|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
V. Молекулярная физика, термодинамика.
Поверхностное натяжение. 1. В озеро глубиной h = 20м и площадью S = 10км2 бросили кристаллик поваренной соли массой m = 0.01г. Сколько молекул этой соли оказалось бы в наперстке воды объемом V = 2.0см3, зачерпнутым из этого озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась в озере? Ответ: N ~ 106 молекул. Решение. Общее количество молекул соли в кристалле No = NAm/μ, где NA – число Авогадро, μ - молярная масса NaCl. Это количество молекул равномерно распределилось по объему озера Vo = Sh. Концентрация молекул NaCl в озере и наперстке одинакова N/V = No/(Sh), где N – количество молекул в наперстке. Отсюда N = VNo/(Sh) = mVNA/( μ hS) = 106 молекул. (μ = 60 г/моль) 2. Средняя квадратическая скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 460м/с. Какое число молекул содержится в m = 1г этого газа? Газ считать идеальным. Ответ: N ~ 1.9 1022. Решение. Пусть mo – масса одной молекулы. Тогда число молекул N = m/mo. Так как ½ mov2 = 3/2kT, то N = mv2/3kT. Здесь Т = 273К. Окончательно, N ~ 1.9 1022.
3. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре 25% молекул углекислого газа диссоциировало на атомарный кислород и окись углерода. Как изменится давление в сосуде при этих условиях по сравнению с давлением до диссоциации? Ответ: Р2/P1 = 1.25. Решение. Пусть в сосуде объемом V было N молекул СО2. Диссоциировало α N молекул СО2 и образовалось α N молекул О и α N молекул СО. При этом остались (1- α )N молекул СО2. Общее число молекул в сосуде после диссоциации N2 = α N + α N + (1- α )N = (1 + α )N. До диссоциации давление в сосуде было равно Р1, причем P1V = NkT. После диссоциации давление в смеси газов стало Р2 и P2V = N2 kT. Таким образом, давление после диссоциации стало больше в Р2 / P1 = N2 / N = 1 + α =1.25 (раз). 4. Сосуд сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружающем пространстве Т, давление Р, причем оно настолько мало, что молекулы газа при пролете в сосуд и из сосуда не сталкиваются друг с другом на протяжении размеров отверстия. В сосуде поддерживается температура 4Т. Каким будет давление в сосуде? ( Всесоюзная олимпиада) Ответ: Р1 = 2Р. Решение. Давление газа в сосуде равно Р1 = n1kT1 = 4n1kT, где n1 – концентрация газа в сосуде. Вне сосуда P = nkT, где n – концентрация газа вне сосуда. Таким образом Р1 = 4Р(n1/n). Равновесие между сосудом и окружающим пространством наступает тогда, когда число молекул, влетающих в сосуд, равно числу молекул, вылетающих из него. Если учитывать только молекулы, летящие перпендикулярно отверстию (вдоль оси х), их число, вылетающее за время Δ t из отверстия площадью S, равно z1 = ½ n1S | vx1 | Δ t, где | vx1 | - средняя скорость молекул вдоль оси х. (Учет молекул, пролетающих отверстие под углом, приводит лишь к изменению коэффициента “ ½ “ в формуле, что несущественно в данном случае.) Аналогично, число вылетающих молекул z = ½ nS | vx | Δ t. Поскольку z1 = z, то n1/n = | vx |/| vx1 |. Но известно, что средняя скорость молекул пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, n1/n = (Т/Т1)1/2 = ½. Таким образом, давление в сосуде Р1 = 2Р.
5. Чему равен коэффициент поверхностного натяжения воды, если с помощью пипетки, имеющей кончик диаметром d = 0.4мм, можно дозировать воду с точностью до m = 0.01г. Ответ: σ = mg/π d = 7.8 10-2Н/м. Решение.
F = σ π d, и уравновешивает силу тяжести капли P = mg. При дальнейшем увеличении капли вертикальная составляющая силы поверхностного натяжения уменьшается, а сила, действующая на каплю увеличивается. Равновесие становится невозможным, и капля срывается: σ = mg/π d = 7.8 10-2 Н/м.
