нахождения так называемой переоценённой вероятности гипотез применяется формула Байеса:

 

Повторные независимые испытания, формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причём вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Будем считать, что вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна p. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании равна q=1-p.

Вероятность того, что при независимых испытаниях интересующее нас событие наступит ровно раз определяется по формуле Бернулли

.

Здесь - число сочетаний из элементов по , определяется по формуле

 

Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях достаточно трудно, так как требуется выполнение действий над громадными числами. Приведённая ниже теорема даёт асимптотическую формулу, которая позволяет приближённо найти вероятность появления события ровно раз при испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

 

 

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях ровно раз приближённо определяется по формуле

при .

Эта формула называется ещё формулой Муавра-Лапласа.

Значения функции находят по таблице (см. приложение 1) для положительных значений аргумента. Для отрицательных значений пользуются той же таблицей, так как функция чётна, т.е. .

Для вычисления вероятности того, что интересующее нас событие А появится в испытаниях не менее и не более раз применяется

 

123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. АРХЕОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ БИБЛЕЙСКИХ СОБЫТИЙ
2. Беспокойство никоим образом не отражает степень компетентности человека или характер предстоящих событий.
3. В. С. Соловьев. «Смысл современных событий»
4. Введенное формализованное описание сложной системы как условно/событийной системы позволяет не только описывать ее структуру, но и анализировать динамические процессы, происходящие в ней.
5. Внешние эффекты (экстерналии) и теорема Коуза-Стиглера. Природа и формы проявления внешних эффектов
6. Все ценности в драме вырастают через конфликты событий.
7. Геометрический метод сложения сил
8. Главный ключ к предсказаниям (вероятность событий)
9. Даты важнейших событий истории мировой экономики
10. Институционализация отечественной социологии после событий 1917 г.
11. Интегральная теорема Лапласа
12. Источники неблагоприятных случайных событий