К теме 3.8 Расчет статически неопределимых систем методом сил

1 Понятие о статической неопределимости

2 Основная система

3 Канонические уравнения

4 Построение эпюр и их проверки

5 Понятие о составных рамах

6 Задания для домашней контрольной работы и методические рекомендации по её выполнению

По дисциплине «Техническая механика» учебным планом специальности предусмотрены две домашние контрольные работы, которые должны быть представлены на проверку в заочное отделение в установленный учебным графиком срок.

Контрольные работы оцениваются отметками «зачтено» и «не зачтено». Контрольные работы выполняются строго в соответствии с вариантом учащегося. В противном случае они не засчитываются и возвращаются учащемуся.

К текущей аттестации допускаются учащиеся, получившие отметку «зачтено» и предъявившие домашнюю контрольную работу с проработкой замечаний, содержащихся в рецензии.

Работа с отметкой «не зачтено» после исправлений повторно сдается в заочное отделение.

Вариант работы определяется номером учащегося по списку в журнале учета успеваемости. Например, номер учащегося 15 – вариант 15.

Номер схемы для каждой задачи определяется второй цифрой варианта (вариант 15 – схема №5, вариант 10 – схема №0). Исходные данные для расчета определяются по таблицам в соответствии с номером варианта.

Задачи рекомендуется решать сначала в общем виде, затем, подставляя числовые значения величин, вычислять результат. Точность вычисления – две цифры после запятой.

При оформлении домашних контрольных работ необходимо соблюдать следующие требования:

1 Контрольная работа выполняется в тетради в клетку. Для пометок и замечаний преподавателя необходимо оставлять поля примерно 30 мм и писать через строчку. Рисунки оформляются карандашом четко и аккуратно.

2 Допускается выполнение контрольной работы в печатном виде на листах формата А4 (210x297мм). Работа выполняется шрифтом TimesNewRoman, размером 14 пунктов. Абзацный отступ должен быть по всей работе одинаковым и составлять 12, 5мм. Номера страниц указываются посередине верхнего поля. Параметры страниц: левое поле 30 мм, правое – 10 мм, верхнее и нижнее – 20 мм.

3 Каждая задача начинается с новой страницы с обязательным приведением ее условия. В конце контрольной работы следует оставлять несколько чистых листов для рецензии.

4 На обложку тетради помещается бланк установленного образца, где указывается наименование дисциплины, фамилия, имя, отчество, адрес, шифр учащегося.

5 В конце контрольной работы должна быть указана литература, использованная при ее выполнении.

Варианты для домашней контрольной работы

Домашняя контрольная работа №1

Задача 1

Определить усилия в стержнях кронштейна от приложенной внешней силы. Задачу выполнить аналитическим и графическим способами. Трением пренебречь. Исходные данные приведены на рисунке 1 и в таблице 1.

Рисунок 1 – Схемы кронштейна

Задача 2

Определить опорные реакции консольной балки. Исходные данные приведены на рисунке 2 и в таблице 2.

Рисунок 2 – Схемы нагружения консольной балки

Задача 3

Определить опорные реакции двухопорной балки. Исходные данные приведены на рисунке 3 и в таблице 3.

Рисунок 3 – Схемы нагружения двухопорной балки

Задача 4

Определить координаты центра тяжести сечения геометрической формы. Исходные данные приведены на рисунке 4 и в таблице 4.

Рисунок 4 – Схемы сечений геометрической формы

Задача 5

Определить координаты центра тяжести сечения, составленного из стандартных профилей проката. Исходные данные приведены на рисунке 5 и в таблице 5.

Рисунок 5 – Схемы сечений из профилей проката

Таблица 1 - Исходные данные для задачи 1

№ варианта	F, кН	Углы, град.
α	β	γ
1, 12, 20
2, 11, 22
3, 14, 21
4, 13, 24
5, 16, 23
6, 15, 26
7, 18, 25
8, 17, 27
9, 20, 28
10, 19, 29

Примечание – для схем с двумя обозначенными углами (№ 2, 5, 8, 9, 0) значение третьего угла не используется.

