Математическая модель (ММ) - метод (алгоритм) - программа

Рассмотрим эти составляющие вычислительного эксперимента.

Что же такое математическая модель (ММ). При решении задач строительства мы имеем дело с реальными «нематематическими» объектами. Это задачи производственных процессов, задачи проектирования, задачи управления экономикой и др. Объектом исследования может быть как материальное тело (жидкое, абсолютно твердое, деформируемое), так и технологический процесс или процесс управления.

На первом этапе своего исследования инженеру-строителю требуется формализовать задачу, т.е. составитьее математическую модель, поскольку по своей природе математические методы можно применять не непосредственно к излучаемой действительности, а лишь к математическим моделям тех или иных явлений.

Математическая модель - это математическое описание объекта исследования с помощью хорошо изученного математического аппарата (формулы, уравнения и системы уравнений).

В своей практической деятельности инженер-строитель сталкивается с множеством вопросов, на которые трудно, а порой и невозможно получить ответ с помощью натурных экспериментов, которые обычно, к тому же, весьма дороги.

В этих ситуациях на помощь приходит особая форма изучения окружающей действительности – математическое моделирование т.е. изучение и прогнозирование поведения исследуемого объекта с помощью математического аппарата.

По словам академика АН СССР А.Н.Самарского «Сущность математического моделирования и его главное преимущество состоит в замене исходного объекта соответствующей математической моделью и в дальнейшем ее изучение (экспериментирование с нею) на ЭВМ с помощью вычислительно-логических алгоритмов» [7].

Основное требование, предъявляемое к математической модели, это адекватность изучаемому объекту или явлению.

Адекватность - это степень соответствия ММ и изучаемого объекта исследования.

Иными словами модель должна достаточно точно (в пределах допустимых погрешностей) отражать характерные черты и поведение изучаемого явления или объекта [12].

Математическая модель представляет собой компромисс между сложностью изучаемого объекта и желаемой простотой его описания. Построение модели требует глубокого знания изучаемого объекта или явления, математической культуры, развитой интуиции.

Успех решения задачи во многом зависит от верного выбора математической модели.

Рассмотрим примеры некоторых простых математических моделей.

Пример. Необходимо определить площадь поверхности стола.

Реальный объект заменяем абстрактной ММ – прямоугольником. И площадь прямоугольника (абстрактного объекта) принимается за площадь реального объекта.

Если провести более тщательные замеры, то модель «прямоугольника» придется отвергнуть и заменить ее либо «четырехугольником», либо какой-то замкнутой поверхностью.

Этот постой пример уже позволяет сделать некоторые выводы:

· Математическая модель не определяется однозначно. Для одного и того же объекта исследования можно выбрать ту или иную ММ.

· Выбор ММ определяется требованием точности.

· С повышением точности приходится усложнять модель.

Рассмотрим еще один пример математической модели из строительной практики.

Пример.Задача об изгибе горизонтальной балки длиной L, лежащей на двух опорах х=0 и х=L под действием распределенной поперечной нагрузки с линейной плотностью q=q(x).

Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб балки у приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

где EI(x) – жесткость балки при изгибе.

Добавив условия закрепления балки на концах, получим математическую модель в виде краевой задачи.

В настоящее время построены математические модели и для описания задач экономики, социологии, медицины и др.

Вопрос применимости той или иной ММ к изучению рассматриваемого объекта решается в процессе практики (критерий практики).

Сравнивают различные ММ и выбирают из них ту, которая является наиболее простой и адекватно описывающей изучаемый объект с достаточной для практики точностью.

В качестве ММ широко используются всевозможные уравнения (нелинейные, дифференциальные, интегральные и т.д.), системы описанных выше уравнений, а также неравенства и системы неравенств.

Только после построения ММ можно воспользоваться математическими методами для ее изучения и решения.

Численные методы.

Таким образом, с помощью математического моделирования решение строительных задач может быть сведено к решению математических задач, для решения которых могут быть использованы такие группы методов, как аналитические и численные.

Аналитические методы (их еще иногда называют «точными») позволяют выразить решение в виде формул.

Построенная математическая модель в редких случаях допускает аналитическое решение.

Тогда на помощь приходят численные методы во всем их многообразии.

Численные методы и их реализация на ЭВМ составляют содержание огромного раздела современной математики – «Вычислительная математика

Численные методы (ЧМ) – это методы решения математической задачи, сводящиеся к конечному числу арифметических и некоторых логических действий над числами, то есть к тем действиям, которые может выполнить ЭВМ.

При использовании ЧМ стремятся найти какой-либо процесс, чаще всего бесконечный, сходящийся к искомому ответу. В результате получается приближенное решение задачи, так как выполняется конечное число шагов, и вычисления обрываются. Такой подход был известен еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исключительной трудоемкости вычислений.

Применение численных методов на базе ЭВМ позволяет решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать. Это расчет пространственных сооружений, структурных конструкций, которые широко применяются в настоящее время для устройства перекрытий различных объектов, пространственных конструкций в виде оболочек, висячих покрытий и др.

Дискретизация. Общим для всех численных методов является сведение непрерывной математической задачи к задаче конечномерной, то есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. При этом область изменения аргумента x заменяется дискретным множеством точек (узлов) x_i, Это множество называется сеточной областью (разностной сеткой или просто сеткой):

W_n{ x₀=a, x_i= x_i_-1+h ( i = 1, 2, ….n-1), x_n=b, h = (b-a)/n},

где x_i, –узлы сетки ( i=0, 1, 2, ….n),

h – шаг сеточной области.

А заданная непрерывная на [a, b] функция y=y(x) заменяется функцией дискретного аргумента y_i = f(x_i), ( i=0, 1, 2, ….n)на этой сеточной области (т.е. таблицей). Так заданная функция называется сеточной [3, 12].

Если исходная математическая задача формулируется в виде дифференциального уравнения или системытаких уравнений, то при численном решении задачи ее заменяют системой конечного, возможно, очень большого числа линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи.

В общем случае дискретную модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи.

Чаще всего дискретная модель зависит от некоторого параметра дискретизации (например, шага сетки h ), при стремлении которого к нулю число узлов сетки x_i, ( i=0, 1, 2, ….n) неограниченно возрастает.

После дискретизации задачи строится вычислительный алгоритм (последовательность арифметических и логических операций, выполняемых на ЭВМ), т.е. выбирается какой-либо численный метод, дающий за конечное число действий решение дискретной задачи.

Результатом реализации ЧМ на ЭВМ является число или таблица чисел {x_i, y_i}, где i = 0, 1, 2, ….n.

Полученное решение принимается за приближенное решение исходной задачи.

Для одной и той же задачи можно использовать несколько численных методов. Пользователю надо уметь выбрать наиболее рациональный из них для каждого конкретного случая. Правильный выбор численного метода делается на основе знания его характеристик, таких как универсальность, экономичность, устойчивость, простота. И выбирая тот или иной численный метод, надо помнить, что уровень точности метода должен быть адекватен точности модели .

Кроме того, надо помнить, что вычислительный алгоритм (численный метод) должен давать решение исходной задачи с заданной точностью за конечное число действий (за допустимое машинное время).

Численные методы не всесильны. Они не заменяют аналитические методы. Их следует применять в комбинации.

Погрешности вычислений

На некоторых этапах вычислительного эксперимента могут возникнуть погрешности, искажающие результаты вычислений. Поэтому оценка степени достоверности получаемых результатов в процессе вычислительных работ является важным вопросом.

Рассмотрим источники погрешностей на отдельных этапах решения задачи [6, 9, 12].

Погрешность задачи , обусловленная неточным заданием математической модели. Погрешность ММ рассматриваться здесь не будет.

Исходные данные задачи чаще всего являются основным источником погрешностей . Для вычислителяэто неустранимая погрешность (не зависит от математики). Исходные данные чаще всего задаются неточно. Они могут быть получены в процессе эксперимента. В технических задачах погрешность измерений допускается в пределах 5–10%. А так же в процессе предварительных расчетов, где надо учитывать погрешности округления.

Погрешность метода или погрешностьдискретизации, возникающая при замене исходной задачи – дискретной.

Погрешность численного метода связана с тем, что точные операторы заменяются приближенными. Например, интеграл заменяется суммой, производная – разностью, функция – многочленом (разложение в ряд), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т.д.

Погрешность метода надо выбирать так, чтобы она была в несколько раз меньше погрешности исходных данных. Большая погрешность снижает точность результата, а меньшая бесполезна, т.к. приводит к необоснованному увеличению объемов вычислений. Надо помнить, что никакие манипуляции с данными не увеличат их точность.

Как правило, описание того или иного численного метода содержит оценку точности этого метода.

Погрешность округлений возникает при вычислениях с помощью ЭВМ, что связано с ограниченностью разрядной сетки.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