Гравитационных методов обогащения

Общие положения

Гравитационные методы обогащения до сих пор не имеют единой общепризнанной теории, а теоретические представления носят характер гипотез. В теоретических исследованиях определились два направления – детерминистское и вероятностно-статистическое.

Детерминистское направление исследует закономерности движения в средах отдельных зерен в свободных или стесненных условиях. Для объяснения закономерностей перемещения зерен используются законы классической механики, гидравлики, физики, гидроаэродинамики. Детерминистское направление позволяет учесть влияние параметров зерна и среды на результат расслоения смеси зерен в обогатительном аппарате и количественно оценить влияние сил, вызывающих перемещение отдельной частицы, но оно не учитывает влияние случайных факторов и не раскрывает полностью сложного движения совокупности зерен в средах.

Вероятностно-статистическое направление включает исследование закономерностей случайных, стохастических, процессов движения совокупности зерен и среды. Движение отмеченной совокупности рассматривается как результат действия системы внутренних и внешних сил, проявление которых носит вероятностно-статистический характер.

Вероятностно-статистическое направление раскрывает закономерности движения совокупности зерен в средах и процесс формирования слоев, но не позволяет оценить влияние сил, вызывающих перемещение отдельной частицы.

2.1.1. Силы, действующие при использовании

гравитационных методов. Сопротивление среды

и ее составляющие

Разделение частиц при гравитационных процессах обогащения обычно происходит в движущейся среде с достаточно большим содержанием твердого. В этих условиях на частицы кроме силы тяжести действуют подъемная (Архимеда) сила и силы сопротивления (гидродинамические, возникающие при обтекании частиц жидкостью, и механические, возникающие при столкновении частиц и их трении друг о друга и о дно и стенки машины, в которой происходит обогащение).

Сила тяжести

G = Vrg = mg, (9)

где V – объем тела; r – плотность тела; g – ускорение свободного падения; m – масса тела.

Выталкивающая сила Архимеда

А = VDg, (10)

где D – плотность среды, в которую погружено тело.

Если сложить эти силы (с учетом направления), то получим гравитационную силу (также называемую весом тела в среде): G₀ = mg₀. Ускорение тела в реальной среде

g₀ = . (11)

Оно непостоянно по величине и направлению и отличается от g. Если r больше, чем D, то тело тонет, если наоборот, то всплывает. (Так идет разделение в тяжелой жидкости и тяжелой суспензии.)

Кроме веса тела в среде на него действуют силы сопротивления. Причем различают свободное движение, когда силы, возникающие при соударении, трении частиц друг о друга и стенки аппарата, отсутствуют, и стесненное движение, когда эти силы имеют место.

Силы сопротивления среды движущемуся телу зависят от режима обтекания тела. Среды могут двигаться прямолинейно либо криволинейно, обтекая движущееся в них зерно с различной скоростью. При спокойном медленном обтекании тела средой характер движения ламинарный, без завихрений и излишней траты энергии на сопротивление; сопротивление среды пропорционально первой степени скорости движения.

В случае быстрого обтекания тела средой (движение крупной частицы) возникают различные напряжения в передней – фронтальной и задней – тыльной части тела, энергия расходуется на создание завихрений. Сопротивление пропорционально скорости движения тела во второй степени для крупных частиц и скорости движения в степени от 1 до 2 для средних частиц. Чем больше скорость обтекания, размеры тела, сложнее конфигурация, тем интенсивнее вихреобразование при обтекании.

Параметр, характеризующий режим течения жидкости, называется параметром (числом) Рейнольдса (Re) в честь английского ученого О.Рейнольдса (O.Reynolds), который исследовал условия перехода ламинарного режима в турбулентный.

Силы сопротивления R имеют две основные составляющие (общий случай – стесненное падение): гидроаэродинамическую силу сопротивления R_г/а и силу механического сопротивления от других частиц и (или) стенок и дна аппарата R_мех. В случае свободного падения*, являющегося частным случаем стесненного, сила сопротивления R = R_г/а.

Вследствие относительной простоты свободное падение изучалось более подробно. Формулы скорости свободного падения положены в основу многих формул стесненного падения, в которые вводились соответствующие поправки.

В свою очередь, R_г/а имеет две составляющие: R_г/а = R₁ + R₂. Сила R₁ – это сопротивление от трения (вязкая составляющая); R₂ – инерционное сопротивление среды движению тела (сопротивление формы). Для мелких частиц основную роль играет R₁, для крупных – R₂, на тела промежуточного размера действуют обе составляющие. В данной модели не учитываются силы сопротивления от слоев жидкости, увлекаемой телом.

Общий закон сопротивления выражается формулой

R_г/а = , (12)

где y – коэффициент сопротивления; v – скорость движения тела; d – размер тела; D – плотность среды.

2.1.2. Диаграмма Релея

Коэффициент сопротивления зависит от числа Рейнольдса, вычисляемого по формуле

Re = = (13)

Релеем (Reyleigh) были обобщены экспериментальные данные замеров и расчета коэффициента сопротивления и параметра Рейнольдса для различных режимов движения тел в жидкостях.

Диаграмма Релея (рис.2, для шаров нижняя кривая) представлена в логарифмической сетке в виде плавной кривой для всего диапазона изменения функции y от Re. Плавный вид кривой указывает на постепенный переход от ламинарного режима движения к турбулентному. Основные закономерности падения шаров в жидкости справедливы и для несферических частиц с поправками на влияние их формы.

График зависимости коэффициента сопротивления от числаРейнольдса для шаров имеет четыре характерные области:

1. Область малых чисел Рейнольдса (Re < 1), иначе ламинарная область, где коэффициент сопротивления уменьшается обратно пропорционально Re. На рис.2 этот участок представлен прямой линией с угловым коэффициентом, равным единице.

2. Переходная область (1 < Re < 10³), где коэффициент сопротивления убывает медленнее, чем в первой области, постепенно приближаясь к постоянной величине. Хотя коэффициент сопротивления уменьшается, сила сопротивления при этом непрерывно растет согласно формуле (12).

3. Турбулентная область (10³ < Re < 10⁵), в которой коэффициент сопротивления является приблизительно постоянной величиной.

4. Кризисная область (10⁵ < Re < 10⁶), в которой при Re » (2¸ 3)10⁵ происходит резкое падение коэффициента сопротивления.

2.1.3. Общие принципы разделения частиц в гравитационных аппаратах

Гравитационные процессы можно подразделить на два основных вида. У первых обогащение происходит внутри объема пульпы, имеющего вертикальный размер, на несколько порядков превышающий размер разделяемых частиц (гидравлическая классификация, сгущение, обогащение в тяжелых средах, отсадка). Разделение происходит в вертикальных потоках жидкости. У вторых вертикальные размеры потоков сравнительно невелики и лишь на порядок-полтора превосходят размеры частиц (обогащение в потоках малой толщины – на шлюзах, винтовых сепараторах, концентрационных столах). Обогащение частиц в потоках малой толщины основано на закономерностях транспортирования такими потоками частиц различной гидравлической крупности и их распределения по высоте потока.

В гравитационных аппаратах частицы руды транспортируются водой, воздухом или с помощью вибраций поверхности. Распределение частиц по высоте потока, определяющее разделение, происходит в соответствии с их крупностью, плотностью и формой в результате совместного действия вышеуказанных сил. При одинаковой крупности и форме частиц разделение происходит тем успешнее, чем больше разница в плотностях разделяемых минералов.

Можно выделить два вида разделения частиц – гидравлическое и сегрегационное.

Гидравлическим называется разделение частиц, при котором силы взаимодействия между частицами малы по сравнению с гидродинамическими силами. Гидравлическое разделение происходит по законам свободного или стесненного падения. При разделении более крупные частицы, имеющие большую скорость свободного падения, располагаются, как правило, ниже гидравлически менее крупных.

Сегрегационным называется разделение частиц в условиях их соприкосновения под влиянием возмущающих сил переменного направления (например, отсадка). При этом силы взаимодействия между частицами преобладают над гидродинамическими. Экспериментально установлено, что при сегрегации частиц одинаковой плотности мелкие частицы располагаются ниже крупных, при сегрегации частиц различной плотности в нижнем слое располагаются мелкие тяжелые частицы, над ними – смесь крупных тяжелых частиц с мелкими легкими, в верхнем слое – крупные легкие частицы.

Сегрегация имеет значение для тех гравитационных процессов, при которых объемное содержание твердого в пульпе достаточно велико (40-50 %). К таким процессам относятся, например, отсадка, концентрация на столах и в суживающихся желобах. Для промывки и при обогащении в тяжелых средах (за исключением обогащения на виброжелобах) сегрегация не имеет существенного значения. При гравитационном обогащении часто в одной машине сочетаются оба процесса: гидравлическое разделение и сегрегация.

Гравитационные процессы являются массовыми, в них одновременно участвует большое количество частиц. При этом кроме закономерного перемещения частиц, приводящего к их разделению, наблюдается случайное перемещение, нарушающее разделение и существенно замедляющее процесс. Как показывают исследования, случайные перемещения подчиняются статистическим закономерностям.

Энергетическая теория разделения частиц основана на том, что при разделении в любой гравитационной машине взвесь минеральных частиц в жидкости (газе) приближенно можно рассматривать как механическую систему тел, находящуюся в поле силы тяжести в неустойчивом равновесии (рис.3, а). Такая система обладает потенциальной энергией и стремится занять положение устойчивого равновесия, достигаемое при условии минимальности ее потенциальной энергии. Этому условию отвечает разделение взвеси на слои, в нижних из которых сосредотачиваются преимущественно частицы большей плотности, а в верхних – меньшей (рис.3, б). Как правило, разделение взвесей происходит с уменьшением потенциальной энергии системы. (Однако в условиях сегрегации возможны случаи, когда «всплывание» крупных частиц в слое мелких происходит при увеличении потенциальной энергии системы.)

Можно выделить следующие виды движения тела в средах: падение – это основной вид движения при гравитационных процессах; сегрегация; перемещение в потоках, движущихся по наклонной плоскости; фильтрационное движение.

Свободное падение

2.2.1. Определение скорости свободного падения

шарообразных частиц

Как уже говорилось выше, свободным называется падение одиночного тела в неограниченном пространстве или падение массы тел при небольшой объемной концентрации (l < 0, 1).

Скорости свободного падения определяются: по теоретическим уравнениям; по эмпирическим и интерполяционным формулам; по графикам и по таблицам, составленным на основе экспериментальных данных.

Скорость свободного падения тела определяется взаимодействием следующих сил: гравитационной, подъемной (архимедовой), гидродинамического (или аэродинамического) сопротивления.

При падении в неподвижной жидкости с начальной нулевой скоростью частица под действием силы тяжести будет постепенно увеличивать скорость падения, одновременно будет расти и сила сопротивления. По истечении некоторого промежутка времени частица приобретет практически постоянную скорость, называемую конечной скоростью падения. С этого момента сила тяжести и подъемная архимедова сила уравновешиваются силой сопротивления: G – А = R_г/а.

Для малых чисел Рейнольдса (Re < 1, ламинарная область) скорость падения шаров может быть рассчитана, исходя из того, что сила сопротивления выражается формулой R = , что соответствует зависимости

. (14)

Выталкивающая сила Архимеда А = VDg (где D – плотность среды, в которую погружено тело).

С учетом того, что сила Архимеда направлена вверх, а сила тяжести вниз, условие достижения телом конечной скорости свободного падения в области малых чисел Рейнольдса можно записать таким образом: G – А = R_г/а; G – А = Vrg – VDg = V(r–D)g = (pd³ / 6)(r–D)g; R_г/а = 3pv₀dm, т.е. (pd³ / 6)(r–D)g = 3pv₀dm, отсюда получается формула Стокса (G.G.Stokes):

, (15)

где коэффициент Стокса; – относительная плотность.

Также можно вычислить конечную скорость свободного падения исходя из дифференциального уравнения движения частицы:

; (16)

где – движущая сила; – ускорение частицы; m – масса частицы; .

От начального момента движения скорость частицы постоянно растет, соответственно растет и силы сопротивления. В некоторый момент времени силы сопротивления становятся равными весу тела в среде. Ускорение же, наоборот, максимально в начальный момент времени движения частицы и постоянно уменьшается, пока не станет равным нулю в тот момент, когда силы сопротивления уравновесят вес тела в среде. Тогда

Далее вычисление аналогично предыдущему.

Для частиц промежуточного размера (1 < Re < 1000) А.Алленом (A.Allen) экспериментально была установлена формула сопротивления

R_г/а = ;

при этом .

Поскольку , , по аналогии с вышеизложенным (при достижении конечной скорости свободного падения сила тяжести уравновешивается силами сопротивления) можно записать G – А = R_г/а;

; ; или

(17)

где

Реально формула Аллена (17) «работает» достаточно надежно лишь при 30 < Re < 300.

Достаточно хорошее приближение к экспериментальным данным для 0, 1 < Re < 5000 дает формула, предложенная М.Я.Антонычевым и Ф.И.Нагирняком:

. (18)

Ошибка в определении скорости по формуле (18) не превышает 9 %.

При падении крупных частиц (Re > 3000) коэффициент сопротивления – приблизительно постоянная величина (y » p/16). По аналогии с вышеизложенным выведем формулу Ньютона – Риттенгера (I.Newton, P.R.Rittinger). Поскольку G – А = R_г/а; , ,

, (19)

где K_R – коэффициент Риттенгера.

Интерполяционные формулы для расчета скорости падения сферических частиц получены, как правило, на основании аппроксимации кривой Релея. Наиболее простым способом аппроксимации является разделение кривой на ряд участков, в каждом из которых зависимость между y и Re приближенно заменяется линейной.

Обобщающая формула имеет следующий вид:

v₀ = , (20)

где K – коэффициент Стокса, Аллена и Риттенгера соответственно для мелких, средних и крупных частиц; y равно 0, 5; 2/3 и 1 соответственно для крупных, промежуточных и мелких частиц; .

Для определения вида частной формулы, которую следует применить в том или ином случае, необходимо знать число Рейнольдса, зависящее, в свою очередь, от искомой скорости. П.В.Лященко предложил использовать безразмерные параметры и . Первый параметр Лященко выводится так: ; ; ; ;

. (21)

Для определения гидравлического диаметра (размер частицы, вычисляемый косвенным образом по известной конечной скорости свободного падения) широко используется второй параметр Лященко:

;

. (22)

Первый и второй параметры Лященко используются для отнесения частиц к тому или иному диапазону по крупности, что позволяет использовать ту или иную частную формулу для расчета конечной скорости свободного падения (или размера частицы по известной конечной скорости падения).

Порядок расчета скорости следующий: вычисляем по формуле (21); выбираем частную формулу и рассчитываем скорость. Аналогично для расчета гидравлического диаметра вычисляем по формуле (22), выбираем формулу и вычисляем диаметр. Коэффициент вязкости зависит от температуры и определяется, например, по справочнику [1, с.148].

Рис.4. Диаграмма Лященко

Также для расчета скорости может быть применен графический метод Лященко – Шиллера – Наумана: по формуле (21) рассчитывают первый параметр Лященко . Пользуясь графиком – диаграммой Лященко (рис.4, для шаров нижняя линия), по найденному значению определяют Re и по нему, используя формулу (13), вычисляют скорость: .

2.2.2. Скорость свободного падения тел

правильной несферической формы

Для тел правильной геометрической формы (куб, тетраэдр, октаэдр и др.) имеется определенная зависимость между характерным размером тела, а также коэффициентом сферичности и скоростью падения. За характерный размер для таких тел принимают или диаметр равновеликого по объему шара d_э, или диаметр шара, поверхность которого равна поверхности тела, d_s.

Форма тела характеризуется коэффициентом сферичности [см. формулу (4)]. Причем коэффициент сферичности легко определяется, так как объем и поверхность тела правильной формы достаточно легко вычислить.

Зависимость коэффициента сопротивления y_s (при выборе в качестве характерного размера d_s) от числа Рейнольдса для тел различной формы приведена на рис.3, а зависимость – на рис.4. При этом ; ; Þ

(23)

Для всех тел, за исключением дисков, при числах Re < 20 зависимости = f(Re_s) выражаются одной кривой, в то время как при больших значениях Re_s каждому значению коэффициента сферичности соответствует своя линия, удаление которой от оси Re_s увеличивается с уменьшением c (рис.3).

Для определения конечной скорости частиц правильной геометрической формы предложена формула

v_0s = Pv₀, (24)

где P – коэффициент, зависящий от формы; v₀ – скорость падения шара, эквивалентного телу по объему.

Для приближенных расчетов при 0, 25 < c < 1 можно рекомендовать эмпирические зависимости: при Re_s < 20 ( < 350) и Re_s > 500 ( > N) соответственно

Р = Р₁ = (25)

Р = Р₁ = . (26)

Значение N, зависящее от коэффициента сферичности, изменяясь от , определяется по графику (рис.4). Зависимость коэффициента Р₁ и Р₂ от c можно определять либо по графику, либо по таблице (см., например, [1, с.151 и 152]).

Для промежуточных значений 20 < Re_s < 500 (350 < < N) скорость падения тел следует определять графическим методом.

Графический метод определения скорости падения тел правильной несферической формы аналогичен применяемому для шаров. Рассчитывают параметр [см. формулу (23)]. По его значению с помощью графика (рис.4) для заданной формы находят значение Re_s, после чего искомая скорость определяется по формуле

. (27)

Таким образом, алгоритм вычисления конечной скорости падения тел правильной несферической формы следующий: определяют , выбирают формулу для расчета (при 350 < < N используют графический метод), рассчитывают скорость.

Для нахождения эквивалентного диаметра частицы по заданной конечной скорости падения можно пользоваться, как и для шаров, графиком, причем значение второго параметра Лященко рассчитывают по формуле

. (28)

2.2.3. Скорость свободного падения частиц

неправильной геометрической формы

Для частиц неправильной формы (частицы минералов) четких зависимостей между коэффициентом сопротивления, числом Рейнольдса и коэффициентом сферичности не установлено. Отличие по форме наблюдается не только между частицами разных минералов, но и между частицами одних и тех же минералов. Поэтому под скоростью свободного падения частиц определенной крупности (узкого класса крупности) следует понимать среднюю скорость (например, из 100 замеров). Скорости же отдельных частиц этого класса могут существенно (иногда в несколько раз) отличаться от средней.

За размер частицы принимают средний (среднеарифметический) размер отверстий двух смежных сит d_ср, а в некоторых случаях эквивалентный диаметр шара d_э. Указанные величины для большинства минералов (за исключением имеющих пластинчатую форму) связаны эмпирической зависимостью d_э = (1, 05¸ 1, 1)d_ср.

Скорость свободного падения минеральных зерен можно приближенно рассчитать по формулам (24), (25), (26). Основная трудность при их применении состоит в правильном определении коэффициента сферичности.

Для промежуточных значений (20 < Re_s < 500) формулы (25), (26) не применимы, коэффициент Р в формуле (24) следует определять по экспериментальным данным (см., например, [1, с.153]). Приближенно для этой области Р » c.

Обобщающая формула конечной скорости падения (20) для тел любой формы перепишется в таком виде:

, (29)

где .

Самым простым способом приближенного определения скорости свободного падения частиц неправильной формы является табличный. Зная минерал и его крупность по таблицам (см., например, [1, с.154, 155]) приближенно определяют скорость его падения.

2.2.4. Равнопадаемость тел при свободном падении

Равнопадающими телами в общем случае называются тела разной крупности, плотности и формы, имеющие одинаковую конечную скорость свободного падения. Так, например, зерно кварца диаметром 4 мм и плотностью 2650 кг/м³ имеет такую же скорость падения, как и зерно галенита диаметром 1 мм и плотностью 7500 кг/м³.

Равнопадаемость приводит к тому, что в один и тот же продукт могут попадать зерна разных минералов (при обогащении), а это ухудшает результаты разделения, либо при классификации в одноименные продукты будут попадать и мелкие, и крупные частицы.

Отношение эквивалентных диаметров равнопадающих тел (более легкого – d_эл к более тяжелому – d_эт) называют коэффициентом равнопадаемости и обозначают (индекс «0» означает свободное падение):

, l₀> 1. (30)

Для рассматриваемого примера l₀ = 4.

С целью уменьшения количества равнопадающих зерен перед обогащением стремятся предварительно классифицировать материал по шкале классификации с модулем, равным коэффициенту равнопадаемости.

Если в расчетах коэффициента равнопадаемости использовать уравнение скоростей зерен различной крупности при различных режимах движения (15), (17)-(19), (24)-(26) либо обобщающую формулу (29), то можно получить частные формулы для определения коэффициента равнопадаемости: в области Стокса

; (31)

для частиц с одинаковой формой

; (32)

в области значений Риттингера

; (33)

для частиц с одинаковой формой

. (34)

Здесь в индексах «л» и «т» обозначают соответственно легкую и тяжелую частицу.

Алгоритм вычисления коэффициента равнопадаемости по частным формулам следующий: вычисление второго параметра Лященко; выбор по его значению частной формулы; вычисление коэффициента равнопадаемости.

2.2.5. Движение зерен в центробежном поле

В криволинейных потоках (гидроциклоны, центрифуги) основной движущей силой является сила инерции С, появляющаяся за счет действия центростремительного ускорения. Естественно, силу тяжести G₀ никто не отменял, и она также продолжает действовать на тело. Тогда . Необходимо учесть также силы сопротивления.

Отношение силы инерции к весу тела в среде (разность между силой тяжести и выталкивающей архимедовой силой) называется фактором разделения, Fr = C / G₀. Тогда

. (35)

В центробежных гравитационных аппаратах фактор разделения составляет десятки и сотни единиц, поэтому весом тела в среде можно пренебречь.

Скорость движения частиц во вращающихся (криволинейных) потоках в направлении, перпендикулярном оси вращения, может быть определена по вышеприведенным уравнениям или графическими методами, при условии замены ускорения при свободном падении на центростремительное ускорение (замены веса тела в среде на силу инерции).

Аналогично в центробежном поле конечная скорость достигается, когда движущая сила уравновешивается силами сопротивления:

. (36)

Для мелких частиц G₀Fr = 3pv_цdm, после преобразования имеем

v_ц = v₀Fr. (37)

Для крупных частиц , или

. (38)

Для промежуточных частиц определение необходимо вести через . При этом

. (39)

Очевидно, что скорость движения в центробежном поле для частицы выше, чем ее скорость в гравитационном поле, на величину, пропорциональную фактору разделения. Особенно это сказывается на мелких частицах, поскольку их скорость увеличивается в фактор разделения раз [см. формулу (41)]. Таким образом, мелкая частица в центробежном поле может вести себя аналогично крупной в гравитационном. Поэтому центробежные процессы часто применяют для мелких частиц.

Стесненное падение частиц

2.3.1. Общие положения

Стесненное падение – это падение единичного тела в ограниченном пространстве среды или падение массы тел при достаточно большой объемной концентрации твердого (l > 0, 1).

Стесненность падения вызывается наличием стенок аппарата и соседних частиц.

Стесненное движение частиц кроме гравитационных процессов имеет место в ряде процессов химической технологии, при транспортировке пульп по трубам и промывке песчаных фильтров. Движение частиц в узких трубах встречается в некоторых образцах измерительных приборов.

Ввиду сложности стесненное падение изучалось в основном экспериментально. При этом вместо падения частиц исследовалось обычно их взвешивание (от слова взвесь) потоком жидкости. Возможность такой обратимости доказана опытами.

При стесненном падении на отдельную частицу будут действовать те же силы, что и при свободном: гравитационная, подъемная, гидродинамические силы сопротивления (равнодействующая сил трения и давления), силы механического сопротивления, возникающие за счет взаимного столкновения частиц друг с другом, трения частиц друг о друга и стенки аппарата.

Скорость частиц при стесненном падении будет меньше скорости их свободного падения. Чем меньше расстояние между частицами, т.е. чем больше их объемная концентрация, тем меньше будет скорость стесненного падения.

Параметром, характеризующим состояние взвешенного слоя (падающего слоя), является коэффициент разрыхления (пористость слоя) – объемное содержание жидкой фазы в слое:

, (40)

где V_ж и V_т – объем соответственно жидкой и твердой части слоя.

Объемная концентрация твердого l, вычисляемая по формуле

, (41)

связана с пористостью следующим соотношением:

. (42)

2.3.2. Частные случаи стесненного падения

Можно выделить четыре вида стесненного падения (рис.5): 1) одиночного тела в однородной среде, ограниченной стенками; 2) массы однородных тел (одинаковой крупности, плотности, формы); 3) отдельных крупных зерен в массе окружающих мелких; 4) массовое падение разнородных зерен.

Лучше всего изучены первый и второй случаи, хуже третий, еще хуже четвертый. Это связано с тем, что виды падения от первого к четвертому становятся все более сложными для изучения.

1. Падение одиночного тела в однородной среде, ограниченной стенками. С некоторым приближением движение частиц в узких трубках можно рассматривать как прообраз стесненного группового движения частиц. Таким путем Монро была получена первая формула для определения скорости стесненного падения. Последующими работами было установлено, что закономерности падения частиц в узких трубках применимы лишь для качественного описания стесненного падения и не дают достаточно точных количественных зависимостей.

Экспериментальное измерение скорости в этом случае производится путем определения скорости восходящего потока v_а взвешивающего частицу, тогда скорость стесненного падения v_ст = v_а,

Скорость можно определить как путь Н, проходимый частицей за определенное время t: v_ст = H/t. Начало и конец отсчета времени движения тела можно фиксировать визуально. Для повышения точности измерений применяют электромагнитную, радиоактивную фиксацию, особенно в непрозрачных средах.

Для расчета скорости падения единичного шара в трубке предложен ряд формул, в которых скорость стесненного падения вычисляется как скорость свободного, умноженная на некий коэффициент, зависящий от . Например, формула Монро

где d – диаметр зерна, D – диаметр трубы.

Формула пригодна при . Предложены и другие формулы, отличающиеся главным образом коэффициентом.

2. Падение массы однородных тел. Экспериментально скорость падения массы однородных тел определяют как скорость потока, в котором взвешен определенный объем частиц (при l = const). При этом . Скорость потока определяют как отношение объема взвешивающей среды (или взвеси) Q, проходящей в единицу времени через сечение S, ограничивающее пространство движения: .

Для определения скоростей стесненного падения однородных частиц предложены две основные группы формул: 1) формулы, основанные на рассмотрении массы падающих зерен как фильтрационной среды, через которую жидкость протекает в вертикальном направлении снизу вверх; 2) формулы, основанные на рассмотрении падения в жидкости отдельной частицы, находящейся в массе других.

Хотя первая концепция имеет более четко выраженный физический смысл, недостатком формул этой группы является ограничение применения небольшими коэффициентами разрыхления ( < 0, 8), для которых взвешенный слой может рассматриваться как пористая среда.

Для первой группы характерна формула

где ; – критерий Архимеда; M и f – параметры, зависящие от L.

Из формул второй группы наиболее распространенной является формула Лященко

v_ст = v_св mⁿ, (43)

где v_ст и v_св – скорость соответственно стесненного и свободного падения частиц; n – показатель степени, зависящий от размера, плотности и формы частиц, n можно принимать равным 4, 65 при Re < 0, 5; 2, 39 при Re > 500 и приблизительно 3 при 0, 5 < Re < 500; также предложен ряд формул, по которым можно более точно рассчитать показатель степени n.

Подставляя в формулу (43) значение скорости свободного падения из обобщающей формулы конечной скорости свободного падения (29) и учитывая, что , получаем обобщающую формулу конечной скорости стесненного падения

. (44)

Все параметры определяются аналогично формулам (20), (29), (43).

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