Один процент – это одна сотая часть какого-то числа.

0% = 0; 0, 07% = 0, 0007; 45, 1% = 0, 451;

100% = 1; 156% = 1, 56; 25% = 0, 25

Резонный вопрос – а сотая часть какого числа? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. И так далее. Понятно, что само число, о котором идёт речь, составляет всегда 100%. А если нет самого числа, то и проценты смысла не имеют…

Другое дело, что в сложных задачах само число так запрячут, что и не найдёшь.

Например:

Давайте найдём 3% от 400. Сначала найдём один процент. Это будет одна сотая, т.е. 400/100 = 4. Один процент – это 4. А нам сколько процентов надо? Три. Вот и умножаем 4 на 3. Получим 12. Всё. Три процента от 400 – это 12.

5% от 20 это будет 20 поделить на 100 (одна сотая – 1%), и умножить на пять (5%):

5% от 20 это будет 1.

А если нам нужно записать х% от какого-то числа, например, от 50? Да всё то же самое. Один процент от 50 – это сколько? Правильно, 50/100 = 0, 5. А у нас этих процентов – х. Ну и умножим 0, 5 на х! Получим, что

х% от 50 это – 0, 5х.

Примеры решения текстовых задач на проценты:

Задача 1.

Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?

Решение:

Сколько будет один процент от 14 рублей? Одна сотая часть.

То есть 14/100 = 0, 14 рубля. А таких процентов у нас 25.

Умножим 0, 14 рубля на 25.

Получим 3, 5 рублей. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:

14 – 3, 5 = 10, 5

Ответ: Десять с половиной рублей.

Задача 2

2.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 2

Ответьте на вопросы:

1) Что такое процент?

2) Как найти процент от числа?

3) Как найти число по его проценту?

Решите упражнения:

1) Футболка стоила 500 рублей. После снижения цены она стала стоить 390 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

2) Футболка стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

3) Футболка стоила 800 рублей. Затем цена была снижена на 15%. Сколько рублей сдачи с тысячарублёвой купюры должен получить покупатель при покупке этой футболки после снижения цены?

4) Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

5) Флакон шампуня стоит 200 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

6) Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 25%?

7) В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 8 недель?

8) В упаковке 16 печек сахара. За неделю кондитерская фабрика расходует 183 пачки. Какое наименьшее количество упаковок сахара нужно купить фабрике на 15 дней?

9) Тетрадь стоит 16 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за 40 тетрадей, если при покупке более 30 тетрадей магазин делает скидку 15% от стоимости всей покупки?

10) На счету Машиного мобильного телефона было 67 рублей, а после разговора с Леной осталось 10 рублей. Сколько минут длился разговор с Леной, если одна минута разговора стоит 1 рубль 50 копеек?

11) Магазин покупает чайники по оптовой цене 420 рублей за штуку, а продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких чайников можно купить в этом магазине за 3400 рублей?

12) Магазин, делая наценку 50%, продает канцелярские наборы по цене 90 рублей за штуку. Какое наибольшее число таких наборов может закупить хозяин этого магазина на 4300 рублей?

13) В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 25 человек?

14) На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Ромашки стоят 20 рублей за штуку. У Вани есть 250 рублей. Какое наибольшее количество цветов может купить Ваня на эти деньги, чтобы поздравить Машу с днем рождения?

15) Сырок стоит 6 рублей 30 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей?

16) В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 3 недели?

Проверьте своё решение:

Ответы:

1) на 22% 2) на 19% 3) 320руб. 4) 5

Пачки

Упаковки 9) 544 руб. 10) 38 мин

Чайников 12) 71 набор 13) 9 палаток

Цветов 15) 7 сырков 16) 5 пачек

Степени и корни

Что такое степень?

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Степень с основанием а и показателем n записывается так: аⁿ . Читается “ а в степени n ”; “ n - я степень числа а ”.

По определению степени:

а¹= а

а²= а•а

а³= а•а•а

а⁴= а• а•а•а

............

аⁿ=

Например:

3³= 3• 3• 3 = 27

0⁴= 0• 0• 0• 0 = 0

( -5 )³= ( -5 ) • ( -5 ) • ( -5 ) = -125

7¹= 7

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают:

a^maⁿ = a^{m + n}.

a^maⁿa^k = a^{m + n}a^k = a^{( m + n ) + k} = a^{m + n + k}

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя:

a^m: aⁿ = a^{m - n}

аⁿ: aⁿ = 1, т.е. а⁰ = 1

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают:

( ab )ⁿ = aⁿ•bⁿ

( a• b• c )ⁿ = aⁿ•bⁿ•cⁿ;

( a• b• c• d )ⁿ = aⁿ•bⁿ•cⁿ•dⁿ.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают:

( а^m)ⁿ = а^{m n}

Что такое квадратный корень?

Это понятие очень простое. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение - есть и вычитание. Есть умножение - есть и деление. Есть возведение в квадрат... Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня) в математике обозначается вот таким значком:

Сам значок называется " радикал".

Как извлечь корень квадратный из 9? Нужно просто сообразить: какое число в квадрате даст нам 9? Да конечно же 3! Значит:

Например:

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имеет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Квадратные корни (и корни чётных степеней) из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Важно помнить, что радикалы -- это дробный показатель степени: