Основные свойства простейших цепей переменного тока

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Простейшие цепи – цепи, содержащие один элемент.

1. Участок цепи, содержащий активное сопротивление (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Зададимся изменением тока в резисторе по синусоидальному закону

i(t) = I_mR sin(ω t + ψ _i).

Воспользуемся законом Ома для мгновенных значений тока и напряжения

u(t) = R i(t)

и получим

(2.13)

u(t) = R I_mR sin(ω t + ψ _i).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.14)

u(t) = U_mR sin(ω t + ψ _u)

Соотношения (2.13) и (2.14) будут равны если будут выполнены условия равенства амплитуд и фаз

(2.15)

U_mR = R I_mR,

(2.16)

ψ _u = ψ _i.

Соотношение (2.15) может быть записано для действующих значений

(2.17)

U_R = R I_R.

Соотношение (2.16) показывает, что фазы напряжения и тока в резисторе совпадают. Графически это представлено на временной диаграмме (рис. 2.7) и на комплексной плоскости (рис. 2.8).

Рис. 2.7 и 2.8

2. Участок цепи, содержащий идеальную индуктивность (рис 2.9)

Рис. 2.9

Зададим изменение тока в индуктивности по синусоидальному закону

i(t) = I_mL sin(ω t + ψ _i).

Используем уравнение связи между током и напряжением в индуктивности

u_L = L · di / dt

и получим

u_L(t) = ω L · I_mL cos(ω t + ψ _i).

Заменим cos на sin и получим

(2.18)

u_L(t) = ω L · I_mL sin(ω t + ψ _i + 90°).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.19)

u_L(t) = U_mL sin(ω t + ψ _u).

Соотношения (2.18) и (2.19) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

(2.20)

U_mL = ω L · I_mL,

(2.21)

ψ _u = ψ _i + 90°.

Уравнение (2.20) можно переписать для действующих значений

(2.22)

U_L = ω L · I_L.

Уравнение (2.21) показывает, что фаза тока в индуктивности отстает от фазы напряжения на 90°. Величину X_L = ω L в уравнении (2.20) называют индуктивным сопротивлением. Единицей его измерения является Ом. Графически электрические процессы в индуктивности представлены на рис. 2.10, 2.11.

Рис. 2.10 и 2.11

3. Участок цепи, содержащий ёмкость (рис. 2.12)

Рис. 2.12

Зададим изменение тока в емкости по синусоидальному закону

i(t) = I_mC sin(ω t + ψ _i).

Используем уравнением связи между током и напряжением в емкости

u_C = 1 / C · ∫ i dt,

и получим

u_C = 1 / (ω C) · I_mC (-cos(ω t + ψ _i)).

Заменим –cos на sin

(2.23)

u_C = 1 / (ω C) · I_mC sin(ω t + ψ _i - 90°).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.24)

u_C = U_mC sin(ω t + ψ _u).

Соотношения (2.23) и (2.24) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

(2.25)

U_mC = 1 / (ω C) · I_mC,

(2.26)

ψ _u = ψ _i - 90°.

Уравнение (2.25) можно переписать для действующих значений

(2.27)

U_C = 1 / (ω C) · I_C.

Уравнение (2.26) показывает, что фаза напряжения в емкости отстает от фазы тока на 90°. Величину X_C = 1 / (ω C) в уравнении (2.25) называют емкостным сопротивлением цепи и измеряют его в Омах. Графически электрические процессы в емкости представлены на рис. 2.13, 2.14.

Рис. 2.13 и 2.14

Сопротивления в цепи переменного тока

В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение

Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.

Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное xL и емкостное хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула X_L = ω L. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина xL линейно зависит от частоты.

Для емкостного сопротивления выше была получена формула X_C = 1 / ω C. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = X_L - X_C.

Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину

(2.28)

Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

(2.29)

φ = arctg((X_L - X_C) / R),

и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно дать дополнительные связи

(2.30)

R = Z cos φ,

(2.31)

X = Z sin φ.

Мощности в цепях переменного тока

По аналогии с мощностью в цепях постоянного тока P = U I, в цепях переменного тока рассматривают мгновенную мощность p = u i. Для упрощения рассмотрим мгновенную мощность в каждом из элементов R, L и С отдельно.

Элемент R (резистор)

Зададим напряжение и ток в виде соотношений

u(t) = U_m sin(ω t + ψ _u),

i(t) = I_m sin(ω t + ψ _i).

Известно, что для резистора ψ _u = ψ _i, тогда для р получим

(2.32)

p(t) = u(t) i(t) = U_m I_m sin²(ω t + ψ _i).

Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность

(2.33)

Если записать U_m и I_m через действующие значения U и I: , , то получим

(2.34)

P = U I.

По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).

Элемент L (индуктивность)

Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψ _u = ψ _i + 90°. Для мгновенной мощности имеет

(2.35)

Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим

Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину Q_L равную максимальному значению р_L

(2.36)

Q_L = (U_m I_m) / 2

и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу U_L = I X_L получим

(2.37)

Q_L = I² X_L.

Элемент С (ёмкость)

Известно, что в емкости соотношение фаз ψ _u = ψ _i - 90°. Для мгновенной мощности получаем

p_C(t) = u(t) I(t) = (U_m I_m) / 2 · sin(2ω t).

Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину Q_C = I² X_C, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.

Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями

(2.37)

P = U I cos φ,

(2.38)

Q = Q_L - Q_C,

(2.39)

Q = U I sin φ,

где φ – угол сдвига фаз.

Вводят понятие полной мощности цепи

(2.40)

С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде

(2.41)

S = U I.

Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.

⇐ Предыдущая 12