Гравитационные методы обогащения

Гравитационные методы обогащения

Конспект лекций

Санкт-петербург

УДК 622.7(075.80)

ГРАВИТАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОБОГАЩЕНИЯ: Конспект лекций / В.Б.Кусков; Санкт-Петербургский горный ин-т. СПб, 2001. 75 с. ISBN 5-94211-019-0.

Изложена теория гравитационных методов обогащения полезных ископаемых. Рассмотрены основные процессы и аппараты, применяемые для гравитационного обогащения.

Конспект предназначен для студентов очной и заочной форм обучения специальности 090300 «Обогащение полезных ископаемых»

Табл.1. Ил.23. Библиогр.: 3 назв.

Научный редактор доц. Ю.П.Назаров

Рецензенты: председатель совета директоров ОАО «Механобр», чл.-кор. РАЕН Г.Т.Сазонов, нач. сектора САПР АОЗТ «Механобр Инжиниринг» В.Г.Логинов

ISBN 5-94211-019-0

Ó Санкт-Петербургский горный институт им. Г.В.Плеханова, 2001 г.

Основные понятия о гравитационных методах обогащения

Общие сведения

Гравитационными методами обогащения называются такие, в которых разделение минеральных частиц, отличающихся плотностью, размером и формой, обусловлено различием в характере и скорости их движения в текучих средах под действием силы тяжести и сил сопротивления.

Гравитационные методы обогащения занимают ведущее место (наряду с флотационными и магнитными) среди других методов обогащения.

Гравитационные процессы можно классифицировать следующим образом: процессы, в которых сила тяжести является преобладающей, называются собственно гравитационными (используются для разделения сравнительно крупных частиц); если разделение частиц производится под действием центробежной силы, то процессы называются центробежными (применяются преимущественно для мелких частиц).

Движение частиц может происходить в воде, воздухе, тяжелой суспензии (и редко в тяжелой жидкости). Если разделение происходит в воздушной среде, то процессы называются пневматическими. В остальных случаях – гидравлическими.

И, наконец, по типу используемых аппаратов гравитационные процессы можно разделить на отсадку, обогащение в тяжелых средах, концентрацию на столах, обогащение на шлюзах, в желобах, винтовых сепараторах, классификацию и промывку. Кроме указанных применяются также относительно новые гравитационные процессы: обогащение на вибрационных концентраторах, противоточных сепараторах, обогатительных циклонах с водной средой и др.

Распространенность гравитационных процессов разная. Гидравлические процессы используются значительно чаще, чем пневматические, а собственно гравитационные чаще, чем центробежные.

Гравитационные методы обогащения (ГМО) – древнейшие. До конца XIX века ГМО играли основную роль в практике обогащения полезных ископаемых, другие методы практически не применялись. Ныне ГМО используют при обогащении углей и сланцев, золото- и платиносодержащих руд, оловянных руд, окисленных железных и марганцевых руд, хромовых, вольфрамитовых и руд редких металлов, строительных материалов и некоторых других видов сырья. Гидравлическая (или пневматическая) классификация применяется в том или ином виде почти на любой обогатительной фабрике.

Преимущества ГМО: экономичность, безвредность для окружающей среды, высокая производительность (для большинства процессов). Основной недостаток – трудность эффективного обогащения мелких частиц. Кроме того, на характер и скорость движения частиц часто влияют сразу несколько разделительных признаков, нивелируя различия в этих признаках. Некоторые гравитационные процессы не применимы при небольших различиях в разделительных признаках.

Гравитационными методами можно разделять минералы во всех диапазонах их плотностей – от янтаря (r = 1050 кг/м3) до золота (r = 19500 г/см). По крупности – верхний предел обогащения углей и сланцев 300-450 мм, руд обычно 100-150 мм, нижний предел для углей – 0, 5-1 мм, руд – 10-15 мкм. Как правило, разные классы крупности руды обогащаются в разных аппаратах.

Гравитационные методы используют как самостоятельно, так и в сочетании с другими обогатительными методами в комбинированных схемах переработки полезных ископаемых.

Разделительные признаки

Реологические свойства сред

Гравитационного обогащения

В качестве сред обогащения используют воду, воздух, тяжелые суспензии и жидкости. Среды характеризуются следующими реологическими параметрами: плотностью, вязкостью, предельным сопротивлением сдвигу, устойчивостью.

Плотность среды – отношение массы среды к занимаемому ею объему.

Вязкость – в общем случае, это способность жидкости оказывать сопротивление усилиям, вызывающим относительное перемещение ее частиц. (Когда движение среды прекращается, исчезают и силы внутреннего трения.) Вязкость характеризуют коэффициент динамической вязкости m, коэффициент кинематической вязкости n, напряжение сдвига t.

За единицу вязкости (коэффициент динамической вязкости m) в системе СГС принимают вязкость среды, в которой для поддержания градиента скорости = 1 см/с (где – соответственно скорость и расстояние между осями двух элементарных слоев) двух элементарных слоев, расположенных на расстоянии 1 см, на каждый квадратный сантиметр должна действовать сила, равная 1 дин. Единица вязкости в СГС – пуаз (П), 1П = 1 дин× с/см², а в СИ – паскаль-секунда (Па× с).

При гидравлических расчетах часто пользуются кинематическим коэффициентом вязкости – n, представляющим отношение динамического коэффициента вязкости к плотности среды: n = m/D. Коэффициент называется кинематическим вследствие того, что его размерность содержит в себе только кинематические элементы – длину и время.

При увеличении температуры вязкость воды и гидравлической суспензии увеличивается, а вязкость воздуха – уменьшается.

Сила, с которой среда сопротивляется (сила трения),

Рис.1. Типы жидких сред

F = , (6)

где S – площадь соприкосновения двух элементарных слоев, – градиент скорости.

В результате внутреннего трения в вязких средах возникают касательные напряжения, которые определяются путем деления силы внутреннего трения на площадь соприкасающихся слоев:

, (7)

т.е. напряжение сдвига t пропорционально градиенту скорости. В этом случае любое малое напряжение сдвига создает градиент скорости, иными словами, приводит жидкость в движение. Такая жидкость называется ньютоновской (кривая 1 на рис.1). Зависимость от t имеет линейный характер.

Кроме ньютоновских жидкостей существуют и неньтоновские жидкие среды, для которых выражение (7) не справедливо. Они подразделяются на вязко- и псевдопластические среды и дилатансионную систему.

В вязкопластических средах взаимодействие между частицами приводит к их самопроизвольному сцеплению и образованию либо непрерывной структуры, либо отдельных агрегатов. Эти среды характеризуются некоторым предельным (статическим) напряжением сдвига t_ст, после преодоления которого среда начинает течь (кривая 2 на рис.1). Для вязкопластических сред зависимость между напряжением сдвига и градиентом скорости подчиняется закону Шведова – Бингама:

, (8)

где h – коэффициент структурной вязкости.

Динамическое напряжение сдвига t₀, в отличие от статического t_ст, представляет собой напряжение, необходимое для разрушения структуры в текущей среде. Соотношение между t_ст и t₀ определяется упругостью среды. Для упругих систем t_ст > t₀ (кривая 2¢ ¢ ), а для систем с преобладающими пластическими свойствами t_ст < t₀ кривая 2¢ ).

Псевдопластические среды не подчиняются закону Ньютона, но и не обладают предельным напряжением сдвига (кривая 3 на рис.1). Для них при достаточно малых значениях напряжения сдвига приблизительно справедливо уравнение (7). По мере увеличения напряжения сдвига кажущаяся вязкость (отношение напряжения сдвига к градиенту скорости) среды уменьшается. Это объясняется тем, что частицы подобных сред имеют палочкообразную форму. При низких градиентах скорости ориентация частиц хаотическая, при увеличении градиента скорости ориентация частиц изменяется в направлении течения потока, вследствие чего и уменьшается кажущаяся вязкость среды.

В дилатансионной системе с увеличением напряжения сдвига кажущаяся вязкость постоянно растет. При достаточно больших напряжениях сдвига градиент скорости остается постоянным (кривая 4 на рис.1). Указанное явление наблюдается в концентрированных суспензиях (l > 42 %).

Помимо указанных, имеются вязкоупругие среды, обладающие одновременно свойствами текучести и упругости.

Тяжелые суспензии, применяемые в практике обогащения, делятся на две основные группы – бесструктурные и структурные. В бесструктурных взаимодействие между частицами утяжелителя отсутствует (малое содержание твердого, добавка пептизаторов), по реологическим свойствам такие суспензии приближаются к ньютоновским жидкостям. В структурных частицы утяжелителя взаимодействуют друг с другом; по реологическим свойствам они приближаются к вязкопластичным системам.

Устойчивость суспензий характеризуется скоростью осаждения твердой фазы. Очевидно, чем крупнее частицы твердой фазы, тем быстрее они осаждаются.

1.4. Методы определения реологических параметров

Сред обогащения

Определение плотности. Применение того или иного метода определения плотности сред зависит от их физико-механических свойств.

Определение плотности тяжелых жидкостей (и жидкостей вообще) производят ареометрами. Также можно использовать весовой способ: измерение массы определенного объема.

Для измерения плотности пульп и суспензий применяется множество конструкций плотномеров, принципы действия которых основаны на следующих методах: весовом, ареометрическом, пьезометрическом, гидростатическом, манометрическом, электромагнитном, радиометрическом.

Определение вязкости. Для изучения вязкости применяют различные типы вискозиметров, на выбор которых оказывают существенное влияние физико-механические свойства сред. На практике используют: капиллярные вискозиметры разных типов; вискозиметры с коаксиальными цилиндрами или ротационные; вискозиметры с падающим шариком; электромеханические вискозиметры.

В ротационном вискозиметре жидкость находится в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами, один из которых неподвижен, а другой вращается с постоянной скоростью. Неподвижный цилиндр (например, внутренний) подвешивается на торсионной проволоке. При вращении наружного цилиндра внутреннему сообщается усилие, передаваемое через жидкость вследствие вязкости. Внутренний цилиндр начинает вращаться и закручивает нить на некоторый угол, пропорциональный вязкости жидкости. Этот тип вискозиметров применяют для определения вязкости жидкостей и стабильных (медленно расслаивающихся) суспензий.

Наибольшее распространение получили капиллярные вискозиметры с мешалкой и вакуумные вискозиметры Механобра. Капиллярные вискозиметры с мешалкой применяют в основном для определения динамического коэффициента вязкости бесструктурных сред. Вискозиметр представляет собой стеклянный сосуд в виде цилиндра, переходящего в капилляр диаметром 2, 64 мм. При определении вязкости суспензии в цилиндрическую часть монтируют ребра для предотвращения вращения суспензии при работе мешалки.

Измерение вязкости суспензии производится сравнением скорости истечения суспензии определенного объема (100-150 см³) через капилляр со скоростью истечения воды того же объема.

Вакуумные капиллярные вискозиметры позволяют производить замеры вязкости и предельного напряжения сдвига как бесструктурных, так и структурированных суспензий.

Вязкость измеряют определением расхода суспензии через капилляр при различном разрежении.

1.5. Методы определения плотности минералов

Основным разделительным признаком минеральных зерен, определяющим возможность использования гравитационных методов, является плотность.

Для определения плотности минеральных зерен используют различные методы. Например, плотность относительно крупных кусков минералов можно определить путем их взвешивания на специальных весах – Марголина или Вестпаля. Кусочек минерала взвешивают сначала на воздухе, а затем погруженным в воду, в которой согласно закону Архимеда его вес уменьшается на вес воды, вытесненной телом. Плотность воды известна, поэтому разница в измеряемых весах дает возможность вычислить плотность минерала. (На практике, весы устроены так, что стрелка сразу показывает искомую плотность.)

Для крупных кусков минералов также подходит такой способ: минерал взвешивают на воздухе, затем помещают в мерный стакан и фиксируют, на сколько поднялся уровень воды в нем, т.е. находят объем зерна. Зная массу тела и его объем, вычисляют плотность.

В принципе такой же способ используют для определения плотности мелких минеральных зерен. Способ называется пикнометрическим и заключается в следующем: взвешивают специальный мерный сосуд – пикнометр – пустой, с водой налитой до метки, с частицами, с частицами и долитой до метки водой. Далее по специальной формуле определяют плотность минерала или сростков минералов.

Для повышения точности измерения используют дистиллированную воду, кипятят воду вместе с зернами, чтобы удалить остатки воздуха, растворенные в воде, и пузырьки воздуха, прилипшие к поверхности частицы.

В практике обогащения полезных ископаемых, особенно в углеобогащении, используют денсиметрический анализ, при котором минеральные зерна последовательно погружают в емкости с тяжелыми жидкостями различной (и известной заранее) плотности. В результате (аналогично ситовому анализу) получают ряд фракций с известными плотностями, например: от 1200 до 1300, от 1300 до 1400 кг/м³ и т.д.

Теоретические основы

Общие положения

Гравитационные методы обогащения до сих пор не имеют единой общепризнанной теории, а теоретические представления носят характер гипотез. В теоретических исследованиях определились два направления – детерминистское и вероятностно-статистическое.

Детерминистское направление исследует закономерности движения в средах отдельных зерен в свободных или стесненных условиях. Для объяснения закономерностей перемещения зерен используются законы классической механики, гидравлики, физики, гидроаэродинамики. Детерминистское направление позволяет учесть влияние параметров зерна и среды на результат расслоения смеси зерен в обогатительном аппарате и количественно оценить влияние сил, вызывающих перемещение отдельной частицы, но оно не учитывает влияние случайных факторов и не раскрывает полностью сложного движения совокупности зерен в средах.

Вероятностно-статистическое направление включает исследование закономерностей случайных, стохастических, процессов движения совокупности зерен и среды. Движение отмеченной совокупности рассматривается как результат действия системы внутренних и внешних сил, проявление которых носит вероятностно-статистический характер.

Вероятностно-статистическое направление раскрывает закономерности движения совокупности зерен в средах и процесс формирования слоев, но не позволяет оценить влияние сил, вызывающих перемещение отдельной частицы.

2.1.1. Силы, действующие при использовании

гравитационных методов. Сопротивление среды

и ее составляющие

Разделение частиц при гравитационных процессах обогащения обычно происходит в движущейся среде с достаточно большим содержанием твердого. В этих условиях на частицы кроме силы тяжести действуют подъемная (Архимеда) сила и силы сопротивления (гидродинамические, возникающие при обтекании частиц жидкостью, и механические, возникающие при столкновении частиц и их трении друг о друга и о дно и стенки машины, в которой происходит обогащение).

Сила тяжести

G = Vrg = mg, (9)

где V – объем тела; r – плотность тела; g – ускорение свободного падения; m – масса тела.

Выталкивающая сила Архимеда

А = VDg, (10)

где D – плотность среды, в которую погружено тело.

Если сложить эти силы (с учетом направления), то получим гравитационную силу (также называемую весом тела в среде): G₀ = mg₀. Ускорение тела в реальной среде

g₀ = . (11)

Оно непостоянно по величине и направлению и отличается от g. Если r больше, чем D, то тело тонет, если наоборот, то всплывает. (Так идет разделение в тяжелой жидкости и тяжелой суспензии.)

Кроме веса тела в среде на него действуют силы сопротивления. Причем различают свободное движение, когда силы, возникающие при соударении, трении частиц друг о друга и стенки аппарата, отсутствуют, и стесненное движение, когда эти силы имеют место.

Силы сопротивления среды движущемуся телу зависят от режима обтекания тела. Среды могут двигаться прямолинейно либо криволинейно, обтекая движущееся в них зерно с различной скоростью. При спокойном медленном обтекании тела средой характер движения ламинарный, без завихрений и излишней траты энергии на сопротивление; сопротивление среды пропорционально первой степени скорости движения.

В случае быстрого обтекания тела средой (движение крупной частицы) возникают различные напряжения в передней – фронтальной и задней – тыльной части тела, энергия расходуется на создание завихрений. Сопротивление пропорционально скорости движения тела во второй степени для крупных частиц и скорости движения в степени от 1 до 2 для средних частиц. Чем больше скорость обтекания, размеры тела, сложнее конфигурация, тем интенсивнее вихреобразование при обтекании.

Параметр, характеризующий режим течения жидкости, называется параметром (числом) Рейнольдса (Re) в честь английского ученого О.Рейнольдса (O.Reynolds), который исследовал условия перехода ламинарного режима в турбулентный.

Силы сопротивления R имеют две основные составляющие (общий случай – стесненное падение): гидроаэродинамическую силу сопротивления R_г/а и силу механического сопротивления от других частиц и (или) стенок и дна аппарата R_мех. В случае свободного падения*, являющегося частным случаем стесненного, сила сопротивления R = R_г/а.

Вследствие относительной простоты свободное падение изучалось более подробно. Формулы скорости свободного падения положены в основу многих формул стесненного падения, в которые вводились соответствующие поправки.

В свою очередь, R_г/а имеет две составляющие: R_г/а = R₁ + R₂. Сила R₁ – это сопротивление от трения (вязкая составляющая); R₂ – инерционное сопротивление среды движению тела (сопротивление формы). Для мелких частиц основную роль играет R₁, для крупных – R₂, на тела промежуточного размера действуют обе составляющие. В данной модели не учитываются силы сопротивления от слоев жидкости, увлекаемой телом.

Общий закон сопротивления выражается формулой

R_г/а = , (12)

где y – коэффициент сопротивления; v – скорость движения тела; d – размер тела; D – плотность среды.

2.1.2. Диаграмма Релея

Коэффициент сопротивления зависит от числа Рейнольдса, вычисляемого по формуле

Re = = (13)

Релеем (Reyleigh) были обобщены экспериментальные данные замеров и расчета коэффициента сопротивления и параметра Рейнольдса для различных режимов движения тел в жидкостях.

Диаграмма Релея (рис.2, для шаров нижняя кривая) представлена в логарифмической сетке в виде плавной кривой для всего диапазона изменения функции y от Re. Плавный вид кривой указывает на постепенный переход от ламинарного режима движения к турбулентному. Основные закономерности падения шаров в жидкости справедливы и для несферических частиц с поправками на влияние их формы.

График зависимости коэффициента сопротивления от числаРейнольдса для шаров имеет четыре характерные области:

1. Область малых чисел Рейнольдса (Re < 1), иначе ламинарная область, где коэффициент сопротивления уменьшается обратно пропорционально Re. На рис.2 этот участок представлен прямой линией с угловым коэффициентом, равным единице.

2. Переходная область (1 < Re < 10³), где коэффициент сопротивления убывает медленнее, чем в первой области, постепенно приближаясь к постоянной величине. Хотя коэффициент сопротивления уменьшается, сила сопротивления при этом непрерывно растет согласно формуле (12).

3. Турбулентная область (10³ < Re < 10⁵), в которой коэффициент сопротивления является приблизительно постоянной величиной.

4. Кризисная область (10⁵ < Re < 10⁶), в которой при Re » (2¸ 3)10⁵ происходит резкое падение коэффициента сопротивления.

2.1.3. Общие принципы разделения частиц в гравитационных аппаратах

Гравитационные процессы можно подразделить на два основных вида. У первых обогащение происходит внутри объема пульпы, имеющего вертикальный размер, на несколько порядков превышающий размер разделяемых частиц (гидравлическая классификация, сгущение, обогащение в тяжелых средах, отсадка). Разделение происходит в вертикальных потоках жидкости. У вторых вертикальные размеры потоков сравнительно невелики и лишь на порядок-полтора превосходят размеры частиц (обогащение в потоках малой толщины – на шлюзах, винтовых сепараторах, концентрационных столах). Обогащение частиц в потоках малой толщины основано на закономерностях транспортирования такими потоками частиц различной гидравлической крупности и их распределения по высоте потока.

В гравитационных аппаратах частицы руды транспортируются водой, воздухом или с помощью вибраций поверхности. Распределение частиц по высоте потока, определяющее разделение, происходит в соответствии с их крупностью, плотностью и формой в результате совместного действия вышеуказанных сил. При одинаковой крупности и форме частиц разделение происходит тем успешнее, чем больше разница в плотностях разделяемых минералов.

Можно выделить два вида разделения частиц – гидравлическое и сегрегационное.

Гидравлическим называется разделение частиц, при котором силы взаимодействия между частицами малы по сравнению с гидродинамическими силами. Гидравлическое разделение происходит по законам свободного или стесненного падения. При разделении более крупные частицы, имеющие большую скорость свободного падения, располагаются, как правило, ниже гидравлически менее крупных.

Сегрегационным называется разделение частиц в условиях их соприкосновения под влиянием возмущающих сил переменного направления (например, отсадка). При этом силы взаимодействия между частицами преобладают над гидродинамическими. Экспериментально установлено, что при сегрегации частиц одинаковой плотности мелкие частицы располагаются ниже крупных, при сегрегации частиц различной плотности в нижнем слое располагаются мелкие тяжелые частицы, над ними – смесь крупных тяжелых частиц с мелкими легкими, в верхнем слое – крупные легкие частицы.

Сегрегация имеет значение для тех гравитационных процессов, при которых объемное содержание твердого в пульпе достаточно велико (40-50 %). К таким процессам относятся, например, отсадка, концентрация на столах и в суживающихся желобах. Для промывки и при обогащении в тяжелых средах (за исключением обогащения на виброжелобах) сегрегация не имеет существенного значения. При гравитационном обогащении часто в одной машине сочетаются оба процесса: гидравлическое разделение и сегрегация.

Гравитационные процессы являются массовыми, в них одновременно участвует большое количество частиц. При этом кроме закономерного перемещения частиц, приводящего к их разделению, наблюдается случайное перемещение, нарушающее разделение и существенно замедляющее процесс. Как показывают исследования, случайные перемещения подчиняются статистическим закономерностям.

Энергетическая теория разделения частиц основана на том, что при разделении в любой гравитационной машине взвесь минеральных частиц в жидкости (газе) приближенно можно рассматривать как механическую систему тел, находящуюся в поле силы тяжести в неустойчивом равновесии (рис.3, а). Такая система обладает потенциальной энергией и стремится занять положение устойчивого равновесия, достигаемое при условии минимальности ее потенциальной энергии. Этому условию отвечает разделение взвеси на слои, в нижних из которых сосредотачиваются преимущественно частицы большей плотности, а в верхних – меньшей (рис.3, б). Как правило, разделение взвесей происходит с уменьшением потенциальной энергии системы. (Однако в условиях сегрегации возможны случаи, когда «всплывание» крупных частиц в слое мелких происходит при увеличении потенциальной энергии системы.)

Можно выделить следующие виды движения тела в средах: падение – это основной вид движения при гравитационных процессах; сегрегация; перемещение в потоках, движущихся по наклонной плоскости; фильтрационное движение.

Свободное падение

2.2.1. Определение скорости свободного падения

шарообразных частиц

Как уже говорилось выше, свободным называется падение одиночного тела в неограниченном пространстве или падение массы тел при небольшой объемной концентрации (l < 0, 1).

Скорости свободного падения определяются: по теоретическим уравнениям; по эмпирическим и интерполяционным формулам; по графикам и по таблицам, составленным на основе экспериментальных данных.

Скорость свободного падения тела определяется взаимодействием следующих сил: гравитационной, подъемной (архимедовой), гидродинамического (или аэродинамического) сопротивления.

При падении в неподвижной жидкости с начальной нулевой скоростью частица под действием силы тяжести будет постепенно увеличивать скорость падения, одновременно будет расти и сила сопротивления. По истечении некоторого промежутка времени частица приобретет практически постоянную скорость, называемую конечной скоростью падения. С этого момента сила тяжести и подъемная архимедова сила уравновешиваются силой сопротивления: G – А = R_г/а.

Для малых чисел Рейнольдса (Re < 1, ламинарная область) скорость падения шаров может быть рассчитана, исходя из того, что сила сопротивления выражается формулой R = , что соответствует зависимости

. (14)

Выталкивающая сила Архимеда А = VDg (где D – плотность среды, в которую погружено тело).

С учетом того, что сила Архимеда направлена вверх, а сила тяжести вниз, условие достижения телом конечной скорости свободного падения в области малых чисел Рейнольдса можно записать таким образом: G – А = R_г/а; G – А = Vrg – VDg = V(r–D)g = (pd³ / 6)(r–D)g; R_г/а = 3pv₀dm, т.е. (pd³ / 6)(r–D)g = 3pv₀dm, отсюда получается формула Стокса (G.G.Stokes):

, (15)

где коэффициент Стокса; – относительная плотность.

Также можно вычислить конечную скорость свободного падения исходя из дифференциального уравнения движения частицы:

; (16)

где – движущая сила; – ускорение частицы; m – масса частицы; .

От начального момента движения скорость частицы постоянно растет, соответственно растет и силы сопротивления. В некоторый момент времени силы сопротивления становятся равными весу тела в среде. Ускорение же, наоборот, максимально в начальный момент времени движения частицы и постоянно уменьшается, пока не станет равным нулю в тот момент, когда силы сопротивления уравновесят вес тела в среде. Тогда

Далее вычисление аналогично предыдущему.

Для частиц промежуточного размера (1 < Re < 1000) А.Алленом (A.Allen) экспериментально была установлена формула сопротивления

R_г/а = ;

при этом .

Поскольку , , по аналогии с вышеизложенным (при достижении конечной скорости свободного падения сила тяжести уравновешивается силами сопротивления) можно записать G – А = R_г/а;

; ; или

(17)

где

Реально формула Аллена (17) «работает» достаточно надежно лишь при 30 < Re < 300.

Достаточно хорошее приближение к экспериментальным данным для 0, 1 < Re < 5000 дает формула, предложенная М.Я.Антонычевым и Ф.И.Нагирняком:

. (18)

Ошибка в определении скорости по формуле (18) не превышает 9 %.

При падении крупных частиц (Re > 3000) коэффициент сопротивления – приблизительно постоянная величина (y » p/16). По аналогии с вышеизложенным выведем формулу Ньютона – Риттенгера (I.Newton, P.R.Rittinger). Поскольку G – А = R_г/а; , ,

, (19)

где K_R – коэффициент Риттенгера.

Интерполяционные формулы для расчета скорости падения сферических частиц получены, как правило, на основании аппроксимации кривой Релея. Наиболее простым способом аппроксимации является разделение кривой на ряд участков, в каждом из которых зависимость между y и Re приближенно заменяется линейной.

Обобщающая формула имеет следующий вид:

v₀ = , (20)

где K – коэффициент Стокса, Аллена и Риттенгера соответственно для мелких, средних и крупных частиц; y равно 0, 5; 2/3 и 1 соответственно для крупных, промежуточных и мелких частиц; .

Для определения вида частной формулы, которую следует применить в том или ином случае, необходимо знать число Рейнольдса, зависящее, в свою очередь, от искомой скорости. П.В.Лященко предложил использовать безразмерные параметры и . Первый параметр Лященко выводится так: ; ; ; ;

. (21)

Для определения гидравлического диаметра (размер частицы, вычисляемый косвенным образом по известной конечной скорости свободного падения) широко используется второй параметр Лященко:

;

. (22)

Первый и второй параметры Лященко используются для отнесения частиц к тому или иному диапазону по крупности, что позволяет использовать ту или иную частную формулу для расчета конечной скорости свободного падения (или размера частицы по известной конечной скорости падения).

Порядок расчета скорости следующий: вычисляем по формуле (21); выбираем частную формулу и рассчитываем скорость. Аналогично для расчета гидравлического диаметра вычисляем по формуле (22), выбираем формулу и вычисляем диаметр. Коэффициент вязкости зависит от температуры и определяется, например, по справочнику [1, с.148].

Рис.4. Диаграмма Лященко

Также для расчета скорости может быть применен графический метод Лященко – Шиллера – Наумана: по формуле (21) рассчитывают первый параметр Лященко . Пользуясь графиком – диаграммой Лященко (рис.4, для шаров нижняя линия), по найденному значению определяют Re и по нему, используя формулу (13), вычисляют скорость: .

2.2.2. Скорость свободного падения тел

правильной несферической формы

Для тел правильной геометрической формы (куб, тетраэдр, октаэдр и др.) имеется определенная зависимость между характерным размером тела, а также коэффициентом сферичности и скоростью падения. За характерный размер для таких тел принимают или диаметр равновеликого по объему шара d_э, или диаметр шара, поверхность которого равна поверхности тела, d_s.

Форма тела характеризуется коэффициентом сферичности [см. формулу (4)]. Причем коэффициент сферичности легко определяется, так как объем и поверхность тела правильной формы достаточно легко вычислить.

Зависимость коэффициента сопротивления y_s (при выборе в качестве характерного размера d_s) от числа Рейнольдса для тел различной формы приведена на рис.3, а зависимость – на рис.4. При этом ; ; Þ

(23)

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