Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях от до раз, приближённо равна определённому интегралу

где

Таблица для интеграла приведена в приложении 2. Функцию называют функцией Лапласа. Она нечётна, т.е. .

Таким образом, искомая вероятность попадания числа наступлений события А в заданный интервал равна разности значений функции Лапласа:

 

Распределение Пуассона

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р 0, 1). В этих случаях ( велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона:

.

Здесь сохраняет постоянное значение. Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых ( велико) редких (р мало) событий. Число есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Тогда вероятность того, что за время t интересующее нас событие наступит ровно раз при заданном определяется по формуле

 

.

 

 

Примеры решения задач типового расчета

Умножение вероятностей зависимых событий

Задача № 1

На десяти одинаковых карточках написаны различные цифры от 0 до 9. Определить вероятность того, что наудачу образованное из этих карточек 3-значное число делится на 5 (выборка без возвращения).

Решение

Первые две цифры могут быть любыми (первая отлична от 0), последней должен быть 0, либо 5. Следовательно, имеем одновременное выполнение трех условий, т.е. наступление трех событий, причем зависимых:

А – 1-я цифра любая, кроме 0;

В – 2-я цифра любая;

С – 3-я цифра 0, либо 5.

Тогда по теореме умножения вероятностей зависимых событий

.

Ответ: вероятность того, что образованное 3-значное число кратно 5 равна 0, 225.

 

Задача № 2

За круглым столом 12 мест. 12 человек рассаживаются случайным образом. Найти вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом.

 

Решение

Обозначим событие А – 2 определенных лица сядут рядом – как произведение двух событий: В – 1-й человек занял место (он может сесть на любой стул) и С – 2-й человек сел рядом с первым. Тогда А=В ∙ С. События В и С зависимы, поэтому Р(А) = Р(В) ∙ Р_В(С).

Вероятность события В (1-й занял любое место) равна единице Р(В)=1

Вероятность события С при условии, что В произошло Р_В(С) определяем как (2-й может занять только 2 места из 11).

Тогда искомая вероятность Р(А) = Р(В) ∙ Р_В(С)=1∙ =0, 181.

Ответ: вероятность того, что 2 человека из 12 сядут рядом, равна 0, 181.

 

Задача № 3

Слово М А Т Р О С разрезали на буквы, перемешали и извлекли 4 буквы. Найти вероятность того, что получилось слово Р О С А.

Решение .

I способ

Интересующее нас событие А – извлеченные буквы образуют слово РОСА есть произведение 4-х зависимых событий:

А₁ – 1-я буква Р;

А₂ – 2-я буква О;

А₃ – 3-я буква С;

А₄ – 4-я буква А.

Тогда по теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

 

II способ

По классической формуле вероятности , где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов.

Тогда в условиях данной задачи m=1 (слово РОСА можно образовать единственным способом из данного набора букв),

Окончательно имеем .

Ответ: вероятность того, что наудачу взятые буквы образуют слово РОСА, равна 0, 003.

Повторные независимые испытания, формула Бернулли.

Задача №4

Вероятность производства бракованной детали равна 0, 008. Найти наивероятнейшее число бракованных среди 1000 деталей и вероятность такого количества их в партии.

Решение.

Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испытаниях m₀ определяем из условия np - q ≤ m₀ < np + p.

Для нашей задачи n=1000, p=0, 008, q=1-p=0, 992.

Тогда 7, 008 ≤ m₀ < 8, 008. Этому условию удовлетворяет целое число m₀=8.

Найдем теперь вероятность того, что в партии из 1000 деталей равно 8 бракованных.

Поскольку число испытаний n=1000 достаточно велико, а p=0, 008 достаточно мало, применим формулу Пуассона

,

где λ ≡ np – const – среднее число появлений события в одной серии испытаний.

Тогда ≈ 0, 14 - вероятность того, что в партии из 1000 деталей ровно 8 бракованных.

Задача № 5

Найти вероятность того, что при 5 бросках игральной кости 6 очков не выпадет ни разу.

Решение .

Вероятность наступления события при n независимых испытаниях m раз, находим по формуле Бернулли

,

где p – вероятность появления интересующего нас события при одном испытании, q – вероятность противоположного события.

Тогда в условиях нашей задачи

(n=6, m=5, на верхней грани кубика любое число очков, кроме шести)

. Применяя формулу Бернулли, получим

Ответ: вероятность того, что при 5 бросках игральной кости 6 очков не выпадет ни разу, равна 0, 3632.

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Внешние эффекты (экстерналии) и теорема Коуза-Стиглера. Природа и формы проявления внешних эффектов
2. Интегральная оценка, баллы Категория тяжести
3. Интегральная периодизация развития субъективной реальности
4. Локальная формула Муавра-Лапласа
5. Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом. Теорема Стокса
6. Теорема Гаусса в электростатике.
7. Теорема о II переносе силы. (Метод Пуансо)
8. Теорема о децентрализации. Гипотеза Тибу
9. Теорема о дифференцируемости функций
10. Теорема о проекции равнодействующей системы сил.
11. Теорема об изменении кинетической энергии.