Численные методы решения задач

Численные методы решения задач

Строительства

Часть 1

Рекомендовано Учебно-методическим объединением РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению подготовки 270800 - «Строительство»

Пермь 2014

УДК 69: 519.6(075.8)

Р е ц е н з е н т ы:

Доктор технических наук, профессор Ростовского государственного строительного университета

П.П. Гайджуров

Доктор технических наук, профессор Пермского национального исследовательского политехнического университета

Н.М.Труфанова

Кашеварова Г.Г.

К31 Численные методы решения задач строительства. Часть 1. Учебное пособие/ Г.Г Кашеварова., Т.Б.Пермякова, Лаищева М.Е.; - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед.политехн. ун-та, 2014. -175 с.

ISBN 5-***********

Изложены основные численные методы, применяемые в практических расчетах строительных объектов и в процессах управления и организации строительным производством. Большинство численных методов, представляющих интерес для специалиста-строителя, легко реализуется в табличном процессоре Excel. Поэтому это программное средство выбрано для выполнения численных процедур на ЭВМ.

Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров по направлению подготовки «Строительство» 270800 и может быть использовано студентами других направлений и факультетов, а также инженерами и научными сотрудниками.

исследовательскийполитехнический университет, 2014

Предисловие

В основе учебного пособия лежит курс лекций «Численные методы решения задач строительства на ЭВМ», читаемый студентам бакалаврам строительных специальностей в Пермском научно исследовательском политехническом университете. Это связано с широким внедрением ЭВМ в практику расчетов строительных объектов (конструкций), и в процессы управления и организации строительным производством

Внедрение информационных технологий во все сферы деятельности человека, в том числе и в строительную отрасль, позволило рассчитывать стержневые и нестержневые системы (пластинчатые, оболочечные, массивные, комбинированные) на действие самых разнообразных нагрузок (статических, динамических, тепловых и др.) рассматривая их с единых позиций. Современные универсальные программные комплексы позволяют выполнять расчеты не только задач строительной механики, но и других физических явлений, таких как теплопередача, течение жидкостей и газов и др. От расчетчика (пользователя программными комплексами) не требуется детального знания всех математических, вычислительных и компьютерных проблем. Однако ему необходимо иметь представление о том, как математически формулируются эти задачи и что собой представляют численные методы их решения. Без этого трудно рационально выбрать расчетную схему и правильно оценить достоверность окончательных результатов.

Для реализации численных методов на ЭВМ существует множество разнообразных программ и программных комплексов (MathCAD, MATLAB, Maple и др.). Может показаться, что это богатство программного обеспечения избавляет специалиста-прикладника от глубокого знания отдельных разделов математики. Однако, чтобы воспользоваться этим богатством, надо владеть базовыми знаниями высшей математики. Кроме того, каждая программа имеет свою специфику и особенности и, естественно, требует навыков работы и наличия данного программного средства на компьютере.

Табличный процессор Microsoft Excel, изучаемый студентами в курсе информатики, является весьма доступным, постоянно совершенствующимся программным средством, обеспечивающим пользователю возможность самостоятельно решать различные задачи, не прибегая к услугам программиста. Для этого только нужно уметь сформулировать интересующую проблему, как математическую задачу и выбрать соответствующий численный метод для ее решения. Большинство численных методов, представляющих интерес для специалиста-строителя, успешно реализуется в табличном процессоре Excel. По этим причинам именно данное программное средство выбрано для выполнения численных процедур на ЭВМ.

Учебное пособие разбито на шесть глав, освещающих аспекты следующих численных методов: решение нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); вычисление определенного интеграла; аппроксимация (среднеквадратичное приближение); математическое (линейное) программирование.

Теоретический материал снабжен большим количеством примеров, которые носят поясняющий характер.

При изучении данного курса предполагается, что читатель знаком с классическим курсом высшей математики в объеме, соответствующем программе вуза, основами сопротивления материалов и классической строительной механики, а также владеет навыками работы на персональном компьютере в объеме вузовского курса информатики.

Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров строительных специальностей и может быть использовано студентами других факультетов, а так же инженерами и научными сотрудниками.

Авторы выражают искреннюю благодарность доценту кафедры «Строительные конструкции и вычислительная механика» Пермского национального исследовательского

политехнического университета С.Г.Кузнецовой за помощь в подготовке практических задач по строительной механике.

Введение

Одной из характерных особенностей нашего времени является широкое применение быстродействующих электронно-вычислительных машин (ЭВМ) в самых различных сферах человеческой деятельности, в том числе и в строительной отрасли при решении задач проектирования сооружений или управления строительной отраслью.

Эффективность применения ЭВМ во многом зависит от опыта, профессиональной квалификации и компьютерной грамотности специалиста.

Одной из составляющих компьютерной грамотности на современном этапе является умение формализовать свои профессиональные знания и доведение их до алгоритма. Это умение построить математическую модель технического процесса или изучаемого объекта. Знание, какими численными методами может быть решена та или иная задача. Умение выбрать наиболее рациональный из них и оценить достоверность полученных результатов.

Общие сведения о вычислительном эксперименте и математическом моделировании

В настоящее время широко используется методика исследования сложных технологических проблем, основанная на построении и анализе математических моделей изучаемого объекта с помощью ЭВМ. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Вычислительный эксперимент (ВЭ) – это технологии исследования сложных естественнонаучных проблем с помощью вычислительной математики (или решение инженерных задач с использованием ЭВМ).

Схема вычислительного эксперимента отражает основные этапы процесса познания с использованием современных компьютерных технологий и может быть представлена в виде:

Численные методы.

Таким образом, с помощью математического моделирования решение строительных задач может быть сведено к решению математических задач, для решения которых могут быть использованы такие группы методов, как аналитические и численные.

Аналитические методы (их еще иногда называют «точными») позволяют выразить решение в виде формул.

Построенная математическая модель в редких случаях допускает аналитическое решение.

Тогда на помощь приходят численные методы во всем их многообразии.

Численные методы и их реализация на ЭВМ составляют содержание огромного раздела современной математики – «Вычислительная математика

Численные методы (ЧМ) – это методы решения математической задачи, сводящиеся к конечному числу арифметических и некоторых логических действий над числами, то есть к тем действиям, которые может выполнить ЭВМ.

При использовании ЧМ стремятся найти какой-либо процесс, чаще всего бесконечный, сходящийся к искомому ответу. В результате получается приближенное решение задачи, так как выполняется конечное число шагов, и вычисления обрываются. Такой подход был известен еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исключительной трудоемкости вычислений.

Применение численных методов на базе ЭВМ позволяет решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать. Это расчет пространственных сооружений, структурных конструкций, которые широко применяются в настоящее время для устройства перекрытий различных объектов, пространственных конструкций в виде оболочек, висячих покрытий и др.

Дискретизация. Общим для всех численных методов является сведение непрерывной математической задачи к задаче конечномерной, то есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. При этом область изменения аргумента x заменяется дискретным множеством точек (узлов) x_i, Это множество называется сеточной областью (разностной сеткой или просто сеткой):

W_n{ x₀=a, x_i= x_i_-1+h ( i = 1, 2, ….n-1), x_n=b, h = (b-a)/n},

где x_i, –узлы сетки ( i=0, 1, 2, ….n),

h – шаг сеточной области.

А заданная непрерывная на [a, b] функция y=y(x) заменяется функцией дискретного аргумента y_i = f(x_i), ( i=0, 1, 2, ….n)на этой сеточной области (т.е. таблицей). Так заданная функция называется сеточной [3, 12].

Если исходная математическая задача формулируется в виде дифференциального уравнения или системытаких уравнений, то при численном решении задачи ее заменяют системой конечного, возможно, очень большого числа линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи.

В общем случае дискретную модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи.

Чаще всего дискретная модель зависит от некоторого параметра дискретизации (например, шага сетки h ), при стремлении которого к нулю число узлов сетки x_i, ( i=0, 1, 2, ….n) неограниченно возрастает.

После дискретизации задачи строится вычислительный алгоритм (последовательность арифметических и логических операций, выполняемых на ЭВМ), т.е. выбирается какой-либо численный метод, дающий за конечное число действий решение дискретной задачи.

Результатом реализации ЧМ на ЭВМ является число или таблица чисел {x_i, y_i}, где i = 0, 1, 2, ….n.

Полученное решение принимается за приближенное решение исходной задачи.

Для одной и той же задачи можно использовать несколько численных методов. Пользователю надо уметь выбрать наиболее рациональный из них для каждого конкретного случая. Правильный выбор численного метода делается на основе знания его характеристик, таких как универсальность, экономичность, устойчивость, простота. И выбирая тот или иной численный метод, надо помнить, что уровень точности метода должен быть адекватен точности модели .

Кроме того, надо помнить, что вычислительный алгоритм (численный метод) должен давать решение исходной задачи с заданной точностью за конечное число действий (за допустимое машинное время).

Численные методы не всесильны. Они не заменяют аналитические методы. Их следует применять в комбинации.

Погрешности вычислений

На некоторых этапах вычислительного эксперимента могут возникнуть погрешности, искажающие результаты вычислений. Поэтому оценка степени достоверности получаемых результатов в процессе вычислительных работ является важным вопросом.

Рассмотрим источники погрешностей на отдельных этапах решения задачи [6, 9, 12].

Погрешность задачи , обусловленная неточным заданием математической модели. Погрешность ММ рассматриваться здесь не будет.

Исходные данные задачи чаще всего являются основным источником погрешностей . Для вычислителяэто неустранимая погрешность (не зависит от математики). Исходные данные чаще всего задаются неточно. Они могут быть получены в процессе эксперимента. В технических задачах погрешность измерений допускается в пределах 5–10%. А так же в процессе предварительных расчетов, где надо учитывать погрешности округления.

Погрешность метода или погрешностьдискретизации, возникающая при замене исходной задачи – дискретной.

Погрешность численного метода связана с тем, что точные операторы заменяются приближенными. Например, интеграл заменяется суммой, производная – разностью, функция – многочленом (разложение в ряд), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т.д.

Погрешность метода надо выбирать так, чтобы она была в несколько раз меньше погрешности исходных данных. Большая погрешность снижает точность результата, а меньшая бесполезна, т.к. приводит к необоснованному увеличению объемов вычислений. Надо помнить, что никакие манипуляции с данными не увеличат их точность.

Как правило, описание того или иного численного метода содержит оценку точности этого метода.

Погрешность округлений возникает при вычислениях с помощью ЭВМ, что связано с ограниченностью разрядной сетки.

При численном решении

При выборе численного метода необходимо оценить такие его характеристики, такие как точность, устойчивость и сходимость.

Точность – это мера близости численного решения к точному, или истинному, решению.

Устойчивость. При решении инженерных задач неизбежно появляются погрешности исходных данных (входных параметров). Поэтому возникает вопрос о том, насколько чувствительными могут оказаться сами задачи и их решения к таким погрешностям.

Т.е. вопрос об устойчивости решения - это вопрос о том, как зависит решение задачи от входных параметров .

Если решение существует и единственно, то возможны два варианта.

1. Решение задачи непрерывно зависит от входных параметров, т.е. малым изменениям входных параметров (возмущениям) соответствует малое изменение решения задачи. Такое решение называется устойчивым, а сама задача – корректной.

2. Если же небольшие возмущения исходных данных приводят к большим изменениям решения, то это решение называется неустойчивым, а сама задача – некорректной.

Корректность. Задача называется поставленной корректной, если решение существует, единственно и устойчиво относительно исходных данных из некоторого класса ее решений. [8, 12].

Применять ЧМ для решения некорректно поставленных задач нецелесообразно, поскольку погрешности округления, возникающие в расчетах, будут быстро возрастать по ходу вычислений, что приведет к существенным искажениям результатов.

Сходимость – это постепенное приближение последовательно вычисляемых приближенных решений к предельному (точному) решению.

Термин сходимости применяется к построению итерационной последовательности, в которой одно приближенное решение (итерация) становится исходной информацией для следующего приближенного решения.

Таким образом, в сходящемся процессе разница между соседними приближениями (итерациями) уменьшается, стремясь в пределе к нулю.

Итак, чтобы получить решение задачи с необходимой точностью, ее постановка должна быть корректной, а применяемый ЧМ должен обладать устойчивостью и сходимостью.

Глава 1

Основные понятия матричного исчисления

Матричная форма расчетов известна давно. Однако до появления ЭВМ она не находила широкого применения из-за трудоемкости матричных операций при ручном счете.

Решение алгебраических задач при расчете строительных объектов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего процесс расчета представлять в матричном виде. Чтобы далее при решении задач не обращаться к специальным руководствам, напомним основные понятия, которые в дальнейшем потребуются нам при изучении данного курса.

Матрицы и векторы.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов (чисел), и имеющая m строк и n столбцов (размерность m ´ n), Обозначается матрица чаще всего большими буквами A или [A]:

Если m = n, матрица называется квадратной

Если m = 1, это матрица-строка (вектор-строка);

Две матрицы и равны друг другу, если они одного типа (имеют одинаковое число строк и столбцов – размер [ m ´ n ]) и соответствующие элементы этих матриц равны между собой: для всех i и j.

Если n = 1, то матрица называется матрица-столбец или вектор. Будем особо выделять вектор и обозначать его следующим образом :

Квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме элементов стоящих на главной диагонали, называется диагональной:

Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной и обозначается обычно буквой Е :

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, получается транспонированная матрица (обозначается А ^т).

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, вычисляемое по определенным правилам - определитель (det A). Например, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

Алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду приведен во второй главе.

Если определитель матрицы det A=0, то матрица называется вырожденной, и невырожденной впротивном случае.

Эквивалентны следующие высказывания: матрица А является невырожденной, если:

· столбцы (строки) матрицы А линейно независимы;

· равенство , означает, что ;

Обратная матрица. Доказывается теорема, что если матрица А невырожденная (det A ≠ 0), то она имеет обратную матрицу (обозначается А ^-1).

Матрица называется обратной по отношению к данной, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу:

А А ^-1= А ^-1 А = Е (1.6)

Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы.

Матрицы специального вида

При использовании численных методов для решения задач строительства приходится сталкиваться с матрицами, специальная форма которых позволяет облегчить процесс вычисления. Рассмотрим некоторые из них.

Матрица, в которой большинство элементов равно нулю, называется разреженной. Такие матрицы появляются при расчетах моделей, в которых существенно локализованы связи и действующие нагрузки (стержневые системы, например, фермы), или при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Элементы a_ij такой матрицы обычно вычисляются по заданным формулам и их можно не хранить в оперативной памяти машины. Это очень важно, так как порядок таких матриц может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч.

Ленточная матрица – это разреженная матрица, в которой все ненулевые элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

Такие матрицы встречаются при решении краевых задач методом конечных разностей или вариационными методами – Ритца, конечных элементов.

Структуру ленточной матрицы можно представить в виде:

Ширина ленты

Трехдиагональная матрица – частный случай ленточной матрицы, ширина ленты которой равна 3 (или

каждая строка матрицы содержит три ненулевых элемента, за исключением первой и последней, содержащих по два ненулевых элемента).

Такого вида матрицы получаются при решении краевых задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, или при определении критических сил способом упругих грузов.

Квадратная матрица называется симметричной , если ее элементы симметричны относительно главной диагонали, ( ). Многие физические задачи равновесия, строительной механики приводят к симметричным матрицам.

Решение систем линейных алгебраических уравнений не представляет никаких затруднений для диагональных матриц, в которых элементы при всех i и j, кроме i= j.

Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса. Правда, привести матрицу к диагональному виду не просто.

Треугольные матрицы встречаются при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. И интересны тем, что решение СЛАУ сводится к рекуррентным (последовательным) вычислениям неизвестных.

( для i > j)	( для i< j)
	Верхняя треугольная матрица	Нижняя треугольная матрица

При транспонировании эти матрицы превращаются одна в другую.

