Математические методы в инжиниринге

Математические методы в инжиниринге

Металлургического оборудования и технологий

Курс лекций

Направление подготовки:

22.04.02 «Металлургия»

15.04.02 «Технологические машины и оборудование»

Аннотация

Курс лекций содержит необходимый объем знаний, который необходимо знать студентам по дисциплине «Математические методы в инжиниринге металлургического оборудования и технологий», который предусмотрен учебными планами высших учебных заведений, ведущих подготовку магистров по направлению подготовки: 22.04.02 «Металлургия» и 15.04.02 «Технологические машины и оборудование».

Предназначен для студентов, обучающихся в НИТУ «МИСиС» по магистерской программе «Инжиниринг металлургического оборудования и технологий», «Инжиниринг технологических машин и оборудования», «Инжиниринг лазерной техники и технологий» и преподавателей, ведущих занятия по данной дисциплине.

Может быть полезным студентам и аспирантам других профилей и направлений.

Курс лекций изложен на 108 страницах, содержит 23 рисунка, 6 таблиц, библиографический список из 6 наименований.

Оглавление

Введение. 5

1. Математическая модель. 7

1.1. Структура математической модели. 9

1.2. Свойства математических моделей. 12

1.3. Схема построения математической модели. 14

Контрольные вопросы.. 18

2. Классификация моделей в инжиниринге

оборудования и технологий. 19

2.1. Физические модели. 23

2.2. Основные этапы физического моделирования. 25

2.3. Имитационное моделирование. 27

2.4. Натурное моделирование. 30

Контрольные вопросы.. 31

3. Структура процесса моделирования. 32

3.1. Линейное программирование. 34

3.2. Нелинейное программирование. 36

3.3. Сетевые задачи. 37

3.4. Вероятностные и оптимизационные модели. 38

3.5. Целочисленное программирование. 39

Контрольные вопросы.. 42

4. Математические модели инновационных объектов на основе аналитических методов. 43

4.1. Определение понятия «имитационное моделирование». 46

4.2. Процесс конструирования модели. 48

4.3. Определения метода имитационного моделирования. 51

4.4. Имитация функционирования системы.. 52

4.5. Метод Монте-Карло как разновидность

имитационного моделирования. 56

4.6. Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера—Мида) 57

Контрольные вопросы.. 65

5. Инженерное проектирование. 66

5.1. Понятие инженерного проектирования. 66

5.2. Представление конструктивных элементов в САМ-модулях. 68

5.3. Облачные вычисления. 73

Контрольные вопросы.. 74

6. Дизайн технологического оборудования. 75

6.1. Требования безопасности и их учет при проектировании и

разработке технологического оборудования. 75

6.2. Эргономика элементов технологического оборудования. 77

6.3. Компьютерный дизайн технологического оборудования. 78

Контрольные вопросы.. 83

7. Построение математической модели и проверка её на адекватность на примере электрогидравлического привода. 84

Контрольные вопросы.. 105

Заключение. 106

Библиографический список. 108

Введение

Подготовка магистров в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» реализуется по основным образовательным программам высшего профессионального образования Российской Федерации.

Дисциплина «Математические методы в инжиниринге металлургического оборудования и технологий» относится к дисциплинам обязательного курса студентов профессионального цикла магистерской программы «Инжиниринг металлургического оборудования и технологий» направления 22.04.02 «Металлургия» и 15.04.02 «Технологические машины и оборудование».

Невозможно сегодня представить себе современную науку без широкого применения математических методов. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью – и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Эксперимент, в широком понимании этого слова ставится во всех областях человеческой деятельности. Поэтому обойтись без математической обработки результатов эксперимента в настоящее время не могут не только представители «точных наук», но и типичные «гуманитарии»- историки, медики, психологи и т.д.