Таблица 2 - Исходные данные для задачи 2

№ варианта	F, кН	q, кН/м	m, кН· м	а₁, м	а₂, м	а₃, м	α
1, 12, 20				1, 2	0, 8	2, 4
2, 11, 22				1, 0	2, 0	1, 4
3, 14, 21				2, 0	1, 4	0, 8
4, 13, 24				1, 6	2, 2	1, 2
5, 16, 23				2, 4	1, 6	1, 0
6, 15, 26				0, 8	2, 0	1, 6
7, 18, 25				2, 2	1, 8	2, 4
8, 17, 27				1, 6	2, 4	1, 0
9, 20, 28				2, 0	1, 2	0, 8
10, 19, 29				1, 8	1, 0	2, 2

Таблица 3 - Исходные данные для задачи 3

№ варианта	F, кН	q, кН/м	m, кН· м	а₁, м	а₂, м	а₃, м	а₄, м	α
1, 12, 20				1, 6	2, 0	2, 4	1, 2
2, 11, 22				2, 4	1, 0	1, 4	1, 0
3, 14, 21				1, 0	1, 6	0, 8	2, 0
4, 13, 24				0, 8	2, 4	1, 2	1, 6
5, 16, 23				2, 2	1, 8	1, 0	2, 4
6, 15, 26				0, 8	2, 0	2, 4	0, 8
7, 18, 25				2, 0	1, 8	1, 6	2, 2
8, 17, 27				1, 4	2, 4	0, 8	1, 6
9, 20, 28				2, 2	1, 2	1, 0	2, 0
10, 19, 29				1, 6	1, 0	2, 2	1, 8

Примечание – для схем с тремя участками (№1, 5, 6, 8, 0) значение четвертой длины (а₄) не используется

Таблица 4 – Исходные данные для задачи 4

№ варианта	а, см	b, см	h₁, см	h₂, см	h₃, см
1, 12, 20
2, 11, 22
3, 14, 21
4, 13, 24
5, 16, 23
6, 15, 26
7, 18, 25
8, 17, 27
9, 20, 28
10, 19, 29

Таблица 5 – Исходные данные для задачи 5

№ варианта	Номер профиля для фигуры

1, 12, 20
2, 11, 22
3, 14, 21
4, 13, 24
5, 16, 23
6, 15, 26
7, 18, 25
8, 17, 27
9, 20, 28
10, 19, 29

Домашняя контрольная работа №2

Задача 1

Для стального ступенчатого стержня (рисунок 10) построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материала Е = 2· 10⁵МПа.

Исходные данные приведены на рисунке 6 и в таблице 6.

Рисунок 6 – Схемы стержня для задачи 1

Задача 2

Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M и подобрать поперечное сечение в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям. Исходные данные приведены на рисунке 7 и в таблице 7.

Материал - сталь Ст3, расчетное сопротивление R = 210 МПа = 21 кН/см². Коэффициент надежности по материалу γ _m = 0, 9.

Рисунок 7 – Схемы двухопорной балки для задачи 2

Задача 3

Подобрать сечение равноустойчивой центрально-сжатой сквозной колонны из двух стальных швеллеров или двутавров (в зависимости от схемы), соединенных между собой планками способом сварки.

Допускаемое нормальное напряжение [σ ] = 150 МПа.

Расчетное сопротивление стали R = 200 МПа.

Коэффициент условия работы = 1, 0.

Исходные данные приведены на рисунке 8 и в таблице 8.

Рисунок 8 – Схемы закрепления колонны и ее поперечное сечение для задачи 3

Таблица 6 – Исходные данные для задачи 1

№ варианта	Последняя цифра	F₁, кН	F₂, кН	А, см²	а₁, см	а₂, см	а₃, см	а₄, см
1, 12, 20
2, 11, 22
3, 14, 21
4, 13, 24
5, 16, 23
6, 15, 26
7, 18, 25
8, 17, 27
9, 20, 28
10, 19, 29

Таблица 7 - Исходные данные для задачи 2

№ варианта	F, кН	q, кН/м	m, кН· м	а₁, м	а₂, м	а₃, м	а₄, м
1, 12, 20				2, 0	1, 4	2, 2	1, 6
2, 11, 22				1, 6	2, 8	2, 0	2, 4
3, 14, 21				2, 2	1, 6	2, 4	1, 0
4, 13, 24				1, 8	2, 4	1, 2	2, 0
5, 16, 23				1, 0	2, 2	2, 6	1, 8
6, 15, 26				1, 4	0, 8	2, 4	2, 2
7, 18, 25				2, 0	2, 2	1, 6	1, 4
8, 17, 27				1, 4	2, 0	0, 8	1, 6
9, 20, 28				2, 2	1, 6	1, 0	2, 4
10, 19, 29				1, 6	2, 4	2, 2	1, 8

