РАЗДЕЛ 1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Основные формулы

Кинематика

Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором :

где - единичные векторы направлений (орты); х, у, z — координаты точки.

Средняя скорость

где - перемещение материальной точки за интервал времени .

Средняя путевая скорость

где - путь, пройденный точкой за интервал времени .

Мгновенная скорость

где , , - проекции скорости на оси координат.

Модуль скорости

Ускорение

где , , - проекции ускорения на оси координат.

Модуль ускорения

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

Модули этих ускорений

где R - радиус кривизны в данной точке траектории.

Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

где x₀ - начальная координата; t - время.

При равномерном движении v=const и a=0.

Кинематическое уравнение равнопеременного движения (а=const) вдоль оси x

где v₀ - начальная скорость; t - время.

Скорость точки при равнопеременном движении

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .

Средняя угловая скорость

где Δ φ - изменение угла поворота за интервал времени Δ t.

Мгновенная угловая скорость

Угловое ускорение

Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения

Кинематическое уравнение равномерного вращения

где φ ₀ - начальное угловое перемещение; t - время. При равномерном вращении ω =const и ε =0.

Частота вращения

n=N/t,

или

n=1/T,

где N — число оборотов, совершаемых телом за время t; Т - период вращения (время одного полного оборота).

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε =const)

где ω ₀ - начальная угловая скорость; t - время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R, при повороте на угол φ

;

линейная скорость точки

;

тангенциальное ускорение точки

нормальное ускорение точки

Динамика материальной точки и тела, движущегося

Поступательно

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

в векторной форме

где - геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т - масса; а - ускорение; - импульс; N - число сил, действующих на точку;

в координатной форме (скалярной)

;

или

;

где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.

Сила упругости

F_упр=-kx,

где k - коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

х - абсолютная деформация.

Сила гравитационного взаимодействия тел, рассматриваемых как материальные точки

где G - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между ними.

Сила трения скольжения

F_тр=μ N,

где μ - коэффициент трения скольжения; N - сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

или

где N - число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Работа, совершаемая постоянной силой

где α - угол между направлениями векторов силы и перемещения .

Работа, совершаемая переменной силой

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

Средняя мощность за интервал времени Δ t

Мгновенная мощность

или

где dA - работа, совершаемая за промежуток времени dt.

Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно

или

Потенциальная энергия тела W_П и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

или

где - единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m₁, и т₂, находящихся на расстоянии r друг от друга

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести

где h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии.

Эта формула справедлива при условии h < < R, где R — радиус Земли.

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

W_К+W_П= const.

Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров, получаем формулу скорости шаров после абсолютно неупругого удара

и формулы скорости шаров после абсолютно упругого удара

где m₁ и m₂ — массы шаров; v₁ и v₂ — их скорости до удара.

12 3 Следующая ⇒