Статистическая оценка результатов множественного регрессионного анализа

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Оценку результатов МРА и качества полученной регрессионной модели осуществляют по двум параметрам: работоспособности и адекватности уравнения регрессии.

Работоспособность полученного уравнения регрессии определяется по значению множественного коэффициента корреляции R и показывает «похожесть» изменения прогнозируемых (рассчитанных по уравнению регрессии) значений функции цели и данных эксперимента. В [3] показано, что уравнение регрессии имеет хорошую работоспособность, если выполняется условие:

R > 0, 8

Если оценка R окажется меньше 0, 8, причинами этого могут быть:

1) в уравнение регрессии не включены ещё какие-то значимые факторы, существенно влияющие на функцию цели;

2) регрессионная зависимость должна быть описана полиномом более высокого порядка;

3) базовая точка в проведённом эксперименте находится вблизи главного экстремума целевой функции.

В первом случае исследователю необходимо более детально изучить объект исследования и учесть все значимые факторы в уравнении регрессии. Во втором случае необходимо постулировать иной вид уравнении регрессии и определить его коэффициенты методом множественного регрессионного анализа. В третьем случае необходимо расширить диапазон изменения входных переменных и также перейти к уравнению регрессии более высокого порядка.

Регрессионная модель (уравнение) считается адекватной, если ошибка прогнозирования среднего значения функции цели не превышает отклонений функции цели, вызванных наличием шума в эксперименте.

Адекватность уравнения регрессии проверяется в том случае, когда для каждой комбинации входных параметров x_i(t) выполнено K параллельныхизмерений функции цели y (столбцы y₁..y_K таблицы 1). В этом случае существует возможность расчёта дисперсии воспроизводимости , характеризующей уровень шума в эксперименте. Дисперсия воспроизводимости (при условии выполнения предпосылок МРА) рассчитывается как среднее значение дисперсий параллельных наблюдений функции цели y:

Ошибка прогнозирования характеризуется остаточной дисперсией , рассчитываемой по отклонениям расчётных значений от средних значений по параллельным наблюдениям в эксперименте для каждой комбинации входных параметров (j = 1..N):

В выражении (25) символом d обозначено количество коэффициентов уравнения регрессии после исключения незначимых слагаемых.

Сравнение дисперсии шума и дисперсии ошибки прогнозирования осуществляют при помощи F-статистики Фишера. С этой целью рассчитывают эмпирическое значение F-статистики:

и сравнивают его с критическим значением, выбранным для необходимого уровня значимости q = 1 – p, числа степеней свободы числителя f_ЧИСЛ = f_ОСТ = N – d и числа степеней свободы знаменателя f_ЗНАМ = f_В = N∙ (K-1). Если выполняется условие

то делается вывод об адекватности уравнения регрессии.

2. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Выполнение практических занятий по приведённому материалу осуществляется в компьютерном классе при помощи приложения MS Excell. Данное приложение предлагает средний уровень автоматизации расчётов, что позволяет свести к минимуму рутинные расчётные операции, обеспечивая при этом ручное выполнение основных операций.

На практические занятия каждому студенту выдаётся два текстовых файла с исходными данными эксперимента: №вар_mra.txt и №вар_lin_mra.txt. Структуры данных в файлах приведены в таблицах 3 и 4 соответственно.

Таблица 3 – Формат данных файла №вар_mka.txt

	x₁
x₁₁	x₁₂	…	x₁_i	…	x₁_n
x₂	x₂₁	y₁₁₁ y₁₁₂ … y₁₁_k … y₁₁_K	y₂₁₁ y₂₁₂ … y₂₁_k … y₂₁_K	…	y_i11 y_i12 … y_i1k … y_i1K	…	y_n11 y_n12 … y_n1k … y_n1K
x₂₂	y₁₂₁ y₁₂₂ … y_12k … y_12K	y₂₂₁ y₂₂₂ … y_22k … y_22K	…	y_i21 y_i22 … y_i2k … y_i2K	…	y_n21 y_n22 … y_n2k … y_n2K
…	…	…	…	…	…	…
x_2j	y_1j1 y_1j2 … y_1jk … y_1jK	y_2j1 y_2j2 … y_2jk … y_2jK	…	y_ij1 y_ij2 … y_ijk … y_ijK	…	y_nj1 y_nj2 … y_njk … y_njK
…	…	…	…	…	…	…
x_2h	y_1h1 y_1h2 … y_1hk … y_1hK	y_2h1 y_2h2 … y_2hk … y_2hK	…	y_ih1 y_ih2 … y_ihk … y_ihK	…	y_nh1 y_nh2 … y_nhk … y_nhK

Таблица 4 – Формат файла №вар_lin_mka.txt

x₁	x₂	y
x₁₁	x₂₁	y₁₁₁	y₁₁₂	…	y_11k	…	y_11K
x₁₁	x₂₂	y₁₂₁	y₁₂₂	…	y_12k	…	y_12K
x₁₁	…	…	…	…	…	…	…
x₁₁	x_2j	y_1j1	y_1j2	…	y_1jk	…	y_1jK
x₁₁	…	…	…	…	…	…	…
x₁₁	x_2h	y_1h1	y_1h2	…	y_1hk	…	y_1hK
x₁₂	x₂₁	y₂₁₁	y₂₁₂	…	y_21k	…	y_21K
x₁₂	x₂₂	y₂₂₁	y₂₂₂	…	y_22k	…	y_22K
x₁₂	…	…	…	…	…	…	…
x₁₂	x_2j	y_2j1	y_2j2	…	y_2jk	…	y_2jK
x₁₂	…	…	…	…	…	…	…
x₁₂	x_2h	y_2h1	y_2h2	…	y_2hk	…	y_2hK
…	…	…	…	…	…	…	…
x_1i	x₂₁	y_i11	y_i12	…	y_i1k	…	y_i1K
x_1i	x₂₂	y_i21	y_i22	…	y_i2k	…	y_i2K
x_1i	…	…	…	…	…	…	…
x_1i	x_2j	y_ij1	y_ij2	…	y_ijk	…	y_ijK
x_1i	…	…	…	…	…	…	…
x_1i	x_2h	y_ih1	y_ih2	…	y_ihk	…	y_ihK
…	…	…	…	…	…	…	…
x_1n	x₂₁	y_n11	y_n12	…	y_n1k	…	y_n1K
x_1n	x₂₂	y_n21	y_n22	…	y_n2k	…	y_n2K
x_1n	…	…	…	…	…	…	…
x_1n	x_2j	y_nj1	y_nj2	…	y_njk	…	y_njK
x_1n	…	…	…	…	…	…	…
x_1n	x_2h	y_nh1	y_nh2	…	y_nhk	…	y_nhK

Структура эксперимента соответствует рисунку 1, а вектор входных параметров содержит две переменные: x₁ и x₂.

1. Необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии второго порядка вида:

Для этого:

1) По данным файла №вар_lin_mra.txt составить таблицу 5, аналогичную таблице 2, для уравнения регрессии (28).

2) Для данных таблицы 5 по выражениям (12, 13) составить матрицы A и K. При составлении матриц рекомендуется использовать функцию КОРРЕЛ( .. ; .. ).