Таблица 8 – Исходные данные для задачи 3

№ варианта	F, кН	, м
1, 12, 20		2, 8
2, 11, 22		3, 0
3, 14, 21		4, 5
4, 13, 24		3, 2
5, 16, 23		2, 4
6, 15, 26		3, 0
7, 18, 25		4, 6
8, 17, 27		2, 2
9, 20, 28		3, 4
10, 19, 29		4, 2

Приложение А

(рекомендуемое)

Пример выполнения домашней контрольной работы

Домашняя контрольная работа №1

Задача 1

	Определить усилия в стержнях кронштейна от приложенной внешней силы (рисунок А.1). Задачу выполнить аналитическим и графическим способами. Трением пренебречь. F = 60 кН, α = 40^о, β = 80^о, γ = 50^о. .
Рисунок А.1

Решение

1 Выбираем точку, равновесие которой будем рассматривать − точка В.

2 Освобождаем узел В от связей и заменяем их реакциями, предполагая, что стержни растянуты, т. е. усилия направлены от узла.

Аналитический способ решения

3 Выбираем расположение осей координат так, чтобы одна из осей прошла через неизвестное усилие (N₁) (рисунок 2).

Рисунок А.2

4 Составляем уравнения равновесия.

; ;

(сжатие);

(растяжение).

Графический способ решения

3 Выбираем масштаб сил: 1 см = 10 кН.

4 Строим замкнутый силовой многоугольник (построение начинается с известной силы) (рисунок А.3).

Рисунок А.3

Измеряем полученные отрезки и умножаем их на масштаб. N₁ = 5, 3 см ∙ 10 = 53 кН Направление силы совпадает с первоначальным, значит, стержень 1 растягивается. N₂ = 6, 5 см ∙ 10 = 65 кН Направление силы не совпадает с первоначальным, значит, стержень 2 сжимается.

Ответ: стержень 1 − растянут (N₁ = 53, 09 кН),

стержень 2 − сжат (N₂ = − 65, 13 кН).

Задача 2

Определить опорные реакции консольной балки (рисунок А.4).

q = 5 кН/м, F = 15 кН, m = 20 кН∙ м,

a₁ = 0, 6 м, a₂ = 1, 6 м, a₃ = 1, 2 м, α = 60^о

Рисунок А.4

Решение

1 Выбираем направление опорных реакций.

2 Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной силой:

, (А.1)

где Q − величина сосредоточенной силы;

q − величина распределенной нагрузки;

− длина приложения распределенной нагрузки.

3 Составляем уравнения равновесия.

4 Для проверки составляем уравнение, не использованное при расчете:

Ответ: Н_А = 7, 5 кН; V_A = 20, 99 кН; m_A = 75, 37 кН∙ м.

Задача 3

Определить опорные реакции двухопорной балки (рисунок А.5).

q = 8 кН/м, F = 15 кН, m = 10 кН∙ м,

a₁ = 0, 5 м, a₂ = 0, 8 м, a₃ = 1, 4 м, а₄ = 0, 6 м, α = 60^о

Рисунок А.5

Решение

1 Выбираем направление опорных реакций.

2 Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной по формуле (А.1):

3 Составляем уравнения равновесия:

4 Для проверки составляем уравнение, не использованное при расчете:

Ответ: H_A = 7, 5 кН, V_A = 3, 72 кН, V_B = 20, 47 кН.

Задача 4

Определить координаты центра тяжести поперечного сечения геометрической формы (рисунок А.6). Построить в выбранном масштабе.

	а = 60 см; b = 80 см; h₁ = 30 см; h₂ = 20 см; h₃ = 40 см.
Рисунок А.6

Решение

1 Сложную фигуру разбиваем на сумму простых фигур: прямоугольник площадью А₁, прямоугольник площадью А₂, трапеция площадью А₃ (рисунок А.7).

Рисунок А.7

2 Заданное поперечное сечение имеет вертикальную ось симметрии (ось У) и центр тяжести лежит на этой оси. Следовательно, относительно системы координат ХУ координата центра тяжести всего сечения х_с = 0, требуется определить координату у_с по формуле:

, (А.2)

где S_x − статический момент поперечного сечения;

А − площадь поперечного сечения;

A_i − площадь i-ой фигуры;

y_i − координата центра тяжести i-ой фигуры.

