Формула полной вероятности, формула Байеса.

Задача № 6

Имеются 4 урны с шарами. В первых трех по 1 белому и 1 черному, в четвертой - 4 белых и 1 черный.

1. Из наугад взятой урны достали шар. Найти вероятность того, что он белый.

2. Наугад вынутый шар оказался белым. Найти вероятность того, что он из четвертой урны.

Решение .

1. Пусть событие А состоит в том, что вынутый шар – белый. Это событие наступает в результате появления одного из двух несовместных событий (гипотез): В₁ – выбрали одну из первых трех урн;

В₂ – выбрали четвертую урну.

Очевидно, вероятности гипотез равны Р(В₁)= , Р(В₂)= .

Тогда, по формуле полной вероятности

Здесь - вероятность извлечь белый шар из урны с одним белым, одним черным шарами, - вероятность извлечь белый шар из четвертой урны.

Очевидно = , = .

2. Событие А уже произошло (вынули белый шар). Нужно найти так называемую переоцененную вероятность гипотезы В₂ - . Применяем формулу Байеса

Замечание: при сравнении переоцененной вероятности с безусловной убеждаемся, что они различны.

Ответ:

1. Вероятность того, что из наугад взятой урны достали белый шар, равна 0, 575.

2. Вероятность того, что белый шар оказался из четвертой урны, равна 0, 348.

Распределение Пуассона

Задача №7

Корректура в 400 страниц содержит 800 опечаток. Найти вероятность того, что наугад взятая страница содержит 3 опечатки.

Решение.

Находим среднее число опечаток на одной странице

Применяем формулу Пуассона для =3. Получаем, что искомая вероятность равна .

Локальная, интегральная теоремы Лапласа, теорема Бернулли.

Задача №8

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0, 25.

Решение.

По условию, n=243; k=70; p=0, 25; q=0, 75. Так как n=243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

, где .

Найдем значение x:

По таблице значений функции

найдем .

Искомая вероятность

Ответ: вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, равна 0, 0231.

Задача №9

Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна p=0, 8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Решение.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

где Ф(x) – функция Лапласа,

а) по условию, n=100; p=0, 8; q=0, 2; k₁=75; k₂=90. Вычислим x¢ и x¢ ¢:

;

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. Ф(-x)=-Ф(x), получим

По таблице значений функции найдем:

Ф(2, 5)=0, 4938; Ф(1, 25)=0, 3944.

Искомая вероятность

Р₁₀₀(75; 90)=0, 4938+0, 3944=0, 8882.

б) требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75 либо 76, …, либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять k₁=75, k₂=100. Тогда

;

По таблице приложения 2 найдем Ф(1, 25)=0, 3944; Ф(5)=0, 5.

Искомая вероятность

Р₁₀₀(75; 100)=Ф(5)-Ф(-1, 25)=Ф(5)+Ф(1, 25)=0, 5+0, 3944=0, 8944.

в) События – “А появилось не менее 75 раз” и “А появилось не более 74 раз” противовоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице.

Следовательно, искомая вероятность Р₁₀₀(0; 74)=1- Р₁₀₀(75; 100)=1-0, 8944=0, 1056.

Задача №10

Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 04.

Решение.

По условию, n=625; p=0, 8; q=0, 2; =0, 04.

Требуется найти вероятность

Воспользуемся формулой .

Имеем

По таблице приложения 2 найдем Ф(2, 5)=0, 4938. Следовательно, 2Ф(2, 5)=2·0, 4938=0, 9876.

Ответ: искомая вероятность приближенно равна 0, 9876.

Некоторые дополнительные задачи

Задача «О шарах»

В урне 2 белых, 3 черных, 1 красный шар. Наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что это будут белый и черный шары.

Решение.

I способ (шары извлекаются последовательно).

Рассмотрим интересующее нас событие А - появление одного черного и одного белого шара – как сумму событий А₁ – первый шар белый, второй черный и А₂ – первый черный, второй белый.

Тогда А= А₁+ А₂, т.е. событие А состоит в появлении либо события А₁, либо события А₂.

В свою очередь, А₁ есть произведение (совместное наступление) событий В₁ и С₁:

В₁ – первым извлекли белый шар,

С₁ – вторым извлекли черный шар.

Поскольку В₁ и С₁ события зависимые, то P(A₁)=P(B₁) ∙ (C₁).

Найдем вероятность события B₁.

Всего шаров в урне шесть, из них 2 белых. Следовательно, вероятность извлечь белый шар равна 2/6.

Найдем (С₁). Событие С₁ наступает после события В₁, в урне осталось 5 шаров, из них 3 черных.

Следовательно, (С₁)= .

Тогда P(A₁)=P(B₁) ∙ (C₁)= .

Аналогично найдем вероятность события А₂ (сначала черный, потом белый).

Введем события В₂ и С₂:

В₂ ‑ первым появился черный шар,

С₂ – вторым появился белый шар.

Тогда P(B₂) = и искомая вероятность P(A₂)=P(B₂) ∙ (C₂)= .

Наконец, интересующая нас вероятность события А равна

P(A)=P(A₁) + P(A₂) = .

II способ (шары извлекаются одновременно)

Согласно классической формуле вероятности P=m/n, где m - число благоприятных исходов, n – общее число исходов.

Общее число n исходов опыта в данной задаче (извлечение двух шаров из шести возможных) определяется числом способов, какими можно извлечь два шара из шести. Это число сочетаний из шести по два, n= .

При этом благоприятное число исходов m = - из двух белых извлекаем один { } способами и из трех черных извлекаем один { } способами.

Применяя формулу сочетаний , получим

. Окончательно, P= .

Ответ: вероятность того, что из двух извлеченных наудачу шаров будет один белый и один черный, равна .

Задача «О лгунах»

В городе N жителей. Некто пустил слух, рассказав «новость» 1-му жителю. Тот рассказал следующему и т.д. Какова вероятность того, что 10-й житель расскажет «новость» тому, кто узнал ее первым.

Решение.

Для того, чтобы произошло интересующее нас событие А – 10-й житель рассказал «новость» первому, необходимо, чтобы первые девять этого не сделали. Очевидно, что первые два жителя из этих девяти не сделают этого с вероятностью, равной единице.

Остальные семь – с вероятностью, равной . Десятый же расскажет «новость» первому с вероятностью , т.к. благоприятный исход один, общее - N-2, поскольку в общем случае новость рассказывается любому жителю из N за исключением того, от кого услышана.

Таким образом, искомая вероятность определяется как .

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ

I вариант

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры нечетные.

2. N охотников договорились стрелять по дичи в такой последовательности: следующий стреляет лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания каждого равна ½. Найти вероятность того, что будет произведено 2 выстрела.

3. Слово Т О Л О К Н О разрезали на буквы, перемешали их и извлекли 3 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово Т О Н.

4. Вероятность сработать автомату при опускании одной монеты неправильно – 0, 01.

Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если опущено 200 монет.

5. Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости три очка появятся ровно 1 раз?

6. Сборщик получил 2 коробки одинаковых деталей с завода №1 и 3 коробки деталей с завода №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0, 9, а завода №2 – 0, 7. Из наудачу взятой коробки сборщик наудачу извлек деталь.

А. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

В. Извлеченная деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она 1) с завода №1; 2) с завода №2.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 2. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 3 вызова.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 8. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 100 анализах будет получено ровно 75 положительных результатов.

9. В партии 60% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 200 деталей первосортных не менее 120 и не более 150 штук.

10. Применяя теорему Бернулли, определить, сколько нужно произвести выстрелов по мишени, чтобы с вероятностью, равной 0, 9, относительная частота попаданий отличалась от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 01.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 8.

II вариант

1. Из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выбирают с возвратом 4 цифры.

Найти вероятность того, что в выборке все цифры одинаковые.

2. В ряду 10 стульев. Какова вероятность того, что при произвольном рассаживании десяти человек 3 определенных лица окажутся рядом?

3. Слово Б У Л А В К А разрезали на буквы, перемешали их и извлекли 4 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово Л А В А.

4. Вероятность сработать автомату при опускании одной монеты неправильно – 0, 02.

Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если опущено 100 монет.

5. Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости число очков, кратное трем, появится ровно три раза?

6. Сборщик получил 2 коробки одинаковых деталей с завода №1 и 3 коробки деталей с завода №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0, 8, а завода №2 – 0, 6. Из наудачу взятой коробки сборщик наудачу извлек деталь.

А. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

В. Извлеченная деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она 1) с завода №1; 2) с завода №2.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 3. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за 1 минуту поступит 2 вызова.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 7. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 150 анализах будет получено ровно 100 положительных результатов.

9. В партии 50% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 деталей первосортных не менее 160 и не более 200 штук.

10. Применяя теорему Бернулли, определить, сколько нужно произвести выстрелов по мишени, чтобы с вероятностью, равной 0, 99, относительная частота попаданий отличалась от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 1.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 9.

III вариант

1. На карточках написаны цифры от 1 до 9. Карточки перемешивают, наугад берут 4 из них и раскладывают в порядке появления. Какова вероятность получить при этом число 5678?

2. Двенадцать человек садятся за круглый стол. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица сядут порознь?

3. Слово В О Д О Р О Д разрезали на буквы, перемешали и извлекли 4 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово Д В О Р.

4. Чему равна вероятность наступления события в каждом испытании, если произведено 49 независимых испытаний, а наивероятнейшее число наступлений события из них равно 30?

5. Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости три очка появятся ровно три раза?

6. Сборщик получил 2 коробки одинаковых деталей с завода №1 и 3 коробки деталей с завода №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0, 7, а завода №2 – 0, 5. Из наудачу взятой коробки сборщик наудачу извлек деталь.

А. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

В. Извлеченная деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она 1) с завода №1; 2) с завода №2.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 4. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за 0, 5 минуты поступит 3 вызова.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 75. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 20 анализах будет получено ровно 13 положительных результатов.

9. В партии 70% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 400 деталей первосортных не менее 260 и не более 300 штук.

10. Применяя теорему Бернулли, определить, сколько нужно произвести выстрелов по мишени, чтобы с вероятностью, равной 0, 85, относительная частота попаданий отличалась от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 05.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 8.

IV вариант

1. Из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выбирают с возвратом 4 цифры.

Найти вероятность того, что в выборке три цифры одинаковые.

2. В ряду 9 стульев. Какова вероятность того, что при произвольном рассаживании 9 человек 3 определенных лица окажутся рядом?

3. Слово П О Л О Т Н О разрезали на буквы, перемешали их и извлекли 3 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово Л О Т.

4. Вероятность сработать автомату при опускании одной монеты неправильно – 0, 02.

Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если опущено 200 монет.

5. Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости число очков, кратное трем, появится ровно 4 раза?

6. Сборщик получил 2 коробки одинаковых деталей с завода №1 и 3 коробки деталей с завода №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0, 5, а завода №2 – 0, 8. Из наудачу взятой коробки сборщик наудачу извлек деталь.

А. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

В. Извлеченная деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она 1) с завода №1; 2) с завода №2.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 5. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за 0, 2 минуты поступит 2 вызова.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 8. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 30 анализах будет получено ровно 20 положительных результатов.

9. В партии 80% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 500 деталей первосортных не менее 350 и не более 450 штук.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 9.

V вариант

1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, но помня, что эти цифры различны, набрал наугад. Определить вероятность того, что набраны нужные цифры.

2. Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается, когда каждый диск занимает определенное положение относительно корпуса замка.

Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

3. Слово С Е Р Е Б Р О разрезали на буквы, перемешали и извлекли 3 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово Б О Р.