Таблица 5 – Группирование данных файла №вар_lin_mra.txt


x₁₁∙ x₁₁	x₂₁∙ x₂₁	x₁₁∙ x₁₁∙ x₂₁	x₁₁∙ x₂₁∙ x₂₁	x₁₁∙ x₂₁	x₁₁	x₂₁
x₁₁∙ x₁₁	x₂₂∙ x₂₂	x₁₁∙ x₁₁∙ x₂₂	x₁₁∙ x₂₂∙ x₂₂	x₁₁∙ x₂₂	x₁₁	x₂₂
…	…	…	…	…	x₁₁	…
x₁₁∙ x₁₁	x_2j∙ x_2j	x₁₁∙ x₁₁∙ x_2j	x₁₁∙ x_2j∙ x_2j	x₁₁∙ x_2j	x₁₁	x_2j
…	…	…	…	…	x₁₁	…	…
x₁₁∙ x₁₁	x_2h∙ x_2h	x₁₁∙ x₁₁∙ x_2h	x₁₁∙ x_2h∙ x_2h	x₁₁∙ x_2h	x₁₁	x_2h	…
…	…	…	…	…	…	…	…
x_1i∙ x_1i	x₂₁∙ x₂₁	x_1i∙ x_1i∙ x₂₁	x_1i∙ x₂₁∙ x₂₁	x_1i∙ x₂₁	x_1i	x₂₁	…
x_1i∙ x_1i	x₂₂∙ x₂₂	x_1i∙ x_1i∙ x₂₂	x_1i∙ x₂₂∙ x₂₂	x_1i∙ x₂₂	x_1i	x₂₂	…
…	…	…	…	…	x_1i	…	…
x_1i∙ x_1i	x_2j∙ x_2j	x_1i∙ x_1i∙ x_2j	x_1i∙ x_2j∙ x_2j	x_1i∙ x_2j	x_1i	x_2j	…
…	…	…	…	…	x_1i	…	…
x_1i∙ x_1i	x_2h∙ x_2h	x_1i∙ x_1i∙ x_2h	x_1i∙ x_2h∙ x_2h	x_1i∙ x_2h	x_1i	x_2h	…
…	…	…	…	…	…	…	…
x_1n∙ x_1n	x₂₁∙ x₂₁	x_1n∙ x_1n∙ x₂₁	x_1n∙ x₂₁∙ x₂₁	x_1n∙ x₂₁	x_1n	x₂₁	…
x_1n∙ x_1n	x₂₂∙ x₂₂	x_1n∙ x_1n	x_1n∙ x₂₂∙ x₂₂	x_1n∙ x₂₂	x_1n	x₂₂	…
…	…	…	…	…	x_1n	…	…
x_1n∙ x_1n	x_2j∙ x_2j	x_1n∙ x_1n	x_1n∙ x_2j∙ x_2j	x_1n∙ x_2j	x_1n	x_2j	…
…	…	…	…	…	x_1n	…
x_1n∙ x_1n	x_2h∙ x_2h	x_1n∙ x_1n	x_1n∙ x_2h∙ x_2h	x_1n∙ x_2h	x_1n	x_2h

3) Рассчитать коэффициенты матрицы B. Для этого рекомендуется воспользоваться функциями МОБР(K), возвращающей матрицу K^-1, обратную матрице К, и МУМНОЖ(K^-1, А), возвращающей матрицу произведения матриц K^-1 и А.

ПРИМЕЧАНИЕ! Функции МОБР() и МУМНОЖ() используются в матричном виде. Для правильной работы функции МОБР() необходимо ввести формулу в ячейку листа, нажать Enter, затем, начиная с ячейки, в которой введена формула МОБР(), выделить диапазон ячеек, размером, соответствующем размеру матрицы K. После выделения нажать клавишу F2, а потом одновременно нажать комбинацию Ctrl+Shift+Enter. Функция МУМНОЖ() используется аналогично.

2. Выполнить проверку коэффициентов нормированного уравнения регрессии на значимость. Для этого:

1) Рассчитать оценку множественного коэффициента корреляции R по выражению (18).

2) По выражению (17) рассчитать дисперсии коэффициентов нормированного уравнения регрессии.

3) Вычислить эмпирические значения t-статистики для каждого коэффициента β _m по выражению (16).

4) Определить при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР() значение квантиля распределния Стьюдента t_КР.

5) выполнить проверку условия (19) для каждого коэффициента β _m.

6) Исключить незначимые слагаемые из уравнения регрессии (28) и пересчитать коэффициенты при оставшихся.

3. Выполнить проверку работоспособности полученной регрессионной модели. Для этого:

1) Проверить выполнения условия R > 0, 8.

2) Определить коэффициенты A₀..A_m результирующего уравнения регрессии и найти для каждой строки таблицы 5 соответствующее значение . Рассчитанные значения занести в таблицу 5.

3) Рассчитать дисперсию воспроизводимости по выражениям (22-24) и данным таблицы 4.

4) Рассчитать остаточную дисперсию по выражению (25) и данным таблицы 5.

5) Вычислить эмпирическое значение F-статистики по выражению (26) и проверить условие (27). Критическое значение F_КР определить при помощи функции FРАСПОБР().

4. Составить отчёт о результатах анализа.

ЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. Лукьянов С.И. Основы инженерного эксперимента [Текст]: учеб.пособ. / МГТУ. - Магнитогорск, 2006. - 94с.: ил.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [Электронный ресурс]: Учебник. Часть 1. 9-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2008. — 448 с.: ил. (Учебники для вузов. Специальная литература). Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/element.php? pl1_cid=25& pl1_id=410. ISBN 978-5-9511-0010-8 (Общий) ISBN 978-5-8114-0190-1 (Ч. 1).

3. Мойсюк Б.Н. / Основы теории планирования эксперимента: Учебное пособие // М.: Издательство МЭИ, 2005. – 464 с.

⇐ Предыдущая 12