3 Находим площадь каждой фигуры и общую площадь поперечного сечения.

А₁ = b₁ ∙ h₃ = 40∙ 80 = 3200 см²;

А₂ = (b + 2∙ a)∙ (h₁+h₂) = (80 + 2∙ 60)∙ (30 + 20) = 10000 см²;

;

4 Находим координаты центров тяжести каждой простой фигуры относительно оси Х.

Для фигуры 1 (прямоугольник):

;

Для фигуры 2 (прямоугольник):

;

Для фигуры 3 (трапеция):

5 Вычисляем координату центра тяжести поперечного сечения:

Ответ: х_с = 0, у_с = 46, 67 см.

Задача 5

Определить координаты центра тяжести сечения, составленного из стандартных профилей проката (рисунок А.8). Построить в выбранном масштабе.

Рисунок А.8

1 − Швеллер № 20; 2 − Двутавр № 16

Решение

1 Вычерчиваем заданное поперечное сечение (рисунок А.9). Размеры фигур берутся из таблиц сортамента (ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-97).

Швеллер № 20:

h = 20 см, b = 7, 6 см, d = 0, 52 см, t = 0, 9 см, z₀ = 2, 07 см, А = 23, 4 см².

Двутавр № 16:

h = 16 см, b = 8, 1 см, d = 0, 5 см, t = 0, 78 см, А = 20, 2 см².

Рисунок А.9

3 Находим общую площадь поперечного сечения.

4 Находим координаты центров тяжести фигур относительно оси Х.

Для фигуры 1 (швеллер):

;

Для фигуры 2 (двутавр):

5 Вычисляем координату центра тяжести поперечного сечения:

Ответ: х_с = 0, у_с = 11, 46 см.

Домашняя контрольная работа №2

Задача 1

Для стального ступенчатого стержня (рисунок А.10) построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ и определить полное удлинение стержня.

Модуль продольной упругости материала Е = 2· 10⁵МПа = 2· 10⁴кН/см².

F₁ = 150 кН, F₂ = 70 кН, А = 20 см².

Решение 1 Используя метод сечений, определяем значения внутренних продольных сил N. Расчет ведем со стороны незакрепленного края стержня. Сечение I − I

N₁ = 0; Сечение II − II

N₂ + F₁ = 0; N₂ = − F₁ = − 150 кН (сжатие); Сечение III − III

N₃ + F₁ = 0; N₃ = − F₁ = − 150 кН (сжатие); Сечение IV − IV

N₄ + F₁ + F₂ = 0; N₄ = − F₁ − F₂ = − 150 − 70 = = − 220 кН (сжатие). По полученным значениям строим эпюру продольных сил N. 2 Определяем значения нормальных напряжений по формуле (3).

, (3) где σ − величина нормального напряжения на участке, N − величина внутренней продольной силы, А − площадь сечения данного участка.

Рисунок А.10

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений σ.

3 Определяем полное удлинение стержня по формуле (А.4):

, (А.4)

где - полное удлинение стержня,

- удлинение стержня на каждом участке.

Удлинение стержня на каждом участке находится по формуле (А.5):

, (А.5)

где N − величина продольной силы на участке,

− длина участка,

Е − модуль продольной упругости,

А − площадь поперечного сечения участка.

Ответ: полное удлинение стержня = − 0, 037 см.

Задача 2

Для двухопорной балки (рисунок А.11) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M и подобрать поперечное сечение в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям.

Расчетное сопротивление R = 210 МПа = 21 кН/см².

Коэффициент надежности по материалу γ _m = 0, 9.

Решение

1 Определяем опорные реакции.

Проверка:

2 Строим эпюру поперечных сил Q.

Определяем значения поперечных сил в характерных сечениях.

Q_A = V_A = 17 кН,

Q_С = V_A = 17 кН,

Q_D =V_A – q∙ 4 = 17 – 8∙ 4 = − 15 кН,

=V_A – q∙ 4 = − 15 кН,

=V_A – q∙ 4 + V_B = 17 – 8∙ 4 + 20= 5 кН,

Q_Н =V_A – q∙ 4 + V_B = 5 кН.

Ординаты эпюры Q соединяем прямыми линиями.

3 Строим эпюру изгибающих моментов М.