Что касается студентов технических вузов, то курс «Математические методы в инжиниринге металлургического оборудования и технологий» является необходимым элементом их математического образования, поскольку в своей работе – исследовательской, конструкторской, производственной – они постоянно будут сталкиваться с необходимостью математической обработкой информации.

Сегодня эффективно управлять сложными технологическими процессами на основе опыта и интуиции персонала становится невозможно, а ошибки по управлению становятся слишком дорогими. Выходом из этой ситуации становится внедрение информационных систем для управления технологическими процессами, основное назначение которых состоит в том, чтобы обеспечить обработку информации о технологическом процессе и на основе результатов этой обработки оказать помощь персоналу, управляющему технологическим процессом по принятию решений, направленных на изменение параметров технологического процесса для достижения поставленной цели. Информационные системы работают наиболее эффективно, если в их составе имеется модельная система поддержки принятия решений, в основе которой лежит математическая модель технологического процесса, позволяющая на основе расчетов прогнозировать ход и результат технологического процесса при изменяющихся условиях его проведения.

Выпускник технического вуза, управляющий технологическим процессом, должен владеть методами создания и использования математических моделей для совершенствования и оптимизации технологии.

Дисциплина имеет общенаучную направленность, и предназначена для приобретения студентами компетенций в использовании современных технологий при проектировании металлургического оборудования и технологий.

Математическая модель

Математика давно стала общепризнанным инструментом исследования явлений и процессов реального мира. Помимо традиционных областей использования математики в сферу ее приложений вовлекаются все новые и новые дисциплины. В литературе, посвященной экономике, социологии, технике, экологии и т.д. прочно заняло место выражение «математическая модель». Понятие математической модели (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее, в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы, являются, по сути, упорядоченными множествами ММ, построение которых сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений. Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с математикой. По видимому, к этому сводится смысл замечания Карла Маркса о том, что любая наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. [1]

Этапы развития многих естественно - научных направлений в познании законов природы и совершенствовании техники – это построение последовательности все более точных и более полных ММ изучаемых процессов и явлений. Однако история науки знает не только случаи последовательного уточнения той или иной ММ, но и случаи отказа от некоторых ММ вследствие расхождений прогнозируемых ими результатов с реальностью.

Отвечающая реальности (адекватная) ММ является, как правило, большим научным достижением. Она позволяет провести детальное исследование изучаемого объекта и дать надежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность модели нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при её использовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ, допускающих исчерпывающих количественный анализ.

Одни и те же ММ находят подчас совершенно различные приложения. Известно, например, что закон Ньютона притяжения двух материальных точек и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц измерения физических величин можно выразить одинаковыми формулами.

При помощи одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона

, (1.1)

где - дифференциальный оператор Лапласа,

- искомая и заданная функции положения точки М V в некоторой области V,

можно изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения теплоты, распределения электрического потенциала, деформацию мембраны, механические напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе. В каждой из перечисленных задач функции и приобретают свой смысл, но их связь описывает общее для этих задач уравнение (1.1).

Эти примеры характеризуют свойство универсальности ММ. Благодаря этому свойству возникает «родство» между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие.

Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта, и называют математической моделью [1] этого объекта. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки.

Оборудования и технологий

Моделирования сравнительно за короткий срок стало общим методом научных исследований в инжиниринге металлургического оборудования различных объектов, и в связи с этим в настоящее время применяют самые разнообразные модели (рис.2.1). Наиболее удобно характеризовать модели на базе их классификации.

Аналитико-имитационные

Имитационные дискретные

Имитационные аналоговые

Рис.2.1. Классификация моделей

По способу реализации модели могут быть знаковыми и реальными. Знаковые модели являются математическим описаниями процессов. Основой для их построения и операций над ними служат различные разделы математики.

Реальные модели, которыми являются физические объекты, подразделяют на физические и математические.

Современные промышленные предприятия и научно-производственные комплексы, научно-исследовательские и опытно-конструкторские центры функционируют в условиях жесткой конкуренции – массовое производство, снижение цен на транспортировку товаров, дешевая рабочая сила способствуют этому.