6. Капиллярная трубка с очень тонкими стенками подвешена вертикально к чашке рычажных весов. Весы уравновешены. К трубке подносят снизу сосуд с водой, так что поверхность воды касается капилляра. Чтобы восстановить равновесие, пришлось увеличить груз на другой чашке весов на m = 0.14г. определить радиус капилляра. Ответ: r = 1.5мм. Решение. Силы поверхностного натяжения тянут капиллярную трубку вниз. Они приложены к внутренней и внешней поверхности по окружностям радиуса r, поэтому полная длина линии, вдоль которой действует сила поверхностного натяжения F, равна 4π r. Следовательно, F = 4π σ. C другой стороны, согласно условию равновесия F = mg, Отсюда r = mg/4π σ = 1.5мм.
7. Смачиваемый водой кубик массы m = 20г плавает на поверхности воды. Длина ребра кубика а = 3.0см. На какой глубине h от поверхности воды находится нижняя грань кубика? Ответ: h = 2.3см. Решение. Свободная поверхность жидкости граничит со стенками кубика по периметру квадрата со стороной а. Кубик тянет вниз сила поверхностного натяжения FПН = 4σ а. Условие равновесия: FA = mg + FПН. Учитывая, что FA = ρ В g VВ = ρ В g а2h, где ρ В – плотность воды, а VВ – объем погруженной части кубика (т.е. объем вытесненной воды), получаем: h = (mg + 4σ а) / ρ В g а2 = 0.023м. итак, нижняя часть кубика погружена на глубину 2.3см. в отсутствие поверхностного натяжения (при σ = 0) эта глубина была бы на 1мм меньше. 8. Оценить силу, необходимую для разъединения двух “слипшихся ” зеркальных стекол размером 1м х 1м, между которыми попала вода. Среднее расстояние между стеклами d = 0.2мм. Как можно облегчить разъединение стекол? Ответ: F ~ 700H. Решение. Почему слипаются стекла? У их краев образуется цилиндрический мениск, вогнутый внутрь, с радиусом кривизны ½ d (величина d определяется высотой неровностей и возможным изгибом стекол). Значит давление внутри воды (между стеклами) меньше атмосферного на Δ Р = 2σ / d. Именно за счет этой разности давлений и создается сила F = Δ Р S = 2σ S / d, прижимающая стекла к друг другу. В данном случае она равна 700Н. Такую силу необходимо приложить, чтобы оторвать стекла друг от друга. Заметим, что чем лучше отполированы стекла и чем они более плоские, тем труднее их разъединить (F ~ 1/d). Можно, конечно, заставить скользить стекла друг относительно друга, уменьшая тем самым площадь их перекрытия S. Для этого потребуется преодолеть лишь силу трения, намного меньшую F. Однако так стекла можно поцарапать. Лучше всего погрузить стекла в воду – мениск исчезнет, и стекла разъединятся без труда.
h = 5 см? Ответ: A = 2σ h(l1 – l2). Решение.
Работа, совершаемая при перемещении планки АВ влево равна изменению энергии поверхностного натяжения мыльной пленки A = Δ W = 2σ Δ S = 2σ ( l1h – l2h) = 2 σ h( l1 – l2). Здесь Δ S – изменение площади поверхности пленки ρ. 10. С какой скоростью растет толщина покрытия стенки серебром при напылении, если атомы серебра, обладая энергией Е = 10-17 Дж, производят давление на стенку Р = 0.1 Па? Атомная масса серебра А = 108, его плотность ρ = 10.5 г/см3. (Козел, №2.234) Ответ: dτ = 9.10-8 см/с. Решение. На единицу площади стенки в единицу времени попадает масса серебра Мτ = m Nτ = ρ dτ , откуда dτ = m /ρ, где Nτ – число частиц, попадающих на единицу площади стенки за единицу времени. Давление на стенку P = mv Nτ , а v = (2E/m)1/2. Итак, m Nτ = P(2E/m)1/2 = P[A/(2ENA)]1/2. Для толщины слоя, нарастающего за единицу времени, имеем dτ = (P/ρ ) [A/(2ENA)]1/2 = 9.10-8 см/с.
11. При взрыве атомной бомбы (М = 1 кг плутония Pu242 ) получается одна радиоактивная частица на каждый атом плутония. Предполагая, что ветры равномерно перемешивают эти частицы во всей атмосфере, подсчитать число радиоактивных частиц, попадающих в объем V = 1 дм3 воздуха у поверхности Земли. Радиус Земли принять равным R = 6.106 м. (Козел, №2.238) Ответ: n = 700 дм-3. Решение. Число радиоактивных частиц во всей атмосфере N = MNA/A = 2.5.1024. Масса атмосферного воздуха Mo = Po4π R2/g = 4.5.1018 кг. Число молекул воздуха во всей атмосфере No = MoNA/μ = 9.6.1043. При нормальных условиях число молекул в объеме V воздуха легче всего найти из условия, что 1 моль воздуха занимает объем Vo = 22.4 дм3/моль: no = NA/Vo= 2.7.1022 дм-3. Зная полное число молекул воздуха и радиоактивных частиц в объеме, найдем число частиц в объеме V = 1 дм3: n = noN/No= 700 дм-3. Итак, одна атомная бомба дает 700 радиоактивных частиц на каждый человеческий вздох. 12. Спутник сечения S = 1 м2 движется с первой космической скоростью v = 7.9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высоте орбиты (h = 200 км) Р = 1.37.10-4 Па, температура Т = 1226 К. Определить число столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу времени. (Козел, №2.248) Ответ: z = 6.1019 c-1. Решение. За некоторое время τ спутник столкнется с молекулами, находящимися в цилиндре сечения S и длины vτ. Число молекул в этом объеме равно Svτ n. Число молекул в этом объеме можно найти, используя уравнение газового состояния в форме P = nkT: n = P/kT = NAP/RT. Для искомого числа столкновений в единицу времени имеем z = Sv NAP/(RT) = 6.1019 c-1. Мы считали молекулы неподвижными. В данном случае это не вносит существенной погрешности, т.к. средняя скорость молекул гораздо меньше скорости спутника. 13. Оценить длину свободного пробега молекулы в воздухе при нормальных условиях. Диаметр молекулы d = 3.7.10-10 м. (Козел, №2.249) Ответ: λ = 8.75.10-8 м. Решение.
Молекула столкнется с другой молекулой, если расстояние между центрами окажется меньше d. Пусть за какое-то время молекула прошла путь L. Тогда она столкнулась с молекулами, центры которых находятся в ломанном цилиндре (изломы в точках столкновений) длины L и сечения π d2. Число молекул в этом объеме nLπ d2 (n – число молекул в единице объема) и есть число столкновений. Подсчитаем путь от столкновения до столкновения – длину свободного пробега: λ = L/(nLπ d2) = RT/(NAP π d2) = 8.75.10-8 м. Здесь давление принято равным Р = 100 кПа, температура Т = 273 К. Экспериментальное значение длины свободного пробега при таких условиях 14. Найти среднее расстояние между молекулами насыщенного водяного пара при температуре t = 100оС. (Козел, №2.236) Ответ: λ = 8.75.10-8 м. Решение.
Моль газа занимает объем V = RT/P. На одну молекулу приходится объем v = RT/(PNA) = kT/P. Среднее расстояние между молекулами, таким образом, L = (kT/P)1/3. При температуре t = 100оС давление насыщенного водяного пара Р = 100 кПа. Окончательно получаем L = 3.7.10-9 м. 15. В вакууме находится мыльный пузырь радиуса R1 c газом, внутри которого находится такой же пузырь радиуса R2 и с таким же газом. Внутренний пузырь лопается. Найти радиус внешнего пузыря, если температура газа поддерживается постоянной. (Меледин, 2.14) Ответ: R = (R12 + R22)1/2. Решение. В первом пузыре давление Р1 = 4σ /R1, а во втором Р2 = Р1 + 4σ /R2. После того как остался один пузырь, давление в нем стало Р. = 4σ /R. Объемы газа соответственно равны V1 = 4π (R13 – R23)/3, V2 = 4π R23/3, V = 4π R3/3. По закону Бойля-Мариотта находим P1V1 + P2V2 = PV; Отсюда R = (R12 + R22)1/2. 16. Оценить относительную ошибку, которую допускают при измерении атмосферного давления ртутным барометром, имеющим барометрическую трубку с внутренним диаметром d = 5 мм. Занижает или завышает показания такой барометр? Какова относительная ошибка при измерении атмосферного давления по высоте столбика ртути, если коэффициент поверхностного натяжения ртути σ = 0.48 Н/м, а плотность ртути ρ = 13.6 г/см3. Ответ: ε ≈ 0.4 %. Решение. Ртуть не смачивает стекло, мениск будет выпуклым, и высота столбика ртути уменьшается из-за действия сил поверхностного натяжения. Абсолютная систематическая ошибка при измерении высоты ртутного столба таким барометром определится из условия: Δ P = π dσ /(¼ π d2) = 4σ /d = ρ ртgΔ h, откуда Δ h = 4σ /(dρ ртg). Относительная ошибка измерения давления: ε = Δ P/P = Δ h/h = 4σ /(dρ ртgh), где h ≈ 76 см, поэтому ε ≈ 0.4 %. 17. Конец капиллярной трубки радиуса r = 0.05см опущен в воду на глубину h = 2см. какое давление необходимо, чтобы выдуть пузырек воздуха через нижний конец трубки? Поверхностное натяжение воды σ = 0.072 Н/м. Ответ: Р = 472 Па. Необходимое давление должно превышать атмосферное на величину, способную уравновесить гидростатическое давление столба жидкости и капиллярное давление в пузырьке воздуха радиуса r. Повышение давления Р = ρ gh + 2σ /r = 484Па. 18. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно выдуть мыльный пузырь радиуса R = 4 см через тонкую трубку? Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора считать равным 0.07 Н/м. Ответ: А = 2.9 мДж. Решение. 1-й способ. Давление газа внутри мыльного пузыря больше наружного атмосферного давления. При этом давление внутри жидкой пленки, образующей пузырь, больше атмосферного на величину 2σ /r1, но меньше давления внутри пузыря на величину 2σ /r2, Здесь r1 - радиус внешней сферической поверхности, а r2 - внутренней. Так как пленка тонкая, то можно считать, что r1 ≈ r2 = r, где r - радиус пузыря. Тогда избыточное давление внутри пузыря Δ P = 4σ /r. Найдем полную силу, растягивающую пузырь, учитывая, что площадь сферической поверхности равна S = 4π r2: F = Δ PS = 16π σ r. При увеличении радиуса пузыря на малую величину Δ r силы давления совершают работу Δ A = FΔ r = 16π σ rΔ r. При выдувании пузыря радиус r увеличивается от 0 до R. Так как сила F увеличивается прямо пропорционально r, то полная работа по выдуванию пузыря равна A = FсрR = ½ FmaxR = 8π σ R2. 2-й способ. Работа внешних сил по выдуванию пузыря идет на увеличение поверхностной энергии мыльной пленки. Общая площадь поверхности пленки равна удвоенной площади сферы радиуса R. Тогда A = Wпов = σ Sобщ = 8π σ R2 ≈ 2.9 мДж. 19. Для дальней космической связи используется спутник объемом 100м3, наполненный воздухом при нормальных условиях. Метеорит пробивает в его корпусе отверстие площадью S = 1см2. Через какое время давление воздуха внутри спутника изменится на 1%. Температуру считать неизменной. Ответ: Δ t ~ 6 мин. Решение
В условиях постоянной температуры изменение давления связано с уменьшением концентрации молекул Δ P = Δ nkT. За время Δ t количество молекул, покинувших спутник, равно Δ n = (1/6)n(SvΔ t), где v = (3RT/)1/2 – среднеквадратическая скорость молекул. Отсюда Δ t = 6Δ P/(SvnkT) = 6(Δ P/P)/(Sv) = 6(Δ P/P)[μ /(3RT)]1/2/S ≈ 6 мин.