4. Вероятность сработать автомату при опускании одной монеты неправильно – 0, 03. Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если опущено 150 монет.

5. Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости три очка не выпадут ни разу?

6. Сборщик получил 2 коробки одинаковых деталей с завода №1 и 3 коробки деталей с завода №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0, 6, а завода №2 – 0, 8. Из наудачу взятой коробки сборщик наудачу извлек деталь.

А. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

В. Извлеченная деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она 1) с завода №1; 2) с завода №2.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 1. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за 3 минуты поступит 4 вызова.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 85. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 25 анализах будет получено ровно 22 положительных результатов.

9. В партии 90% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 600 деталей первосортных не менее 520 и не более 560 штук.

10. Применяя теорему Бернулли, определить, сколько нужно произвести выстрелов по мишени, чтобы с вероятностью, равной 0, 95, относительная частота попаданий отличалась от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 05.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 8.

VI вариант

1. Из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выбирают с возвратом 4 цифры. Найти вероятность того, что в выборке только 2 одинаковые цифры.

2. В ряду 8 стульев. Какова вероятность того, что при произвольном рассаживании 8 человек 3 определенных лица окажутся рядом?

3. Слово С У Л Т А Н разрезали на буквы, перемешали и извлекли 4 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово С Т А Н.

4. Вероятность сработать автомату при опускании одной монеты неправильно – 0, 01.

Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если опущено 250 монет.

5. Производится 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0, 8. Найти вероятность ровно 5-ти попаданий.

6. Имеются три урны с шарами. В первой 4 белых и 3 черных, во второй 5 белых и 2 черных, в третьей 2 белых и 5 черных. Выбирают наугад одну из урн и вынимают 1 шар.

А. Найти вероятность того, что он белый.

В. Вынутый шар оказался белым. Найти вероятности того, что он:

1) из первой урны;

2) из второй урны;

3) из третьей урны.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 2. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 5 вызовов.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 9. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 35 анализах будет получено ровно 30 положительных результатов.

9. В партии 40% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 100 деталей первосортных не менее 40 и не более 50 штук.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 7.

VII вариант

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры нечетные.

2. Из 11 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу четырех билетов два выигрышных.

3. Слово В Ы Б О Р К А разрезали на буквы, перемешали и извлекли 4 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово К Р А Б.

4. Вероятность сработать автомату при опускании одной монеты неправильно – 0, 03.

Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если опущено 50 монет.

5. Производится 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0, 8. Найти вероятность ровно 4-х попаданий.

6. Имеются три урны с шарами. В первой 3 белых и 7 черных, во второй 4 белых и 6 черных, в третьей 5 белых и 5 черных. Выбирают наугад одну из урн и вынимают 1 шар.

А. Найти вероятность того, что он белый.

В. Вынутый шар оказался белым. Найти вероятности того, что он:

1) из первой урны;

2) из второй урны;

3) из третьей урны.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 6. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 100 анализах будет получено ровно 55 положительных результатов.

9. В партии 30% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 200 деталей первосортных не менее 60 и не более 70 штук.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 75.

VIII вариант

1. Из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выбирают с возвратом 4 цифры. Найти вероятность того, что в выборке по 2 пары одинаковых цифр.

2. Семь человек случайным образом садятся на семь поставленных в ряд стульев. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?

3. Слово К Р Е П О С Т Ь разрезали на буквы, перемешали и извлекли 4 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово П О С Т.

4. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных было равно 50, если вероятность наугад взятой детали оказаться бракованной равна 0, 1?

5. Производится 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0, 9. Найти вероятность того, что будет не менее 5 попаданий.

6. Имеются три урны с шарами. В первой 4 белых и 5 черных, во второй 3 белых и 6 черных, в третьей 2 белых и 7 черных. Выбирают наугад одну из урн и вынимают 1 шар.

А. Найти вероятность того, что он белый.

В. Вынутый шар оказался белым. Найти вероятности того, что он:

1) из первой урны;

2) из второй урны;

3) из третьей урны.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 4. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за минуту поступит 2 вызова.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 65. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 40 анализах будет получено ровно 25 положительных результатов.

9. В партии 20% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 деталей первосортных не менее 50 и не более 60 штук.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 9.

IX вариант

1. На карточках написаны цифры от 1 до 9. Карточки перемешивают, наугад берут 4 из них и раскладывают в порядке появления. Какова вероятность получить нечетное число?

2. N охотников стреляют по дичи в такой последовательности: каждый стреляет лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания каждого – ½.

Найти вероятность того, что будет произведено N-2 выстрела.

3. Сколько перестановок можно получить из букв слова К О М И С С И Я?

Сколько перестановок начинается с первой буквы слова и кончается последней?

Сколько таких перестановок, в которых 2 одинаковые гласные стоят рядом?

4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле – 0, 8.

Найти наивероятнейшее число попаданий при 14 выстрелах.

5. Производится 10 выстрелов по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле 0, 9.

Найти вероятность того, что будет не менее 9 попаданий.

6. Имеются три урны с шарами. В первой 4 белых и 4 черных, во второй 3 белых и 5 черных, в третьей 2 белых и 6 черных. Выбирают наугад одну из урн и вынимают 1 шар.

А. Найти вероятность того, что он белый.

В. Вынутый шар оказался белым. Найти вероятности того, что он:

1) из первой урны; 2) из второй урны; 3) из третьей урны.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 5. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за 0, 2 минуты поступит 3 вызова.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 5. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 45 анализах будет получено ровно 20 положительных результатов.

9. В партии 10% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 400 деталей первосортных не менее 35 и не более 45 штук.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 9.

X вариант

1. Из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выбирают с возвратом 4 цифры.

Найти вероятность того, что в выборке все цифры разные.

2. Буквенный замок содержит на общей оси 3 диска, каждый из которых разделен на 8 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается, когда каждый диск занимает определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

3. Слово К В А Р Т И Р А разрезали на буквы, перемешали и извлекли 3 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово Т И Р.

4. Вероятность изготовления стандартной детали в некоторых условиях – 0, 98. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей из 625.

5. Какова вероятность того, что при десяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно пять раз?

6. Имеются три урны с шарами. В первой 2 белых и 4 черных, во второй 3 белых и 3 черных, в третьей 1 белых и 5 черных. Выбирают наугад одну из урн и вынимают 1 шар.

А. Найти вероятность того, что он белый.

В. Вынутый шар оказался белым. Найти вероятности того, что он:

1) из первой урны;

2) из второй урны;

3) из третьей урны.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 6. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что за 0, 5 минуты поступит 4 вызова.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 55. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 50 анализах будет получено ровно 25 положительных результатов.

9. В партии 75% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 500 деталей первосортных не менее 350 и не более 400 штук.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 7.

XI вариант

1. Производится прием кодовых операций, содержащих 4 цифры от 1 до 4. Определить вероятность того, что в принятой комбинации цифры образуют последовательность 1, 2, 3, 4.

2. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

3. Из букв слова М У Ж Е С Т В О составляются четырехбуквенные слова.

Определить:

а) сколько таких слов можно получить?

б) сколько таких слов начинается с буквы «М»?

в) сколько таких слов заканчивается гласной буквой?

4. Вероятность сработать автомату при опускании одной монеты неправильно – 0, 01. Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если опущено 250 монет.

5. Вероятность попадания по быстродвижущейся цели при автоматической наводке орудия равна 0, 7. Определить вероятность 5 попаданий при 10 выстрелах.

6. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать одной из трех партий с вероятностями 0, 2; 0, 5; 0, 3. Вероятности того, что лампа проработает определенное число часов, равны соответственно 0, 1; 0, 2; 0, 4.

А. Определить вероятность того, что наугад взятая лампа проработает заданное число часов.