При формировании как стратегических, так и многих тактических решений руководитель вынужден учитывать многочисленные, нередко взаимно противоречивые соображения и опираться на сложные критерии эффективности путей достижения конечных целей. Быстро принимать решения помогают различные методы моделирования.

С быстрым развитием ЭВМ и соответствующего программного обеспечения повышается значимость имитационного моделирования. Если для классических математических методов исследования операций было необходимо некоторое время для составления модели и ее решения, то сейчас есть возможность анализировать ситуацию, выбирая диапазон изменения входных переменных для имитационной модели. Часто они имеют графическую оболочку, примеры можно найти на сайте [2], это ускоряет процесс усвоения информации и принятия решений.

Рассматриваемые методы моделирования представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Методы моделирования систем

Метод	Описание	Область применения	Достоинства метода	Недостатки метода

Математическое моделирование	Составляется математический «эквивалент» процесса или объекта, отражающий его основные свойства.	Любые процессы, поддающиеся математическому описанию.	Широкая область применения.	Достаточно сложно построить модель адекватно учитывающую все факторы.
Статистическое моделирование	Модель основывается на выявленных статистических закономерностях.	Процессы, по которым можно собрать массив статистических данных.	При наличии качественных данных метод точен и, при использовании специализированного программного обеспечения, прост в применении.	Большие требования к статистическим данным.
Экономико-математическое моделирование	Раздел включает в себя методы для решения экономических задач.	Экономические процессы.	Метод способен моделировать экономические процессы.

Продолжение табл. 2.1


Имитационное моделирование	Изучаемая система заменяется моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему, с ней проводятся эксперименты с целью получения информации.	Метод используется, когда дорого или невозможно использовать реальную модель и/или аналитическую модель.	Создается максимально приближенная к реальности модель, можно управлять временем системы и другими ее характеристиками.	Сложность описания всех условий и требования вычислительной мощности.
Физическое моделирование	Экспериментально - моделированное, основанное на физическом подобии уменьшенной в размерах модели.	Применяется при невозможности применения аналитического метода или воспроизведения в реальном размере.	Область применения, недоступная другим методам.	Метод может дать надежные результаты лишь при соблюдении физического подобия модели.

Окончание табл. 2.1


Натурное моделирование	Моделью является материально или мысленно представляемый объект, в достаточной степени повторяющий свойства, существенные для моделирования.	Применяется для проведения ряда тестов над моделью. Примеры – различные этапы прототипирования на производстве.	Возможность протестировать объект моделирования в реальных условиях.	Затраты на создание модели могут быть высокими.

Физические модели

Физическая модель характеризуется той же физической природой, что и исходный процесс. Создание моделей процессов в которой сохраняются лишь самые существенные черты, возможно только на основе знания промышленных процессов.

Как известно, гидродинамические, тепловые и химические процессы, протекающие в металлургических агрегатах, характеризуются высокими температурами, воздействием агрессивных шлаков и выделением большого количества вредных газов и абразивных пылевидных частиц. Выполнение экспериментальных работ, связанных, прежде всего, с изучением явлений тепломассопереноса, в таких условиях практически невозможно по соображениям безопасности персонала. Кроме того, серьезным препятствием для проведения исследований на действующих промышленных агрегатах является такой фактор, как потеря производственного времени.

В подобной ситуации, а также при создании новой техники на стадии проработки конструкции проектируемой машины или агрегата наиболее приемлемым способом решения возникающих проблем следует считать применение физического моделирования.

В физическом моделировании производятся опыты над физически подобным, но значительно меньшим объемом продукции. Например, методы физического моделирования позволяют сталеплавильщику смоделировать работу установки в лабораторных условиях, чтобы определить оптимальные рабочие параметры и применить их затем в производственном процессе. Преимущества очевидны: сталеплавильщик определяет, как подстроить установку, не выводя ее из производства, экономит деньги на материалах, проводя 10 или более «микроплавок» в день (на всего нескольких унциях стали), чтобы создать модели, устранить проблемы и разработать наиболее эффективные методы работы.