Элементарные преобразования матриц. В курсе алгебры доказывается теорема, что всякую невырожденную матрицу (det A¹ 0) можно привести к матрице треугольного вида, эквивалентной исходной, с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Элементарныминазываются следующие преобразова-ния:

· Перестановка двух строк (столбцов) местами.

· Умножение строк (столбцов) на одно и то же число.

· Прибавление к элементам какой либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Если det A¹ 0, т.е матрица невырожденная, то и ей эквивалентная матрица тоже является невырожденной.

Действия над матрицами

Действия над матрицами определяются с помощью действий над их элементами.

1) Сумма (разность) двух матриц одинакового типа А ± В есть матрица С того же типа:

2) Произведение матрицы на число a есть матрица, элементы которой получены умножением всех элементов на число a:

3) Произведением матрицы размера [m´ n] на матрицу размера [n´ r] называется матрица размера [m´ r], элементы которой вычисляются по формуле:

То есть, чтобы получить элемент надо вектор из элементов i-ой строки матрицы А скалярно умножить на вектор из элементов j-го столбца матрицы В.

Произведение А∙ В двух матриц в указанном порядке возможно в том и только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В .

4) Произведение матрицы Ана вектор –частный случай произведения матрицы на матрицу, когда второй сомножитель является матрицей-столбцом (или вектором), причем количество элементов вектора должно быть обязательно равно количеству столбцов матрицы А. Результатом перемножения является вектор где

Действия над матрицами подчиняются следующим законам:

1. А + В = В + А;

2. А +( В + С ) = ( А + В )+ С;

3. a( А + В )= a А +a В ;

4. a(b А )=( ab) А;

5. A ( BC ) = ( AB ) C;

6. ( А + В ) С = АС + ВС;

7. С ( А + В ) = СА + СВ ;

8. a( АВ ) = (a А ) В = А (a В ).

Основной особенностью матричного исчисления является некоммутативность произведения матриц:

АВ ¹ ВА,

т.е. произведение двух матриц не обладает свойством переместительности и из существования произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА. Покажем это на примере.

n Пример 1.1. Вычислить произведение двух матриц А и В .

для данного случая не существует.

Нормы матрицы и вектора

Норма – это одна из важнейших скалярных характеристик векторов и матриц. Существуют различные способы определения нормы матрицы и вектора соответственно. В дальнейшем для анализа решений нам потребуется умение вычислять эти нормы.

Матрица может быть определена тремя нормами:

норма 1 – максимальная сумма модулей элементов матрицы по строкам:

норма 2 – максимальная сумма модулей элементов матрицы по столбцам:

норма 3 – корень квадратный из суммы квадратов всех элементов матрицы:

n Пример 1.2. Для матрицы А вычислить все три нормы

Решение:

= max (3+2+4, 5+2+6, 0+7+1) = max (9, 13, 8) =13;

= max (3+5+0, 2+2+7, 4+6+1) = max (8, 11, 11) = 11;

Для вектора эти нормы вычисляются:

– максимальная по модулю координата вектора,

– сумма модулей координат вектора,

– корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Численные методы решения

Нелинейных уравнений

Решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений. В отдельных случаях они представлять собой самостоятельную задачу. Например, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные параметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными. В других случаях решение нелинейных уравнений являться составной частью более сложных задач, например, частью расчета сооружения на устойчивость, и т.д.

Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл и важное значение приобретают методы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса: алгебраическиеитрансцендентные.

Алгебраические уравнения содержат только алгебраические функции, например,

Уравнения, содержащие любые другие функции (триго-нометрические, логарифмические, показательные и др.) назы-ваются трансцендентными, например,

Любое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в общем виде

f ( x ) = 0, (2.1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале A < x < B.

Всякое значение x^*, обращающее уравнение (2.1) в тождество, называется корнем этого уравнения, т.е. f(x^*) = 0.

С геометрической точки зрения задача нахождения корней уравнения (2.1) эквивалентна задаче нахождения нулей функции у=f(x) т.е. абсцисс точек пересечения графика функции c осью Х, т.е. значений x_i, для которых выполняется условие f (x_i) = 0 (для i=1, 2, ……), рис.2.1.

y=f(x)

Рис.2.1.Схема локализации корней

Исходя из специфики строительных задач будем рассматривать только действительные корни уравнения (2.1).

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют записать корни уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некоторой формулы. На практике класс таких уравнений весьма невелик.

Итерационные (приближенные) методы – это методы последовательных приближений.

Алгоритм нахождения корней уравнения (2.1) с помощью итерационных методов складывается из 2-х этапов.

Первый этап – отделение или локализация корней. На этом этапе необходимо решить следующие задачи:

· определить количество и расположение корней;

· найти их приближенные значения (нулевые итерации) или определить отрезок, содержащий единственный корень.

Второй этап – уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной точности ε.

Метод хорд

Пусть функция y=f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение f(x)=0 имеет на этом отрезке единственный корень x^*.

Положим для определенности f ^’’(x)> 0 (рис.2.6). Вместо деления отрезка пополам, разделим его в отношении f(a): f(b).

С геометрической точки зрения способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой y=f(x) хордой, проходящей через точки A[a, f(a)] и B[b, f(b)].

Для построения итерационной последовательности по методу хорд необходимо выбрать начальное приближение (нулевую итерацию) х_0.

Если функция y=f(x) имеет 2-ую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то начальное приближение х₀выбирается, исходя из условия:

f(x₀) f ”(x₀ ) < 0. (2.11)

Рассмотрим два случая, каждый из которых определен видом функции y = f(x) на отрезке [a, b].

Первый случай. Полагаем f(а)> 0, f(b)< 0 и f ^’’(x)> 0 для xÎ [a, b] (рис.2.6).

1. В качестве нулевого приближения корня выбирается тот конец отрезка [a, b], для которого выполняется условие (2.11), т.е выбираемправый конец отрезка [a, b], х₀=b.

2. Проводим хорду АВ₀ и за первое приближение (первую итерацию) х₁ принимаем абсциссу точки пересечения хорды с осью ОХ.

3. Второе приближение х₂получаем как абсциссу точки пересечения хорды АВ₁ с осью ОХ.

4. Аналогичным образом строим итерационную последовательность:

х₀=b, x₁, x₂, ……., x_n, ….

В математическом анализе доказывается теорема, что эта итерационная последовательность сходится к корню уравнения х^* (2.1).

Для получения формулы (n+1)-ой итерации х_n₊₁ запишем уравнение хорды AB_n:

Полагая х=x_n₊₁и y = 0 найдем абсциссу точки пересечения хорды AB_n с осью ОХ, т.е. (n+1)-ю итерацию х_n₊₁.

Рис.2.6. Схема метода хорд (1-й случай)

В этом случае левый конец отрезка [a, b] неподвижен и последовательные приближения (итерации) определяются по формуле:

(2.13)

Второй случай. Полагаем f(а)< 0, f(b)> 0 и f ^’’ (x)> 0 для xÎ [a, b] (рис.2.7).

В качестве нулевого приближения корня выбираем тот конец отрезка [a, b], для которого справедливо условие (2.11).

Для данного случаявыбирается левый конец отрезка [a, b], т.е. х₀=а, а в качестве неподвижного конца: х=b.

Аналогично первому случаю строим последовательность приближений, сходящуюся к точному решению х^*уравнения (2.1) и определяемую следующим соотношением:

(2.14)

Рис.2.7. Схема метода хорд (2-й случай)

Таким же образом рассматриваются еще два случая, когда вторая производная отрицательна, т.е. f ^’’ (x)< 0 на отрезке [a, b].

Следующая теорема обобщает все четыре случая для приближенного решения нелинейного уравнения (2.1) по методу хорд.

Теорема 2.2. Пусть функция y=f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение (2.1) имеет на этом отрезке единственный корень. Если функция y=f(x) имеет вторую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то исходя из начального приближения х₀, удовлетворяющего условию (2.11) можно вычислить корень уравнения (2.1) с заданной точностью e по формулам (2.13) или (2.14).

Последовательность действий

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