МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ В СИСТЕМЕ СОСУДОВ С УПРУГИМИ СТЕНКАМИ

Материалы и методы

Рассматриваем осесимметричное течение крови, которая принимается вязкой и несжимаемой жидкостью, в цилиндрическом сосуде постоянного радиуса R. Движение происходит в цилиндрической системе координат (x, r, θ ), причем ось x совпадает с осью симметрии движения. Материал стенки считаем идеально упругим и изотропным.

Перемещения стенок будем представлять в виде суммы:

u_общ(x, t) = u(x, t) + u₀(x, t), w_общ(x, t) = w(x, t) + w₀(x, t),

где: u(x, t) - упругие движения в продольном направлении, w(x, t) – в поперечном, а функции u ₀(x, t), w₀(x, t) описывают дополнительное смещениестенки сосуда, вызываемое реактивным мышечным сокращением припрохождении по сосуду пульсовой волны давления, то есть при работевторичного сердца.

Система уравнений движения кровотока в гибких цилиндрических сосудах в таком случае будет:

, (1)

где p – давление; μ – вязкость крови; ρ – плотность крови; v_x – осевая компонента скорости крови; t – время; u, w – перемещения стенки в продольном и поперечном направлениях; v_r – радиальная компонента скорости крови; R – радиус сосуда; Sʹ, Tʹ – силы натяжения в окружном и продольном направлениях соответственно; S₀, T₀ – начальные значения сил натяжения в окружном и продольном направлениях; коэффициент Пуассона; E – модуль Юнга стенки; ν –h – толщина стенки сосуда; ρ ₀ – массовая плотность материала стенки сосуда.

Третье уравнение системы получено изуравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемойжидкости. Оно заменяет уравнение неразрывности.

На стенке задаются кинематическиеи статические контактныеусловия:

1. Статическиеусловия:

(2)

2. Кинематические условия:

│ _{𝑟 =𝑅} = + ,

│ _{𝑟 =𝑅} = + .

(3)

Цель и задачазаключаетсявнахожденииобщегорешениясистемыуравнений(1) с граничными условиями (2), (3). В силу линейности уравнений задачараспадается на однородную и неоднородную. Сначала построится общеерешение однородной задачи, после чего найдем частное решениенеоднородной.

В этом однородном случае решение будем искать в виде простыхгармонических волн вида:

𝘶 = ,

.(4)

Здесьχ –волновоечисло; –частотапульсациикровотока.

Подставляя функции (4) в первые три уравнения системы (1), получимзначения для амплитуд скоростейидавления:

.(5)

где - функцииБесселяпервогородапорядков1и0.

Далее, будем строить частные решения для каждой волновой гармоники , подставим в однородную систему (1) значения (5), а также функции(4) и выполним однородные кинематические условия (2). Получая системулинейных однородных алгебраических уравнений относительнопроизвольных постоянных , A и B. Ненулевое решение системысуществует тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Такимобразом, получим дисперсионное уравнение следующего вида:

Здесь: .

Для решения, полной краевой задачи с учетом граничных условий навходе и выходе из ССС необходимо решить дисперсионноеуравнение для конечных значений волновых чисел (конечных гармонических частотколебаний). Для определения числа решений и начальногоприближения может быть использован контурный график начальных точекдисперсионных кривых, полученный в программном пакете РТС Mathcad.

В случае ( 0.00001)малых коэффициентов вязкости дисперсионноеуравнение имеет два комплексных решения. Контурныйграфик представлен на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Начальные точки дисперсионных кривых в случае малой вязкости крови

Рис. 4.2. Начальные точки дисперсионных кривых в случае большой вязкости крови

Используя полученные точки в качестве начальных приближений дляпостроения нашего решения дисперсионного уравнения, можно построитьнеобходимые для данного случая дисперсионные кривые. Наличие дисперсионных кривыхпозволяет завершить решение полной краевой задачи с учетом краевых иконтактных условий поставленной задачи.

Таким образом, общее решениеуравнений однородной системы (1) построено.После перейдем к построению частного решения неоднородной системы.

Решение частнойнеоднородной системы для каждойволновой гармоники будет:

= ,

.(6)

где ,

параметр Уомерсли, – скорость пульсовой волны давления Моянса-Кортевега.

Функции , , показывающие работу распределенногосердца, определяются из данного эксперимента. Следует отметить, чтоустановившееся течение вязкой жидкости при дополнительном мышечномвоздействии возможно, если среднее ускорение реактивного перемещениястенок равно 0. В простейшем случае функции реактивного перемещениястенок могут быть прописаны в таком виде:

где: - параметры, характеризующие степень мышечной активности, 0 q 1, T - период пульсации жидкости (крови).

В таком случае, график ускорения реактивного перемещения стенокбудет антисимметричным, и среднее ускорение будет равно нулю (рисунок 4.3).

Рис. 4.3. Реактивное ускорение стенок сосуда ССС

Затем, раскладывая в ряды Фурье функции скорости и ускорения реактивного перемещения стенок сосуда и подставляя в неоднородную систему (1) и в контактные условия (2) функции (6), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных u₁₀, w₁₀, A₀, B₀, «определитель» которого будет отличен от нуля, так как не является корнем дисперсионного уравнения.