Газовые законы.
Ответ: Δ L = L/12. Решение. Так как начальное давление гелия в три раза больше начальных давлений водорода и азота, а объемы газов одинаковые, то количество молей гелия в три раза больше количества молей водорода и азота: ν Не/ ν Н = ν Не/ ν N = 3. Правый цилиндр проницаем для водорода. Поэтому давление на него производят только гелий и азот. Температура всех газов после окончания диффузии будет одинакова. Правый цилиндр будет перемещаться до тех пор, пока давления азота и гелия не сравняются: РНе = РN; ν НеRT/(L – x) = ν NRT/ x. Здесь х – равновесное положение поршня, отсчитываемое от правой стенки сосуда. Из этих уравнений после несложных преобразований находим x = ¼ L, а величина смещения Δ L = 1/3 L – ¼ L = L/12. 2. С какой максимальной силой прижимается к телу человека медицинская банка, если диаметр ее отверстия d = 4см? В момент прикладывания ее к телу воздух в ней имеет температуру t1 = 80oC, а температура окружающего воздуха to = 20oC, атмосферное давление Ро = 105Па. Изменением объема воздуха в банке при ее присасывании пренебречь. (МФТИ, 1988) Ответ: F = Po(1 – To/T)π d2/4 ~ 21H. Решение. При остывании воздуха в банке давление воздуха в ней становится меньше атмосферного, и сила, с которой с которой она прижимается к телу, равна F = (Po – Pб)π d2/4. Изменением объема воздуха в банке пренебрегаем, тогда Рб/То = Ро/Т → Рб = Ро (То /Т). Итак: F = Po(1 – To/T)π d2/4 ~ 21H. 3. Найти формулу некоторого соединения углерода с кислородом, если известно, что m =1г этого вещества в газообразном состоянии создает в объеме V = 1л при температуре Т = 27оС давление Р = 5.6104 Па. (МФТИ, 1992г) Ответ: СО2 – углекислый газ. Решение. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа PV = (m/m) RT, откуда найдем молярную массу соединения: m = mRT/PV = 44г/моль. Молярная масса углерода mС = 12г/моль, молярная масса кислорода 4. При комнатной температуре четырехокись азота частично диссоциирует на двуокись азота: N2O4 ↔ 2NO2. В откаченный сосуд объемом V = 250см3 вводится m = 0.92г жидкой четырехокиси азота. Когда температура в сосуде увеличивается до t =27oC, жидкость полностью испаряется, а давление становится равным Р = 129кПа. Какая масса четырехокиси при этом диссоциирует? Ответ: m1 = μ 1(μ 2PV/RT –m)/(μ 2 - μ 1) ~ 0.27г. Решение. Пусть диссоциирует масса m1. Тогда парциальное давление двуокиси азота Р1 = m1RT/μ 1V, где μ 1 = 46г/моль. Парциальное давление четырехокиси азота Р2 = (m-m1)RT/μ 2V, где μ 2 = 92г/моль. По закону Дальтона Р = Р1 + Р2. Подставив в последнее равенство выражения для Р1 и Р2, получаем: m1 = μ 1(μ 2PV/RT –m)/ ( μ 2 - μ 1) ~ 0.27г. 5. В запаянной с обоих концов U-образной трубке, частично заполненной водой, в одном из колен находится воздух, а из другого колена воздух полностью удален. При температуре t1 = 27 º C уровень воды в колене, содержащем воздух, ниже запаянного торца трубки на L1 = 80 см, а перепад уровней воды в коленах равен h1 = 50 см. Найти изменение разности уровней воды в коленах после нагревания трубки до температуры t1=87º C, пренебрегая тепловым расширением и объемом испарившейся воды. (МГУ, физ. фак., 2000) Ответ: x = - (½ h1 + L1) + {((½ h1 + L1)2 + 2 L1 h1 (T2/ T1 -1)}1/2 ~ 7.4 см.
Решение.
Обозначим расстояние от запаянного торца колена, содержащего воздух, до уровня воды в нем после нагрева трубки как L Р где ρ – плотность воды. С другой стороны эти давления равны давлениям воздуха в двух состояниях и связаны между собой объединенным газовым законом Р где V Р Тогда Р Учитывая несжимаемость воды: h x Единственным положительным решением этого уравнения является x = - (h
6. Колокол для подводных работ объемом 10 м3 опускается вниз дном с борта корабля на дно водоема глубиной 20 м. Зашедшая в колокол вода вытесняется из него с помощью баллонов со сжатым воздухом. Объем одного баллона 40 литров, давление внутри 200 атмосфер. Найти минимальное количество баллонов, которое нужно подсоединить к колоколу, чтобы вытеснить из него воду? Газовая постоянная R = 8.31 Дж/моль К, температуру считать постоянной. (МФТИ, 1992) Ответ: n = 3. Решение. Давление на дне водоема равно Рдн = Ратм + ρ gh = 3 атм, где Ратм = 1 атм – атмосферное давление, ρ – плотность воды, h = 20 м – глубина водоема. Поскольку в колоколе изначально находился воздух при давлении Ратм, то количество воздуха, которое необходимо ввести под колокол в соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона будет равно Δ M = μ (ρ gh)V/RT, где μ – молекулярный вес воздуха, Т – абсолютная температура воздуха, V = 10 м3 – объем колокола. Масса воздуха, которую можно перекачать из одного баллона определится из соотношения Δ m = μ (РБ – Рдн)vБ/RT, где vБ = 40 л – объем баллона. Вытеснение воды может осуществляться только тогда, когда давление в баллоне больше чем давление воды на дне водоема. Таким образом, в баллонах останется некоторое количество воздуха. Минимальное количество баллонов будет равно n = Δ M/Δ m = ρ gh (V/vБ)/ (РБ – Рдн) = 2.54, т.е. достаточно трех баллонов.
Ответ: v2 = P1T2S1v1/(P2T1S2). Решение. За время Δ t в трубку входит объем воздуха V1 = S1v1Δ t, а выходит объем V2 = S2v2Δ t. Так как это равные массы, то из обобщенного газового закона P1V1/T1 = P2V2/T2 находим v2 = P1T2S1v1/ ( P2T1S2). 8. В блюдце налито m = 30 г воды, а сверху на воду поставлен перевернутый вверх дном разогретый цилиндрический стакан с тонкими стенками. До какой минимальной температуры должен быть нагрет стакан, чтобы после остывания его до температуры окружающего воздуха То = 300 К в него оказалась бы втянута вся вода? Атмосферное давление Ро = 100кПа, площадь сечения стакана S = 20 см2, высота Н = 10 см, плотность воды ρ = 1 г/см3. Явлением испарения поверхностным натяжением и расширением самого стакана пренебречь. (Меледин, 2.34) Ответ: T ≈ 80oC. Решение. Уравнение состояния газа: PoSH/To = PSh/T, где h – расстояние от дна перевернутого стакана до уровня втянутой в него воды. Условие равновесия втянутой в стакан воды: PS + mg = PoS, h = H – m/ρ S. Отсюда T = To/ {[1 – mg/ (PoS)] [1 - m/ (ρ HS)]} ≈ 350 K ≈ 80oC. 9. В запаянной с одного конца горизонтальной трубке сечения S на расстоянии L от запаянного конца находится поршень массы m. Другой конец трубки открыт, по обе стороны поршня воздух, давление которого Ро. Трубку начинают вращать с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через запаянный конец трубки. На каком расстоянии от запаянного конца трубки будет находиться поршень? Температуру воздуха считать постоянной. Трением пренебречь. (Меледин, 2.8) Ответ: x = [PoS/(2mω 2)]{1 - [1 – 4mω 2L/(PoS)]1/2}. Решение. Уравнение второго закона Ньютона для движения поршня по окружности: mω 2x = (Po – P) S. Из закона Бойля-Мариотта имеем Px = PoL, где Р – давление между поршнем и запаянным концом вращающейся трубки; отсюда mω 2x2/ (PoS) – x + L = 0, x1, 2 = [PoS/ (2mω 2)] {1 ± [1 – 4mω 2L/ (PoS)]1/2}. Очевидно, должно выполняться условие 4mω 2L/(PoS) < 1, иначе поршень из трубки вылетит.
y1 = mω 2 x2/ (PoS) + L, y2 = x. Пересечение этих графиков дает два корня х1 и х2 исследуемого квадратного уравнения. Нетрудно видеть, что корень х1 соответствует неустойчивому положению равновесия поршня, а корень х2 - устойчивому. Следовательно, из физических соображений подходит лишь один корень, соответствующий знаку « - « в скобках. Таким образом x = [PoS/ (2mω 2)] {1 - [1 – 4mω 2L/ (PoS)]1/2}, x ≈ L [1 + mω 2L/ (PoS)] при mω 2L < < (PoS).
Ответ: F = kL + ½ PoS – [(kL)2 + ( ½ PoS)2]1/2. Решение. Условие равновесия левого поршня: PoS – kx – P1S = 0. Условие равновесия правого поршня: P1S + F – PoS = 0. Из закона Бойля-Мариотта имеем PoL = P1(2L – x). Отсюда следует, что F = kx, т.е. x = F/k. Таким образом F2 – F(2kL + PoS) + PoLkS = 0. Отсюда F = kL + ½ PoS – [(kL)2 + ( ½ PoS)2]1/2. ( F → 0 при k → 0).
Ответ: Po = 4g(ρ HS – m)2 / [S (2m – ρ HS)]. Решение. Масса жидкости m = ½ ρ HS + ½ ρ hS. Введем давление запертого между стенками воздуха Р и Ро – атмосферное давление. Условие равновесия и закон Бойля –Мариотта дают P = Po + ρ g(H – h), P (H – h) = PoH. Отсюда Po = 4g(ρ HS – m)2 / [S(2m – ρ HS)] 12. Сосуд объема V = 2 л разделен на две равные части полунепроницаемой неподвижной перегородкой. В первую половину сосуда введена смесь mВ = 2 г водорода и mА = 20 г аргона, во второй половине – вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. Температура сосуда поддерживается постоянной и равной t = 20oC. Какое давление установится в первой половине сосуда после окончания процесса диффузии? (МФТИ, 1992) Ответ: Р = 2.4 106 Па. Решение. Водород заполнит весь сосуд, и его давление РВ = (mВ/mВ)(RT/V); аргон останется весь в первой половине и его давление РА = (mА/mА)(2RT/V). По закону Дальтона давление в первой половине сосуда Р = РВ + РА = (RT/V)( mВ/mВ + mА/mА ) = 2.4 106 Па. 13. Из сосуда хотят откачать водород с помощью адсорбционного насоса, т.е. подсоединенного к сосуду отростка с насыпанным в него адсорбентом. Масса поглощенного водорода не превышает 0.02 массы самого адсорбента. Сосуд, какого объема можно откачать с помощью адсорбента массы m = 100 г, если начальное давление водорода в сосуде Ро = 10 Па, а температура Т = 300 К. (МФТИ, 1988) Ответ: V ~ 250м3. Решение. Масса водорода, которую может поглотить адсорбент, равна mВ = 0.02m = 2г. При заданных Ро и Т она содержится в объеме V = mRT/μ Po ~ 250м3, т.е. сосуд такого объема адсорбент полностью откачает.
14. Внутри закрытого с обеих сторон горизонтально расположенного цилиндра имеется поршень, который скользит в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится mВ = 2 г водорода, а с другой mа = 17 г азота. Какую часть объема цилиндра занимает водород? (МФТИ, 1988) Ответ: VВ / Vo = 0.62. Решение. Условие равновесия поршня – равенство давлений азота и водорода. Температуры их одинаковы. Запишем для каждого уравнение состояния: PVВ = mВRT/μ В P (Vo - VВ) = mа RT/μ а, где μ а, μ В – молярные массы азота и водорода. Поделив уравнения, найдем VВ / Vo = mВ μ a/ ( mВ μ a + mа μ В ) = 0.62. 15. Лазерные трубки должны быть заполнены смесью гелия и ксенона в молярном соотношении 9: 1 при общем давлении 10 торр. Ксенон содержится в баллонах объема V1 = 1 л при давлении Р1 =300торр, а гелий в баллонах V2 = 2 л при давлении Р2 = 50 торр. Сколько баллонов гелия понадобится для того, чтобы полностью использовать один баллон ксенона? (МФТИ, 1988) Ответ: N = 27 баллонов. Решение. Объем и температура всех лазерных трубок предполагаются одинаковыми. Тогда отношение давлений гелия и ксенона равно отношению их молярных концентраций, как следует из уравнения состояния: РНе/РХе = ν Не/ν Хе = 9/1; РНе + РХе = 10 торр, т.е. РНе = 9 торр, РХе =1 торр. Пусть V - общий объем заполняемых лазерных трубок, а N – необходимое число баллонов гелия. По закону Бойля-Мариотта: P1 V1 = PХе (V1 + V + NV2) – для ксенона; P2 NV2 = PHe (V1 + V + NV2) – для гелия, т.к. и гелий, и ксенон равномерно заполняют всю систему. Поделив уравнения, получаем: Популярное: |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-08; Просмотров: 7000; Нарушение авторского права страницы
Вертикальная составляющая сил поверхностного натяжения будет максимальна, когда поверхность капли у края пипетки будет вертикальна (капля в виде полусферы). Она равна
9. Мыльная пленка ограничена проволочным каркасом и двумя подвижными планками: АВ длиной l1 = 10 см и CD длиной l2 = 5 см. Планки жестко скреплены между собой. Коэффициент поверхностного натяжения пленки s = 0. 07 Н / м. Какую работу надо совершить для перемещения планки АВ влево на 
1. Сосуд разделен легкими подвижными поршнями на три равные части, в которых находятся гелий, водород и азот (см. рис.). Левый поршень проницаем для гелия и водорода, правый проницаем только для водорода. Найти расстояние, на которое сместится правый поршень после окончания процесса диффузии газов. Начальное давление гелия в три раза больше начального давления водорода и азота. Длина сосуда равна L. 
МГУ, физ. фак., 
, а перепад уровней воды как h 
, а после нагрева - Р 
/ T 
+ 2 x (h 
= 7.4 см.
7. Через трубку переменного сечения продувают воздух. Входное отверстие имеет площадь S1, выходное – S2 (см. рис.). На входе скорость воздуха постоянна и равна v1, температура Т1, давление Р1. На выходе температура Т2, давление Р2. Найти скорость воздуха в выходном сечении. (Меледин, 2.29) 
Для того чтобы выяснить оба ли корня подходят, рассмотрим графики двух функций (см. рис.)
10. В горизонтально закрепленной, открытой с торцов трубе сечения S находятся два поршня. В исходном состоянии левый поршень соединен недеформированной пружиной жесткости k со стенкой, давление газа Ро между поршнями равно атмосферному, расстояние L от правого поршня до края трубы равно расстоянию между поршнями (см. рис.). Правый поршень медленно вытянули до края трубы. Какую силу надо приложить к поршню, чтобы удерживать его в этом положении? Температуру газа считать постоянной. Трением пренебречь. (Меледин, 2.25) 
11. Цилиндрический сосуд с тонкими двойными стенками наполнили до краев жидкостью плотностью ρ (см. рис.). Высота сосуда равна Н, площадь дна равна S, площадь сечения внутреннего цилиндра - ½ S. Между внутренним цилиндром и дном имеется щель. Найти значение атмосферного давления, если масса жидкости в сосуде равна m. Стенки сосуда хорошо проводят тепло. Давление насыщенных паров жидкости мало по сравнению с атмосферным. (Меледин, 2.2)