Аналогично можно изучить и другие процессы в производстве, затратив минимальное количество ресурсов. Зачастую это проще и дешевле, чем моделировать математические или полноразмерные натурные модели.

Пример применения физического моделирования в машиностроении показан на рисунке 2.2. На нем изображена физическая модель руля набора высоты самолета с деталями, которые имеют различные показатели плотности.

Рис. 2.2. Физическое моделирование

Имитационное моделирование

Имитационное моделирование — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся вычислительные эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

- дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

- невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

- необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Перечислим преимущества имитационного моделирования

1. Стоимость. Допустим, компания уволила часть сотрудников, что в дальнейшем привело к снижению качества обслуживания и потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.

2. Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения продукции или измененной структуры склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.

3. Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.

4. Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой степени абстракции и не учитывают важные детали. Имитационное моделирование позволяет описать структуру системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.

5. Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями визуализации процесса работы системы во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов в графическом виде. Это позволяет наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.

6. Универсальность. Имитационное моделирование позволяет решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.

Примеры имитационных моделей приведены на рисунке 2.3 и рисунке 2.4.

На рисунках изображен трохоидальный метод фрезования.

Рис.2.3. Трохоидальное фрезерование пазов

Трохоидальный метод - это очень эффективный способ обработки паза. Постоянное круговое движение используется для получения требуемой ширины паза. Этот метод был разработан для обработки пазов на высоких скоростях.    Преимущества  при применении трохоидального фрезерования, таковы что, может быть обработан паз шириной больше режущего диаметра инструмента. То есть пазы разных размеров могут эффективно обрабатываться одним и тем же инструментом. Использование небольшой радиальной глубины резания позволяет применять фрезы с малым шагом, что позволяет вести обработку на больших подачах и скоростях резания, чем при обычной фрезерной обработке паза.

Рис.2.4. Трохоидальноефрезерование лопатки

Более подробно об имитационном моделировании будет рассмотрено ниже.

Натурное моделирование

Под натурным моделированием подразумевается создание полноразмерных моделей исследуемого объекта или процесса.

Этот метод применяется для проведения ряда тестов над моделью. Это различные стадии прототипирования с необходимой на данном этапе степенью точности и тестовые партии. Метод позволяет выявить недостатки проектирования на ранних этапах.

Рабочие прототипы изделий (особенно сложных устройств) при отсутствии специализированной оснастки, деталей могут быть очень дороги – в десятки раз превышать стоимость серийного образца.

Также в метод включаются модели процессов – например, действий рабочего для производства детали.

Быстрое развитие технологий, создает широкий спектр рисковых ситуаций, затрагивающих все аспекты деятельности предприятия, для оперативной оценки жизненно необходимо наличие модели, учитывающей возможность подобных рисков. Безусловно, одной модели недостаточно – также нужна стратегия, как комплекс не только стратегических управленческих решений, определяющих долговременное развитие предприятия, но и конкретных действий, обеспечивающих быстрое реагирование предприятия на изменение во внешней инфраструктуре, которое может повлечь за собой необходимость стратегического маневра, пересмотр целей и корректировку общего направления.

Контрольные вопросы

1. Какие бывают модели по способу реализации?

2. Перечислите методы моделирования систем?

3. Что такое физическое моделирование? Приведите примеры.

4. Преимущества имитационного моделирования?

5. Что такое натуральное моделирование? Приведите примеры.

Линейное программирование

Этот метод наиболее прост для использования, но при этом значительно расширяет возможности руководителя для принятия решений.

Для постановки задачи задается система уравнений: одно целевое (минимум или максимум) и ряд ограничений.

Например – требуется максимизировать прибыль, при ограничениях на рабочее время станков (табл. 3.1).

Предположим, что число деталей: А, В, С равно x₁, x₂, x₃ соответственно. Тогда ограничения задачи будут выглядеть так:

2x₁+4x₂+5x₃_≤120

x₁+8x₂+6x₃_≤280

7x₁+4x₂+5x₃_≤240

При этом число деталей не может быть отрицательным:

x₁, x₂, x₃_≥0

Таблица 3.1

Линейное программирование

Тип оборудования	Затраты времени (станкочасов) на обработку одного изделия каждого вида	Общий фонд рабочего времени оборудования (часы)
	A	DВ	CC
Фрезерное
Токарное
Сварочное
Прибыль (руб.)

Целевая функция (максимизировать прибыль):

10x₁+14x₂+12x₃> max

Имеем систему уравнений:

2x₁+4x₂+5x_{3 ≤}120

x₁+8x₂+6x_{3 ≤}280

7x₁+4x₂+5x_{3 ≤}240

x₁, x₂, x_{3 ≥}0

10x₁+14x₂+12x₃> max

Часто подобные задачи можно решить графически.

Реальные задачи редко бывают такими простыми, поэтому среди минусов метода можно отметить сильную аппроксимацию результатов. Типичными задачами этого метода являются задачи составления жидких смесей, распределения ресурсов и т.д.

Нелинейное программирование

Нелинейное программирование применяется, когда зависимости между величинами нельзя выразить линейно. Примером может служить тот случай, когда на предприятии в течение ряда лет прирост выпуска продукции отстает от роста затрат труда, тогда как темпы роста количества отходов его обгоняют. Также примером является фирма, которая должна оплатить счет за электроэнергию в случае, когда расчеты ведутся по нелинейной формуле, учитывающей как среднесуточный расход, так и «пиковую» потребность в энергии. В данном случае фирма получает сведения о нелинейном характере затрат из договора о ставках оплаты, заключенного с компанией, обеспечивающей энергоснабжение.

Нелинейность «встраивается» в модели программирования и в других случаях, например:

1. Приготовление бензиновых смесей. В модели приготовления бензина определенного состава из отдельных фракций, полученных в результате перегонки нефти, обычно имеется нелинейное ограничение на октановое число смеси, поскольку эта характеристика качества нелинейно зависит от количества, добавляемого к смеси тетраэтилового свинца.

2.Управление производственным процессом. В модели металлургического завода значение переменной, характеризующей температуру в доменной печи, может быть описано функцией от других переменных, соответствующих количеству потребного тепла и временным показателям процесса. В свою очередь каждая из этих переменных входит в другие ограничения, а также в целевую функцию.

3. Выручка от реализации продукции. Спрос на продукцию компании может существенно зависеть от цен реализации: чем ниже цена продукта, тем больше объем реализации, несмотря на аналогичное снижение цен, производимое конкурентами. Следовательно, выручка от реализации продукции не изменяется пропорционально цене, и это обстоятельство должно быть отражено в целевой функции многопродуктовой модели с помощью нелинейного слагаемого.

Для иллюстрации примем, что х(р) есть объем реализации, зависящий от цены р; тогда выручка от реализации равна рх(р). Пусть на представляющем для нас интерес интервале изменения р функция объема реализации от цены линейна, т. е. имеет вид

х (р) = ap + b.

Тогда слагаемые в целевой функции, относящиеся к выручке от реализации, являются квадратичными относительно управляющей переменной р и имеют вид:

(ар² + bр).

Пока не существует универсального метода решения задач нелинейного программирования. Задачи легко описываются системой уравнений, но методы решений крайне громоздки, фактически почти всегда для решения используется ЭВМ.

Сетевые задачи

Классическим примером сетевого программирования является транспортная задача.