Решая данную систему, определим неизвестные постоянные и построим базовые частные решения для продольной и поперечной частей скорости. Сумма решений, найденных для каждой волновой гармоники , даст решение системы уравнений (1) с кинематическими контактными условиями (2).

В последствии, задача о построении решения системы уравнений (1) с граничными условиями (2), (3) будет решена. Расчеты с помощью построенной трехмерной аналитической модели трудоемки, поэтому нами принято решение о необходимости ее упрощения.

Ставя среднее значения радиуса сосуда в уравнение системы (1), получим одномерную систему течения вязкой несжимаемой жидкости (крови):

(9)

где: Q = объемный расход крови человека.

Не учитывая инерционными силами, действующими на оболочки сосуда, а также конвективной составляющей ускорения частиц крови, из замкнутой системы уравнений (9) получим более простую системууравнений динамики движения кровотока:

Из системы уравнений (10) с учетом разложения функций (7), (8) в ряды Фурье, получаем разрешающее уравнение для объемного потока крови:

(11)

Здесь: – коэф. разложения в ряд Фурье.

Построение аналитического решения задачи по определениюобъемного потока крови в системе кровеносных сосудов проводилось дляучастка сосудистой системы ССС с двумя узлами бифуркации. Рассматриваетсясистема артерий, состоящая из 5 сегментов, в которых происходит«периодическая пульсация» крови. Каждый отдельный участок обладает своейпространственной одномерной системой координат, начало которой находится навходе, а ось x направлена в сторону выходного отверстия сосуда.

На каждом i-м участке запишем уравнение для объемного потока крови:

(12)

Граничные условия для данного случая:

При х=0, .

Контактные условия выражают условия сохранения расходов и непрерывности давления в узлах разветвления сосуда:

. (15)

Объемный поток крови на каждом участке будем искать в виде:

где: – средний объемный кровоток на I–том участке.

Решением уравнения (12) в данном случае будет функция:

(17)

Неизвестные константы определяются из граничных условий (13) иконтактных условий (14), (15).

Средний объемный поток крови на первом участке определяем из условияна входе:

где: – дополнительный средний расход, за счет продольных сокращений стенки;

На остальных участках средние объемные потоки крови определяются из первого уравнения системы (10) при условии установившегося течения жидкости:

Таким образом, построена одномерная математическая модельпериодического движения крови, которая учитывает работу сердца. Важнейшим преимуществом данной математической модели является то, чтоосновная система уравнений допускает аналитическое решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенные варианты постановки задач гемодинамики в системе кровеносных сосудов позволяют уменьшить количество основополагающих предположений и упростить основную систему уравнений. В случае, когда проводится учет направленных потоков жидкости, отпадает необходимость пренебрежения конвективной составляющей ускорения частиц, что повышает точность результатов.

Новый вид кинематических контактных условий стесненного скольжения, по мнению авторов, более адекватно описывает процесс взаимодействия потока со стенкой. В реальном сосуде в случае выполнения условий прилипания частиц неизбежным был бы процесс образования атеросклеротических отложений, который является патологическим. Таким образом, математические модели, в которых взаимодействие крови со стенкой описывается подобным образом, не могут достоверно описывать процесс гемодинамики.

Замена уравнений Навье-Стокса уравнениями Эйлера в системе существенно упрощает основную систему, при этом уравнение для тонкого погранслоя вблизи стенки сосуда, позволяет учесть все возникающие в этой области процессы.

Таким образом, делается попытка упрощения и уточнения, позволяющий моделировать движение крови в системе кровеносных сосудов человека.

Рассмотрены варианты задачи о движении крови в сосудах с упругими стенками, позволяющие уменьшить количество гипотез и, тем самым, повысить строгость и реалистичность предлагаемых математических моделей с точки зрения физических представлений.

Кроме того, предлагается попытка нового вида кинематических контактных условий, позволяющих более точно описать процесс взаимодействия потока крови с сосудистой стенкой.

В первой главе дается общая информация по анатомии и физиологии системы кровообращения, электрокардиографии ССС.

Во второй главе излагаются физические законы, которые служат основой построения математических моделей в кардиологии: приведены уравнения гидродинамики, гидравлики, теории упругости, описаны сократительные свойства сердечной мышцы. На этом базисе в главе строятся модели сердца и артериальной сосудистой системы, начиная от простейших однокамерных до достаточно полных четырехкамерных.

В третьей главе описывается квазиодномерная модель гемодинамики артериальных сосудов, позволяющая рассчитывать распространение пульсовых волн с учетом упругих свойств стенок и реально существующей переменности сечения по длине сосуда. Приведены разностные схемы для нахождения численных решений в случаях, когда чисто аналитические методы перестают работать.

Четвертая глава посвящена математической модели движения крови в системе сосудов с упругими стенками. В данной главе использованы материалы из автореферата диссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук Доль А.В. «Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов сучетом мышечной активности стенок» разработанной в 2013 году.

В данной выпускной квалификационной работе разработана одномерная линейная математическая модель, для которойполучено аналитическое решение. Результаты, полученные с помощьюданной модели, мало отличаются от результатов, полученных методомконечных элементов.Важнейшим преимуществом данной модели является то, чтоосновная система уравнений допускает аналитическое решение.

Данная выпускная квалификационная (бакалаврская) работа выполнена мною самостоятельно

«___»_________201_г. _________________

ЛИТЕРАТУРА

1. Колябин Г.А. Применение математического анализа к описанию процессов репарации инфаркта миокарда и прогнозированию кардиологических заболеваний: Учебное пособие. – М.: РУДН, 2008. – 144 с.

2. Доль А.В. Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок: автореф.дис. … канд. физ.-мат. наук. – Саратов: Саратовский гос. ун-т, 2013. – 23 с.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ.— М.г Мир, 1984.—528 с., ил.

4. Кудрина В.Г. Медицинская информатика: Учебное пособие. – М.: РМАПО, 1999. — 100 с.

5. Агапов А.И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1994. — 112 с.

6. Афифи А. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ: Пер. с англ. / А. Афифи, С. Эйзен. – М.: Наука, 1982. – 488 с.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998. – 480 с.

8. Боровиков В.П. Популярное введение в систему STATISTICA. -М: КомпьютерПресс, 1998. - 267 с.

9. Вейр Б. Анализ генетических данных.- М.: Мир, 1995. - 400 с.

10. Медик В.А., Толмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине ибиологии: Руководство. В 2-х томах / Под ред. Ю.М. Комарова. Т.1.Теоретическая статистика. –М.: Медицина, 2000. - 412 с.

11. Медик В.А., Толмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине ибиологии: Руководство. В 2-х томах / Под ред. Ю.М. Комарова. Т.2.

12. Прикладная статистика здоровья. - СПб: СМИО Пресс, 2003. - 352 с.

13. Компьютерные исследования и прогресс медицины (Сборник статейпод редакцией О.М. Белоцерковского) - М.: Наука, 2001. – 302 с.

14. Вараксин А.Н.. О Статистические модели регрессионного типа вэкологии и медицине / Под редакцией В.Н. Чуканова. –Екатеринбург: Изд-во «Гощицкий», 2006. – 256 с.

15. Мовшович Б.Л., Калябин Г.А. Клинические особенности репарацииинфаркта миокарда. // Терапевтический архив. – 1989 - № 4. - С. 235-242.

16. Гланц С. Медико-биологическая статистика.- М.: Практика, 1998. — 459 с.

17. Алексеевский А.В., Гельфанд И.М., Извекова М.Л., Шифрин М.А. Ороли формальных методов в клинической медицине: от цели кпостановке задачи// - М.: Наука, 1997. с. 5-36.

18. Белоцерковский О.М., Виноградов А.В., Глазунов А.С. Метод раннегопрогнозирования течения острого инфаркта миокарда ипостинфарктного кардиосклероза// Информатика и медицина. - М.: Наука, 1997. с. 72-119.

19. Гельфанд И.М., Розенфельд Б.И., Шифрин М.А. Очерки осовместной работе математиков и врачей. - М.: УРСС, 2004. – 320 с.

20. Журавлев Ю.И., Избранные научные труды. - М.: Издательство Магистр, 1998. - 420 с.

21. Журавлев Ю.И., Гуревич И.Б. Распознавание образов и анализизображений/Искусственный интеллект / Справочник. - М.: Радио исвязь, 1990. – 325с.

22.Анализ данных на компьютере: Учебное пособие / Ю.Н. Тюрин, А.Н. Макаров; Науч. ред. В.Э. Фигурнов. - 4-e изд., перераб. - М.: ИД ФОРУМ, 2010. - 368 с.

23. Котов Ю.Б. Новые математические подходы к задачаммедицинской диагностики. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 328 с.

24. Дюк В., Эманюэль В. Информационные технологии в медико-биологических исследованиях. – СПб.: Питер, 2003. – 528 с.

25. Моделирование виллизиевого круга человека в норме и при патологии / Д.В. Иванов, А.В. Доль, О.Е. Павлова, А.В. Аристамбекова // Российский журнал биомеханики. - 2013. - Т. - 17. № 3(61). - С. 36-49.

26. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов / Т. Педли. - М.: Мир, 1983. - 400 с.

27. Смертность от болезней системы кровообращения в России и экономически развитых странах / В.И. Харченко, Е.П. Какорина, М.В. Корякин и др. // Российский кардиологический журнал. -2005. - № 2. - С. 5-18.

28. Гуляев Ю.П., Коссович Л.Ю. Математические модели биомеханики в медицине. – Саратов.: Изд. СГУ, 2001. – 49с.

29. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. – М.: Мир, 1983. - 400 с.

30. Вольмир А.С., Герштейн М.С. Проблемы динамики оболочек кровеносных сосудов // Механика полимеров. - 1970. - № 2. - C. 373-379.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67