М_А = 0 кН∙ м,

М_С = V_A∙ 3 = 17∙ 3 = 51 кН∙ м,

= V_A∙ 7 – q∙ 4∙ 2 = 17∙ 7 – 8∙ 4∙ 2 = 55 кН∙ м,

= V_A∙ 7 – q∙ 4∙ 2 + m = 17∙ 7 – 8∙ 4∙ 2 + 10= 65 кН∙ м,

М_В = V_A∙ 12 – q∙ 4∙ 7 + m = 17∙ 12 – 8∙ 4∙ 7 + 10= -10 кН∙ м,

М_Н = V_A∙ 14 – q∙ 4∙ 9 + m + V_B∙ 2= 17∙ 14 – 8∙ 4∙ 9 + 10 + 20∙ 2= 0 кН∙ м.

На участке АС эпюра М очерчена прямой линией. На участке СD приложена распределенная нагрузка, причем эпюра Q пересекает нулевую линию. Поэтому эпюра М будет очерчена параболой с экстремумом в точке пересечения (Q = 0). На участке DЕ эпюра М очерчена прямыми линиями.

Определим координату экстремума по формуле (А.6):

, (А.6)

где Q − величина поперечной силы в начале действия распределенной нагрузки;

q − .величина распределенной нагрузки.

Экстремальный изгибающий момент равен:

4 Определяем расчетный момент сопротивления сечения по формуле (А.7):

, (А.7)

где W_x − момент сопротивления,

М_max− максимальный (по абсолютному значению) изгибающий момент,

R − расчетное сопротивление материала,

− коэффициент надежности по материалу.

По таблице сортамента (ГОСТ 8239 − 89) выбираем двутавр № 27 с осевым моментом сопротивления W_x = 371 см³.

Рисунок А.11

Ответ: двутавр № 27.

Задача 3

Подобрать сечение равноустойчивой центрально-сжатой сквозной колонны из двух стальных швеллеров, соединенных между собой планками способом сварки (рисунок А.12).

Расчетное сопротивление материала R = 200 МПа, допускаемое напряжение [σ ] = 150 МПа, коэффициент условия работы, = 1, 0.

Рисунок А.12

Решение

1 Определяем необходимую площадь поперечного сечения из условия устойчивости:

, (8)

где А − площадь поперечного сечения;

F − величина приложенной силы;

φ − коэффициент продольного изгиба;

R − расчетное сопротивление;

− коэффициент условия работы.

Для первого приближения задаёмся произвольным коэффициентом продольного изгиба φ =0, 75.

Площадь, приходящаяся на один швеллер равна 10 см²

По таблице сортамента (ГОСТ 8240-97) подбираем два швеллера № 10 площадью 10, 9 см² и радиусом инерции относительно материальной оси i_y = 3, 99 см².

Тогда площадь поперечного сечения колонны равна А=10, 9∙ 2=21, 8 см².

2 Определяем гибкость колонны относительно материальной оси по формуле (А.9):

, (А.9)

где − гибкость колонны относительно материальной оси У;

µ − коэффициент приведения длины;

− высота колонны;

i_у − радиус инерции относительно материальной оси.

3 Определяем коэффициент продольного изгиба методом линейной интерполяции (таблица Б.3).

λ = 50 φ = 0, 869

λ = 60 φ = 0, 827

для λ _у = 52, 63 .

4 Производим проверку по условию устойчивости:

, (А.10)

Условие устойчивости не выполняется, следовательно, необходимо принять швеллеры большего размера.

5 Выбираем швеллер № 12 площадью 13, 3 см² и радиусом инерции относительно материальной оси i_у=4, 78 см². Тогда площадь поперечного сечения колонны равна А=13, 3∙ 2=26, 6 см².

Определяем гибкость колонны по формуле (А.9):

Определяем коэффициент продольного изгиба методом линейной интерполяции (таблица Б.3):

λ = 40 φ =0, 906

λ = 50 φ =0, 869

для λ _у = 43, 93 .

Производим проверку по условию устойчивости (А.10):

Условие устойчивости выполняется.

Принимаем колонну с поперечным сечением, состоящую из двух швеллеров №12 с характеристиками: А=13, 3 см², z_o=1, 54 см, i_x₁=4, 78 см, I_x₁=31, 2 cм⁴.

6 Определяем требуемую гибкость колонны относительно свободной оси х по формуле:

, (А.11)