Обыкновенные дроби и дробные выражения 5

Стр 1 из 6Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«НИЖЕГОРОДСКИЙ КОЛЛЕДЖ МАЛОГО БИЗНЕСА»

Методические указания для студентов по подготовке к экзамену по учебной дисциплине «Математика»

для студентов 1 курса СПО

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород

Содержание:

Введение 3

Обыкновенные дроби и дробные выражения 5

1.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 1 11

Проценты 12

2.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 2 17

Степени и корни 19

3.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 3 23

Уравнения и методы их решения 24

4.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 4 28

Логарифмы 30

5.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 5 38

Простейшие задачи по теории вероятностей 40

6.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 6 43

Простейшие тригонометрические уравнения 44

7.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 7 51

Производные элементарных функций 53

8.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 8 60

Площадь криволинейной трапеции 62

9.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения 68

литература и интернет ресурсы 70

Введение

Реформа современного образования может состояться лишь при условии создания таких компьютерных пакетов (электронных учебников, пособий, тренажеров, тестеров и проч.), наличие которых обеспечит одну и ту же компьютерную среду в специализированной аудитории на практических занятиях, в компьютерном классе учебного заведения или общежитии, оборудованном для самостоятельной работы учащихся, а также дома на персональном компьютере.

Электронный учебник (или электронное пособие) не может и не должен заменять книгу! Так же как просмотр фильма не заменяет чтения книги, по которой он был поставлен, так и наличие электронного пособия не только не должно заменять чтения и изучения обычного учебника, а напротив, побуждать студента взяться за книгу.

Как готовиться к экзамену по математике?

70% ошибок на экзаменах – по темам из начальной школы! Это дроби, отрицательные числа, элементарные преобразования выражений и все такое же простенькое. Высокий полет математической мысли заканчивается ошибками на уровне пятого класса. Чтобы подготовиться к экзамену по математике, первым делом нужно ликвидировать пробелы из прошлого. А так же необходимо освоить математические определения и термины! Студенты должны понимать, к примеру, что такое знаменатель, дискриминант, или функция на простом, даже примитивном уровне. Что это такое, зачем это нужно и как с этим обращаться. И, конечно, нужно решать. Нужно пытаться решать, пробовать. Все когда-то не умели. Но кто пытался и пробовал, пусть и неправильно, с ошибками - тот сейчас умеет решать. А кто не пробовал, типа всё равно не получается... - тот так и не научился.

Вот вам три составляющие ответа на вопрос " Как готовиться к экзамену по математике? »:

- ликвидировать пробелы,

- освоить термины на понятном уровне,

- осмысленно решать задания.

Математика школьного курса не решает сложные примеры. Вся мощь математики направлена на упрощение сложных выражений. Именно для этого нужны правила и формулы различных преобразований. Они позволяют записывать исходное выражение в другом, удобном виде, не меняя его сущности.

Например:

Это всё одно и то же число 1!

Только записанное в самых разных видах. Какой вид выбрать зависит от задания.

Практически любое решение начинается с преобразования исходного выражения. С помощью правил и формул. Формулы нужно знать!

Преобразования выражений – вещь, поначалу, хлопотная. На стартовом этапе нужно проверять, где можно, правильность преобразования обратным преобразованием. Т.е. разложили на множители – перемножьте обратно и приведите подобные. Нашли корни уравнения – подставьте в исходное выражение. Посмотрите, что получилось. И так далее.

Как пользоваться ЭП (электронным пособием)?

ЭП состоит из нескольких разделов, каждый из которых имеет две части:

- основные теоретические сведения с примерами решения заданий

- контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения

С помощью гиперссылок (знак ) можно вернуться к оглавлению, чтобы перейти другому разделу, или к какой либо части текущего раздела. Все темы ЭП являются повторение пройденного материала и иллюстрированы вставками из презентаций, показанных на занятиях в течение всего первого курса. Все примеры подобны заданиям экзаменационной работы.

Проценты

Что такое проценты в математике? Как решать задачи на проценты?

Единственно, что нужно запомнить железно – что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.