В. Наугад взятая лампа проработала заданное число часов. Найти вероятность того, что 1) лампа принадлежит 1-й партии;

2) 2-й партии; 3) 3-й партии.

7. Корректура в 500 страниц содержит 1500 опечаток. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит 1 опечатку.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 7. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 30 анализах будет получено ровно 25 положительных результатов.

9. В партии 70% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 1000 деталей первосортных не менее 500 и не более 700 штук.

10. Применяя теорему Бернулли, определить вероятность того, что при 40 выстрелах по мишени относительная частота попаданий отклонится от постоянной вероятности, не более чем на 0, 01.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 7.

XII вариант

1. Производится прием кодовых операций, содержащих 4 цифры от 1 до 4. Определить вероятность того, что в принятой последовательности цифра 1 оказалась последней.

2. Из 15-ти билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу четырех билетов один выигрышный.

3. Из букв слова М У З Ы К А Н Т составляются четырехбуквенные слова.

Определить:

а) сколько таких слов можно получить?

б) сколько таких слов начинается с буквы «М»?

в) сколько таких слов заканчивается гласной буквой?

4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле – 0, 9.

Найти наивероятнейшее число попаданий при 15 выстрелах.

5. Вероятность того, что кинокамера, взятая напрокат, будет возвращена исправной, равна 0, 8. Какова вероятность того, что из 4-х кинокамер, взятых напрокат, три окажутся неисправными?

6. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать одной из трех партий с вероятностями 0, 4; 0, 5; 0, 1. Вероятности того, что лампа проработает определенное число часов, равны соответственно 0, 7; 0, 8; 0, 9.

А. Определить вероятность того, что наугад взятая лампа проработает заданное число часов.

В. Наугад взятая лампа проработала заданное число часов.

Найти вероятность того, что 1) лампа принадлежит 1-й партии;

2) 2-й партии;

3) 3-й партии.

7. Корректура в 600 страниц содержит 1200 опечаток. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит 1 опечатку.

8. Вероятность положительного результата при химическом анализе равна 0, 8. Применяя формулу Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 35 анализах будет получено ровно 24 положительных результатов.

9. В партии 80% деталей 1-го сорта. Применяя интегральную теорему Лапласа, найти вероятность того, что среди взятых наудачу 900 деталей первосортных не менее 700 и не более 800 штук.

10. Применяя теорему Бернулли, определить вероятность того, что при 30 выстрелах по мишени относительная частота попаданий отклонится от постоянной вероятности не более чем на 0, 01.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 7.

XIII вариант

1. Определить вероятность того, что номер первой встречающейся автомашины не содержит одинаковых цифр.

2. Из 15 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу шести билетов: а) оба выигрышных; б) оба проигрышных.

3. Из букв слова М У Ш К Е Т Е Р составляются четырехбуквенные слова.

Определить:

а) сколько таких слов можно получить?

б) сколько таких слов начинается с буквы «М»?

в) сколько таких слов заканчивается гласной буквой?

4. В результате многолетних наблюдений для некоторой местности было установлено, что вероятность первого июля быть дождливым днем равна 0, 4. Найти наивероятнейшее число дождливых дней первого июля за ближайшие 50 лет.

5. Вероятность попадания в цель при одном выстреле – 0, 85.

Найти вероятность 8 попаданий при 10 выстрелах.

6. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать одной из трех партий с вероятностями 0, 1; 0, 2; 0, 7. Вероятности того, что лампа проработает определенное число часов, равны соответственно 0, 6; 0, 7; 0, 8.

А. Определить вероятность того, что наугад взятая лампа проработает заданное число часов.

В. Наугад взятая лампа проработала заданное число часов.

Найти вероятность того, что

1) лампа принадлежит 1-й партии;

2) 2-й партии; 3) 3-й партии.

7. Корректура в 700 страниц содержит 1400 опечаток. Применяя закон Пуассона, найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит 2 опечатки.

⇐ Предыдущая 1 23