Понятия точности, устойчивости и сходимости

При численном решении

При выборе численного метода необходимо оценить такие его характеристики, такие как точность, устойчивость и сходимость.

Точность – это мера близости численного решения к точному, или истинному, решению.

Устойчивость. При решении инженерных задач неизбежно появляются погрешности исходных данных (входных параметров). Поэтому возникает вопрос о том, насколько чувствительными могут оказаться сами задачи и их решения к таким погрешностям.

Т.е. вопрос об устойчивости решения - это вопрос о том, как зависит решение задачи от входных параметров .

Если решение существует и единственно, то возможны два варианта.

1. Решение задачи непрерывно зависит от входных параметров, т.е. малым изменениям входных параметров (возмущениям) соответствует малое изменение решения задачи. Такое решение называется устойчивым, а сама задача – корректной.

2. Если же небольшие возмущения исходных данных приводят к большим изменениям решения, то это решение называется неустойчивым, а сама задача – некорректной.

Корректность. Задача называется поставленной корректной, если решение существует, единственно и устойчиво относительно исходных данных из некоторого класса ее решений. [8, 12].

Применять ЧМ для решения некорректно поставленных задач нецелесообразно, поскольку погрешности округления, возникающие в расчетах, будут быстро возрастать по ходу вычислений, что приведет к существенным искажениям результатов.

Сходимость – это постепенное приближение последовательно вычисляемых приближенных решений к предельному (точному) решению.

Термин сходимости применяется к построению итерационной последовательности, в которой одно приближенное решение (итерация) становится исходной информацией для следующего приближенного решения.

Таким образом, в сходящемся процессе разница между соседними приближениями (итерациями) уменьшается, стремясь в пределе к нулю.

Итак, чтобы получить решение задачи с необходимой точностью, ее постановка должна быть корректной, а применяемый ЧМ должен обладать устойчивостью и сходимостью.

Глава 1

Основные понятия матричного исчисления

Матричная форма расчетов известна давно. Однако до появления ЭВМ она не находила широкого применения из-за трудоемкости матричных операций при ручном счете.

Решение алгебраических задач при расчете строительных объектов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего процесс расчета представлять в матричном виде. Чтобы далее при решении задач не обращаться к специальным руководствам, напомним основные понятия, которые в дальнейшем потребуются нам при изучении данного курса.

Матрицы и векторы.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов (чисел), и имеющая m строк и n столбцов (размерность m ´ n), Обозначается матрица чаще всего большими буквами A или [A]:

Если m = n, матрица называется квадратной

Если m = 1, это матрица-строка (вектор-строка);

Две матрицы и равны друг другу, если они одного типа (имеют одинаковое число строк и столбцов – размер [ m ´ n ]) и соответствующие элементы этих матриц равны между собой: для всех i и j.

Если n = 1, то матрица называется матрица-столбец или вектор. Будем особо выделять вектор и обозначать его следующим образом :

Квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме элементов стоящих на главной диагонали, называется диагональной:

Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной и обозначается обычно буквой Е :

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, получается транспонированная матрица (обозначается А ^т).

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, вычисляемое по определенным правилам - определитель (det A). Например, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

Алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду приведен во второй главе.

Если определитель матрицы det A=0, то матрица называется вырожденной, и невырожденной впротивном случае.

Эквивалентны следующие высказывания: матрица А является невырожденной, если:

· столбцы (строки) матрицы А линейно независимы;

· равенство , означает, что ;

Обратная матрица. Доказывается теорема, что если матрица А невырожденная (det A ≠ 0), то она имеет обратную матрицу (обозначается А ^-1).

Матрица называется обратной по отношению к данной, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу:

А А ^-1= А ^-1 А = Е (1.6)

Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы.

Матрицы специального вида

При использовании численных методов для решения задач строительства приходится сталкиваться с матрицами, специальная форма которых позволяет облегчить процесс вычисления. Рассмотрим некоторые из них.