Пачки

Упаковки 9) 544 руб. 10) 38 мин

Чайников 12) 71 набор 13) 9 палаток

Цветов 15) 7 сырков 16) 5 пачек

Степени и корни

Что такое степень?

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Степень с основанием а и показателем n записывается так: аⁿ . Читается “ а в степени n ”; “ n - я степень числа а ”.

По определению степени:

а¹= а

а²= а•а

а³= а•а•а

а⁴= а• а•а•а

............

аⁿ=

Например:

3³= 3• 3• 3 = 27

0⁴= 0• 0• 0• 0 = 0

( -5 )³= ( -5 ) • ( -5 ) • ( -5 ) = -125

7¹= 7

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают:

a^maⁿ = a^{m + n}.

a^maⁿa^k = a^{m + n}a^k = a^{( m + n ) + k} = a^{m + n + k}

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя:

a^m: aⁿ = a^{m - n}

аⁿ: aⁿ = 1, т.е. а⁰ = 1

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают:

( ab )ⁿ = aⁿ•bⁿ

( a• b• c )ⁿ = aⁿ•bⁿ•cⁿ;

( a• b• c• d )ⁿ = aⁿ•bⁿ•cⁿ•dⁿ.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают:

( а^m)ⁿ = а^{m n}

Что такое квадратный корень?

Это понятие очень простое. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение - есть и вычитание. Есть умножение - есть и деление. Есть возведение в квадрат... Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня) в математике обозначается вот таким значком:

Сам значок называется " радикал".

Как извлечь корень квадратный из 9? Нужно просто сообразить: какое число в квадрате даст нам 9? Да конечно же 3! Значит:

Например:

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имеет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Квадратные корни (и корни чётных степеней) из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Важно помнить, что радикалы -- это дробный показатель степени:

Например:

3.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 3

Ответьте на вопросы:

1) Что такое степень?

2) Перечислите свойства степеней.

3) Как записать дробный показатель степени в виде радикала?

Решите упражнения:

1. Упростите выражение

2. Вычислите:

3. Упростите выражение:

4. Вычислите:

5. Упростите выражение

6. Найдите значение выражения при

7. Представьте выражение

в виде степени с основанием а

8. Упростите выражение

9. Вычислите

10. Упростите выражение:

11. Найдите значение выражения:

12. Представьте в виде степени выражение:

Проверьте своё решение:

Ответы:

1) 2) 1 3) 4) 1, 2

5) 5b² 6) 2 7) а³ 8) 2, 4

9) 1, 5 10) 9m⁷11) 36 12) 25

Логарифмы.

I Логарифмические уравнения

Что такое логарифмическое уравнение?

Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся внутри логарифмов.

Например:

log₂х = 32

log₃х = log₃9

log₃(х²-3) = log₃(2х)

log_х+1(х²+3х-7) = 2

lg²(x+1)+10 = 11lg(x+1)

А что же такое логарифм?

Т.е. log_ab = c

( а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b ).

Любое число можно представить в форме логарифма:

т.е.

Чтобы решать уравнения, нужно знать свойства логарифмов:

Эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных чисел. Но в уравнениях используются неизвестные, на которые накладывается ограничение:

подлогарифмическое выражение больше нуля, а основание логарифма и больше нуля и не равно единице!

log_ab = c

ОДЗ: b > 0, a > 0, a ≠ 1.!

В логарифмических уравнениях все найденные корни обязательно нужно проверять через ОДЗ!

Как решать логарифмические уравнения?

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них.

Например:

log₃х = log₃9 ОДЗ: х > 0

х = 9

Ликвидировать логарифмы (потенцировать) безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева и справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Например: в уравнении log₃х = 2log₃(3х-1)

убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет.

В примере log₃х+log₃(х+1) = log₃(3+х)

тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

log_а(.....) = log_а(.....)

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение.

Примеры:

1) log₇(2х-3) = log₇х ОДЗ:

2х-3 = х 2х – х = 3 х=3 (Ответ)

2) log₇(50х-1) = 2 ОДЗ:

log₇(50х-1) = log₇7²

50х-1 = 49 х = 1(Ответ)

3) 4)