Пусть имеются пункты производства A₁, А₂, … А_n с объемами производства в единицу времени (месяц, квартал), равными соответственно а₁, а₂, ... а_n, и пункты потребления B₁, В₂, ... В_n с объемами потребления, равными b₁, b₂, ... b_n соответственно. Будем предполагать, что производство и потребление сбалансированы — сумма объемов производства равна сумме объемов потребления.

Предполагаются известными величины С_ij — затраты по перевозке единицы продукта из i-го пункта производства в j-й пункт потребления. Требуется найти такой план перевозок, при котором были бы удовлетворены потребности в пунктах В₁, В₂... В_n и при этом суммарные затраты на перевозку были бы минимальны. Обозначая через х_ij количество продукта, перевозимое из i-го пункта производства в j-й пункт потребления, приходим к следующей математической формулировке задачи.

Транспортная задача решается симплекс методом.

Определения метода имитационного моделирования

Метод имитационного моделирования заключается в создании логико-аналитической (математической модели системы и внешних воздействий), имитации функционирования системы, т.е. в определении временных изменений состояния системы под влиянием внешних воздействий и в поучении выборок значений выходных параметров, по которым определяются их основные вероятностные характеристики. Данное определение справедливо для стохастических систем.

При исследовании детерминированных систем отпадает необходимость изучения выборок значений выходных параметров.

Модель системы со структурным принципом управления представляет собой совокупность моделей элементов и их функциональные взаимосвязи. Модель элемента (агрегата, обслуживающего прибора) - это, в первую очередь, набор правил (алгоритмов) поведения устройства по отношению к выходным воздействиям (заявкам) и правил изменений состояний элемента. Элемент отображает функциональное устройство на том или ином уровне детализации. В простейшем случае устройство может находиться в работоспособном состоянии или в состоянии отказа. В работоспособном состоянии устройство может быть занято, например, выполнение операции по обслуживанию заявки или быть свободным. К правилам поведения устройства относятся правила выборки заявок из очереди; реакция устройства на поступление заявки, когда устройство занято или к нему имеется очередь заявок; реакция устройства на возникновение отказа в процессе обслуживания заявки и некоторые другие.

Имитационное моделирование (ИМ) — это метод исследования, который основан на том, что анализируемая динамическая система заменяется имитатором и с ним производятся эксперименты для получения об изучаемой системе.

Роль имитатора зачастую выполняет программа ЭВМ.
Основная идея метода имитационного моделирования состоит в следующем.

Пусть необходимо определить функцию распределения случайной величины y. Допустим, что искомая величина y может быть представлена в виде зависимости:

y=f(a, b,...., w),

где a, b,...., w случайные величины с известными функциями распределения.

Для решения задач такого вида применяется следующий алгоритм:

1. По каждой из величин a, b,...., w производится случайное испытание, в результате каждого определяется некоторое конкретное значение случайной величины a_i, b_i,...., w_i;

2. Используя найденные величины, определяется одно частное значение y_i по выше приведённой зависимости;

3. Предыдущие операции повторяются N раз, в результате чего определяется N значений случайной величины y;

4. На основании N значений величины находится её эмпирическая функция распределения.

Имитационного моделирования

Метод Монте-Карло чрезвычайно прост и его идея состоит в следующем. Вместо того чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас». Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще
аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая
вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда
процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета.

4.6. Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера—Мида)

Впервые метод деформируемого многогранника был предложен Нелдером и Мидом. Они предложили метод поиска, оказавшийся весьма эффективным и легко осуществляемым на ЭВМ. Вспомним, что регулярные многогранники в Eⁿ являются симплексами. Например, как видно из рисунка 4.5, для случая двух переменных регулярный симплекс представляет собой равносторонний треугольник (три точки); в случае трёх переменных регулярный симплекс представляет собой тетраэдр (четыре точки) и т.д.

(а) (б)

Рис.4.5. Регулярные симплексы для случая двух (а) и трёх (б) независимых переменных.

Стрелка на рисунке указывает направление наискорейшего улучшения.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