Матрица, в которой большинство элементов равно нулю, называется разреженной. Такие матрицы появляются при расчетах моделей, в которых существенно локализованы связи и действующие нагрузки (стержневые системы, например, фермы), или при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Элементы a_ij такой матрицы обычно вычисляются по заданным формулам и их можно не хранить в оперативной памяти машины. Это очень важно, так как порядок таких матриц может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч.

Ленточная матрица – это разреженная матрица, в которой все ненулевые элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

Такие матрицы встречаются при решении краевых задач методом конечных разностей или вариационными методами – Ритца, конечных элементов.

Структуру ленточной матрицы можно представить в виде:

Ширина ленты

Трехдиагональная матрица – частный случай ленточной матрицы, ширина ленты которой равна 3 (или

каждая строка матрицы содержит три ненулевых элемента, за исключением первой и последней, содержащих по два ненулевых элемента).

Такого вида матрицы получаются при решении краевых задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, или при определении критических сил способом упругих грузов.

Квадратная матрица называется симметричной , если ее элементы симметричны относительно главной диагонали, ( ). Многие физические задачи равновесия, строительной механики приводят к симметричным матрицам.

Решение систем линейных алгебраических уравнений не представляет никаких затруднений для диагональных матриц, в которых элементы при всех i и j, кроме i= j.

Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса. Правда, привести матрицу к диагональному виду не просто.

Треугольные матрицы встречаются при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. И интересны тем, что решение СЛАУ сводится к рекуррентным (последовательным) вычислениям неизвестных.

( для i > j)	( для i< j)
	Верхняя треугольная матрица	Нижняя треугольная матрица

При транспонировании эти матрицы превращаются одна в другую.

Элементарные преобразования матриц. В курсе алгебры доказывается теорема, что всякую невырожденную матрицу (det A¹ 0) можно привести к матрице треугольного вида, эквивалентной исходной, с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Элементарныминазываются следующие преобразова-ния:

· Перестановка двух строк (столбцов) местами.

· Умножение строк (столбцов) на одно и то же число.

· Прибавление к элементам какой либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Если det A¹ 0, т.е матрица невырожденная, то и ей эквивалентная матрица тоже является невырожденной.

Действия над матрицами

Действия над матрицами определяются с помощью действий над их элементами.

1) Сумма (разность) двух матриц одинакового типа А ± В есть матрица С того же типа:

2) Произведение матрицы на число a есть матрица, элементы которой получены умножением всех элементов на число a:

3) Произведением матрицы размера [m´ n] на матрицу размера [n´ r] называется матрица размера [m´ r], элементы которой вычисляются по формуле:

То есть, чтобы получить элемент надо вектор из элементов i-ой строки матрицы А скалярно умножить на вектор из элементов j-го столбца матрицы В.

Произведение А∙ В двух матриц в указанном порядке возможно в том и только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В .

4) Произведение матрицы Ана вектор –частный случай произведения матрицы на матрицу, когда второй сомножитель является матрицей-столбцом (или вектором), причем количество элементов вектора должно быть обязательно равно количеству столбцов матрицы А. Результатом перемножения является вектор где

Действия над матрицами подчиняются следующим законам:

1. А + В = В + А;

2. А +( В + С ) = ( А + В )+ С;

3. a( А + В )= a А +a В ;

4. a(b А )=( ab) А;

5. A ( BC ) = ( AB ) C;

6. ( А + В ) С = АС + ВС;

7. С ( А + В ) = СА + СВ ;

8. a( АВ ) = (a А ) В = А (a В ).

Основной особенностью матричного исчисления является некоммутативность произведения матриц:

АВ ¹ ВА,

т.е. произведение двух матриц не обладает свойством переместительности и из существования произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА. Покажем это на примере.

n Пример 1.1. Вычислить произведение двух матриц А и В .

для данного случая не существует.

Нормы матрицы и вектора

Норма – это одна из важнейших скалярных характеристик векторов и матриц. Существуют различные способы определения нормы матрицы и вектора соответственно. В дальнейшем для анализа решений нам потребуется умение вычислять эти нормы.

Матрица может быть определена тремя нормами:

норма 1 – максимальная сумма модулей элементов матрицы по строкам: