Передача тепла теплопроводностью

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Закон Фурье. Основным законом передачи тепла теплопроводностью является закон Фурье, согласно которому количество тепла dQ, передаваемое посредством теплопроводности через элемент поверхности dF, перпендикулярный тепловому потоку, за время прямо пропорционально температурному градиенту , поверхности dF и времени :

(8)

или количество тепла, передаваемое через единицу поверхности в единицу времени

(9)

Величина q называется плотностью теплового потока.

Знак минус, стоящий перед правой частью уравнений (8) и (9), указывает на то, что тепло перемещается в сторону падения температуры.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности. Согласно уравнению (8)

При выражении Q в ккал/ч

Таким образом, коэффициент теплопроводности показывает, каков количество тепла проходит вследствие теплопроводности в единицу времени через единицу поверхности теплообмена при падении температуры на 1 град на единицу длины нормали к изотермической поверхности.

Величина , характеризующая способность тела проводить тепло путем теплопроводности, зависит от природы вещества, его структуры, температуры и некоторых других факторов.

При обычных температурах и давлениях лучшими проводниками тепла являются металлы и худшими — газы. Так, ориентировочные значения [в вт/(м*град) и ккал/(м*ч*град)] для металлов при 0 составляют: для чистой меди — 394 (340); для углеродистой стали Ст.З — 52 (45); для легированной стали Х18Н9Т— 25, 5 (22).

Для воздуха при 0 0, 027 вт/(м*град) или 0, 023 ккал/м*ч*град).

Примерные значения [в вт/(м*град) и в ккал/(м*ч*град)] для жидкостей, газов и теплоизоляционных материалов приведены ниже:

Капельные жидкости ………………………. 0, 1—0, 7 (0, 09—0, 6)

Газы ……………………………………………………. 0, 006—0, 165 (0, 005—0, 15)

Теплоизоляционные материалы ……. 0, 006—0, 175 (0, 005—0, 16)

Низкая теплопроводность теплоизоляционных и многих строительных материалов объясняется тем, что они имеют пористую структуру, причем в их ячейках заключен воздух, плохо проводящий тепло. Коэффициенты теплопроводности газов возрастают с повышением температуры и незначительно изменяются с изменением давления. Для большинства жидкостей значения , наоборот, уменьшаются при увеличении температуры. Исключение составляет вода, коэффициент теплопроводности которой несколько возрастает с повышением температуры до 130 и при дальнейшем ее увеличении начинает снижаться. Для большинства металлов коэффициенты теплопроводности уменьшаются с возрастанием температуры. Значения резко снижаются при наличии в металлах примесей.

Следует отметить, что при определении количества тепла, передаваемого через слой газа или капельной жидкости вследствие теплопроводности, часто бывает необходимо учитывать влияние также конвекции и излучения, которые сопутствуют теплопроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности. Выделим в однородном и изотропном теле элементарный параллелепипед объемом dV с ребрами dx, dy, dz (рис. 2).

Рис. 2. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности.

Физические свойства тела — плотность , теплоемкость с и теплопроводность — одинаковы во всех точках параллелепипеда и не изменяются во времени. Температура на левой грани

dy dx равна t, на противоположной грани .

Количество тепла, входящего в параллелепипед через его грани за промежуток времени d :

по оси х через грань dy dz

по оси у через грань dx dz

по оси z через грань dx dy

Количество тепла, выходящее из параллелепипеда через противоположные грани за тот же промежуток времени:

по оси x

по оси у

по оси z

Количество тепла, входящее через соответствующую грань параллелепипеда, не равно количеству тепла, выходящему через противоположную грань, так как часть тепла расходуется на повышение температуры в объеме параллелепипеда.

Разность между количествами вошедшего в параллелепипед и вышедшего из него тепла за промежуток времени составит:

по оси x

по оси y

по оси z

Полное приращение тепла в параллелепипеде за промежуток времени :

или, учитывая, что dx dy dz = dV, получим

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой оператор Лапласа у²1. Следовательно

(А)

По закону сохранения энергии приращение количества тепла в параллелепипеде равно изменению энтальпии параллелепипеда, т. е.

(Б)

причем представляет собой изменение температуры параллелепипеда за промежуток времени . Приравниваем выражения (А) и (Б):

Обозначив и произведя сокращения, получим окончательно

(10)

Уравнение (10) определяет температуру в любой точке тела, через которое тепло передается теплопроводностью, и называется дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде, или уравнением Фурье.

Коэффициент пропорциональности а в уравнении (10) носит название коэффициента температуропроводности:

Коэффициент температуропроводности а характеризует теплоинерционные cвойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.

При установившемся процессе передачи тепла теплопроводностью (температура не изменяется со временем) и уравнение (10) в этом случае принимает вид

( 10а)

Однако величина а не может быть равна нулю и, следовательно

или

(11)

Уравнение (11) является дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.

Уравнения (10) и (11) описывают распределение температур при передаче тепла теплопроводностью в самом общем виде, без учета, в частности, формы тела, через которое проводится тепло. Для конкретных условий эти уравнения должны быть дополнены граничными условиями, характеризующими геометрические факторы.

Уравнение теплопроводности плоской стенки. Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через плоскую стенку (рис. 3), длина и ширина которой несравненно больше ее толщины; ось храсположена по нормали к поверхности стенки.

Рис. 3. К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки.

Температуры наружных поверхностей стенки равны t_СТ1 и t_СТ2, причем t_СТ1 > t_СТ2. При установившемся процессе количества тепла, подведенного к стенке и отведенного от нее, должны быть равны между собой и не должны изменяться во времени.

Примем, что температура изменяется только в направлении оси х,

т. е. температурное поле одномерное ( и ). Тогда на основании уравнения теплопроводности (11) имеем:

(11a)

Интегрирование этого уравнения приводит к функции

t=C₁x+C₂ (12)

где C₁ и C₂ — константы интегрирования.

Уравнение (12) показывает, что по толщине плоской стенки температура изменяется прямолинейно.

Константы интегрирования определяют исходя из следующих граничных условий:

при x=0 величина t=t_СТ1и из уравнения (12)

t_СТ1=С₂

при x= величина t=t_СТ2 и уравнение (12) принимает вид

t_СТ2=С₁ +С₂

или

t_СТ2=С₁ + t_СТ1

откуда

Подставив значения констант С₁ и С₂ в уравнение (12) находим

Тогда

Подставив полученное выражение температурного градиента в уравнение теплопроводности (8), определим количество переданного тепла:

или

(13)

где — коэффициент теплопроводности материала стенки; — толщина стенки;
— разность температур поверхностей стенки; F — поверхность стенки; — время.

Для непрерывного процесса передачи тепла теплопроводностью при = 1 уравнение (13) принимает вид

(13a)

Уравнения (13) и (13а) являются уравнениями теплопроводности плоской стенки при установившемся процессе теплообмена.

Если плоская стенка состоит из nслоев, отличающихся друг от друга теплопроводностью и толщиной (рис. 4), то при установившемся процессе через каждый слой стенки пройдет одно и то же количество тепла, которое может быть выражено для различных слоев уравнениями:

или

……………………………. …….………………………..

или

Складывая левые и правые части второго столбца этих уравнений, получим

откуда

где i— порядковый номер слоя стенки; n — число слоев.

Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки. Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через цилиндрическую стенку длиной Lвнутренним радиусом r_Ви наружным радиусом r_Н (рис.5).

Рис. 4. К выводу уравнения теплопроводности плоской многослойной стенки.

Рис. 5. К выводу уравнений теплопроводности цилиндрической стенки.

Температуры на внутренней и внешней поверхностях стенки постоянны и равны t_СТ1 и t_СТ2соответственно, т. е. процесс теплообмена установившийся. Поскольку эти поверхности не равны друг другу, уравнение (13) в данном случае неприменимо. Пусть t_СТ1 > t_СТ2и температура изменяется только в радиальном направлении.

Для цилиндрической стенки поверхность ее в некотором сечении, отвечающем текущему радиусу r, составляет F = 2 . Подставив значение Fв уравнение Фурье (8), находим для одномерного поля

В данном случае = r_Н – r_В и вместо можно подставить dr. Тогда

или, разделяя переменные

Интегрируем это уравнение в пределах от r_Вдо r_Н и соответственно – от до :

откуда

или, учитывая, что r_Н/r_В=d_Н/d_В, получим

где d_Н/d_В — отношение наружного диаметра цилиндрической стенки к ее внутреннему диаметру.

Уравнение (15) показывает, что по толщине цилиндрической стенки температура изменяется по криволинейному (логарифмическому) закону. Это уравнение представляет собой уравнение теплопроводности цилиндрической стенки при установившемся процессе теплообмена.

По аналогии с выводом, приведенным для однослойной стенки, для цилиндрической стенки, состоящей из n слоев, количество тепла, передаваемое путем теплопроводности, составляет

где i— порядковый номер слоя стенки.

Уравнения (13) и (15а) для плоской и цилиндрической стенок были получены для стационарного (установившегося) процесса распространения тепла теплопроводностью. Для тонких цилиндрических стенок (тонкостенных труб) расчет может быть упрощен.

Лекция № 27.

Тепловое излучение

Длины волн теплового излучения лежат в основном в невидимой (инфракрасной) части спектра и имеют длину 0, 8—40 мк. Они отличаются / от видимых световых лучей только длиной (длина световых волн 0, 4— 0, 8 мкм).

Твердые тела обладают сплошным спектром излучения: они способны испускать волны всех длин при любой температуре. Однако интенсивность теплового излучения возрастает с повышением температуры тела, и при высоких температурах (примерно при t 600 °С) лучистый теплообмен между твердыми телами и газами приобретает доминирующее значение.

Тепловое и световое излучения имеют одинаковую природу и поэтому характеризуются общими законами: лучистая энергия распространяется в однородной и изотропной среде прямолинейно. Поток лучей, испускаемый нагретым телом, попадая на поверхность другого, лучеиспускающего тела, частично поглощается, частично отражается (при этом угол падения равен углу отражения) и частично проходит сквозь тело без изменений.

Пусть Q_Л — общая энергия падающих на тело лучей, Q_ПОГЛ — энергия, поглощенная телом, Q_ОТР— энергия, отраженная от поверхности тела, и, наконец, Q_ПР — энергия лучей, проходящих сквозь тело без изменений. Тогда баланс энергии составит:

Q_ПОГЛ+Q_ОТР+Q_ПР=Q_Л(16)

или в долях от общей энергии падающих лучей

В пределе каждое из трех слагаемых может быть равно единице, если каждое из оставшихся двух равно нулю.

При Q_ПОГЛ/Q_Л=1 и соответственно при Q_ОТР/Q_л=0 и Q_ПР/Q_Л=0 тело полностью поглощает все падающие на него лучи. Такие тела называются абсолютно черными.

При Q_ОТР/Q_Л=1 и Q_ПОГЛ/Q_Л=0; Q_ПР/Q_Л=0 тело отражает все падающие на него лучи. Эти тела называются абсолютно белыми.

При Q_ПР/Q_Л=1 (в этом случае Q_ПОГЛ/Q_Л=Q_ОТР/Q_Л=0) тело пропускает все падающие лучи. Такие тела называются абсолютно прозрачными, или диатермичными.

Абсолютно черных, абсолютно белых или абсолютно прозрачных тел реально не существует. Все тела в природе, которые поглощают, отражают и пропускают ту или иную часть падающих на них лучей, называются серыми телами.

Из реальных тел к абсолютно черному особенно приближается сажа, которая поглощает 90—96% всех лучей. Наиболее полно отражают падающие на них лучи твердые тела со светлой полированной поверхностью. Большинство твердых тел относится к числу практически непрозрачных тел, зато почти все газы, исключая некоторые многоатомные газы (см. ниже), являются прозрачными, или диатермичными.

Закон Стефана—Больцмана. Количество энергии, излучаемое телом в единицу времени во всем интервале длин волн (от =0 до ) единицей поверхности F тела, характеризует лучеиспускателную способность Е тела:

где Q — энергия, излучаемая телом.

Лучеиспускательная способность, отнесенная к длинам волн от до , т. е. к интервалу длин волн , называется интенсивностью излучения и выражается отношением

Проинтегрировав последнее выражение, можно установить связь между лучеиспускательной способностью и интенсивностью излучения:

Планком теоретически получена следующая зависимость общей энергии теплового (температурного) излучения от абсолютной температуры и длины волн:

где Т— абсолютная температура, °К.

Входящие в уравнение (19) константы могут быть приняты равными: С₁ = 3, 22*10^-16 вт/м² [3, 74*10^-16 ккал/(м² *ч)]и С₂ = 1, 24*10^-2 вт/м² [1, 438*10^-2 (ккал/м²*ч) ]. Площадь под каждой из кривых на рис. 6 выражает общую удельную энергию излучения (т. е. приходящуюся на единицу поверхности в единицу времени) для всего спектра длин волн.

Уравнение (19) после преобразования, разложения знаменателя в ряд и последующего интегрирования приводит к сходящемуся ряду, вычисление суммы членов которого позволяют выразить полную энергию излучения, или лучеиспускательную способность абсолютно черного тела:

(20)

где Т — абсолютная температура поверхности тела, °К; K₀=5, 67*10^-8 вт/(м²*°К⁴)

[4, 87*10^-8 ккал/(м²* ч*°К⁴)] — константа лучеиспускания абсолютно черного тела.

Рис. 6. Зависимость I от и Т по уравнению Планка.

Рис. 7. К выводу закона Кирхгофа.

Уравнение (20) носит название закона Стефана— Больцмана, который является, таким образом, следствием уравнения (закона) Планка. Согласно закону Стефана—Больцмана, лучеиспускательная способность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры его поверхности.

Для того чтобы избежать оперирования с большими значениями Т⁴, в технических расчетах множитель 10^-8 относят к величине Т и уравнение (20) используют в несколько ином выражении:

где С₀ = K₀*10⁸= 5, 67 вт/(м²* °К⁴) = 4, 96 ккал/( м²*ч*°К⁴) — коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела.

Закон Стефана—Больцмана применим также к серым телам, для которых он принимает вид

где =С/С₀ — относительный коэффициент лучеиспускания, или степень черноты серого тела; С — коэффициент лучеиспускания серого тела.

Значения е всегда меньше единицы и колеблются от 0, 055 (алюминий необработанный при 20 ) до 0, 95 (резина твердая при 20 ); для листовой углеродистой стали 0, 82 при 25 .

Степень черноты зависит не только от природы материала, его окраски и температуры, но также от состояния его поверхности (полированная или шероховатая). Значения приводятся в справочной и специальной литературе.

Закон Кирхгофа. Для серых тел необходимо знать зависимость между их излучательной и поглощательной способностью.

Рассмотрим параллельно расположенные (рис. 7) серое тело I и абсолютно черное тело II и примем, что все лучи, испускаемые поверхностью одного тела, падают на поверхность другого. Обозначим поглощательную способность серого тела Q_ПОГЛ/Q_Л=A₁ . Для абсолютно черного тела A₂=A₀=1. Пусть температура серого тела выше, чем абсолютно черного, т. е, T₁ T₂. Тогда количество тепла (на единицу поверхности в единицу времени), переданного серым телом путем излучения, составляет

q=E₁-E₀A₁

При выравнивании температур обоих тел должно наступить тепловое равновесие, при котором q=0 и, следовательно

E₁-E₀A₁=0

откуда

Обобщая этот вывод, для ряда взаимно параллельных тел получим

Зависимость (22) выражает закон Кирхгофа, согласно которому отношение лучеиспускательной способности любого тела к его лучепоглощательной способности при той же температуре является величиной постоянной, равной лучеиспускательной способности абсолютно черного тела.

Тепловые лучи, попадая на шероховатую поверхность, многократно отражаются от нее, что приводит к лучшему поглощению лучистой энергии по сравнению с поглощением гладкой поверхностью. Тогда, в соответствии с законом Кирхгофа, шероховатые поверхности должны обладать также большей лучеиспускательной способностью, чем гладкие. Наоборот, лучеиспускательная способность полированных поверхностей, хорошо отражающих падающие на них лучи, в согласии с законом Кирхгофа, должна быть низкой.

Взаимное излучение двух твердых тел. Количество тепла Q_Лпередаваемого посредством излучения от более нагретого твердого тела, имеющего температуру T₁ K, к менее нагретому телу с температурой T₂ K, определяется по уравнению

где F — поверхность излучения; — время; С_1-2— коэффициент взаимного излучения;

_ПР — средний угловой коэффициент, который определяется формой и размерами участвующих в теплообмене поверхностей, их взаимным расположением в пространстве и расстоянием между ними.

Коэффициент взаимного излучения С_1-2= _ПРС₀, где _ПР — приведенная степень черноты, равная произведению степеней черноты обменивающихся лучистым теплом тел ₁ ₂.

Значения углового коэффициента приводятся в справочной и специальной литературе. Если тело, излучающее тепло, заключено внутри другого (например, нагретый аппарат находится внутри помещения), то = 1. В этом случае коэффициент взаимного излучения выражается уравнением

В выражении (24) все члены с индексом «1» относятся к более нагретому телу, расположенному внутри другого, а члены с индексом «2» — к телу, поверхность которого окружает первое тело.

Если излучающие поверхности равны и параллельны, то значение С_1-2= _ПРC₀ определяют на основе уравнения (24), подставляя в него F₁=F₂.

Если поверхность излучения более нагретого тела значительно меньше замкнутой вокруг него поверхности излучения другого тела, т. е. F₁ F₂, то вычитаемым в знаменателе можно пренебречь и тогда С_1-2=С₁(коэффициенту излучения более нагретого тела).

Для того чтобы ослабить лучистый теплообмен между телами или организовать защиту от вредного влияния сильного излучения, используют перегородки — экраны, изготовленные из хорошо отражающих лучи материалов. Экраны располагают между поверхностями обменивающихся лучистой энергией тел. Использование экранирования позволяет весьма эффективно снизить количество тепла, передаваемого менее нагретой поверхности путем излучения.

Рассмотрим параллельные плоские поверхности с температурами T₁ и T₂ (T₁ T₂), между которыми (параллельно поверхностям) помещен экран, имеющий температуру T_Э°К. Условно примем, что степень черноты е всех трех поверхностей одинакова. Тогда при установившемся процессе количество тепла, передаваемого излучением от более нагретой поверхности к экрану (Q_1-Э), равно количеству тепла, переносимого от экрана к менее нагретой поверхности

(Q_Э-2)Следовательно, согласно уравнению (23) при = 1 (параллельные плоскости), имеем:

Учитывая, что при равных коэффициенты взаимного излучения также равны, т. е. С_1-Э=С_Э-2 и проводя сокращения, получим

Подставляя значение в выражение Q_1-Э, находим

Если бы экрана не было, то количество тепла, передаваемое излучением непосредственно от поверхности I к поверхности II, составило бы

Сопоставляя выражения (А) и (Б), заключаем, что при наличии экрана количество тепла, передаваемое излучением поверхности II, уменьшилось вдвое. Обобщая этот вывод, можно считать, что при установке nподобных экранов количество передаваемого тепла должно уменьшиться в n+1 раз. В случае малой степени черноты материала экрана количество тепла уменьшилось бы еще больше.

Лучеиспускание газов. Излучение газов существенно отличается от излучения твердых тел. Одноатомные газы (He, Ar и др.), а также многие двухатомные газы (Н₂, O₂, N₂ и т. д.) прозрачны для тепловых лучей, т. е, являются диатермичными. Вместе с тем ряд имеющих важное техническое значение многоатомных газов и паров (СO₂, SO₂, NH₃, Н₂О и др.) могут поглощать лучистую энергию в определенных интервалах длин волн. В соответствии с законом Кирхгофа эти газы обладают излучательной способностью в тех же интервалах длин волн. Кроме того, в отличие от твердых тел газы излучают не с поверхности, а из объема слоя газа. При излучении двух газов в одной и той же полосе спектра излучение одного из газов частично поглощается другим.

Энергия, излучаемая газом, пропорциональна толщине его слоя l, концентрации или парциальному давлению излучающего газа в газовой смеси pи температуре газа T_Г °К. Таким образом, для каждой из полос спектра , количество излучаемой газом энергии

Общая лучеиспускательная способность газов (суммарная для всех полос спектра) не пропорциональна 4-й степени его абсолютной температуры, как в случае твердых тел. Так, для паров воды , для двуокиси углерода и т. д. Однако в технических расчетах принимают, что газы следуют закону Стефана—Больцмана (отклонения учитывают степенью черноты газа ). Тогда

где — отношение общего количества энергии, излучаемой газом, к той же величине для абсолютно черного тела при температуре газа.

Значения для различных газов в виде графиков зависимости от температуры Т и параметра pl приводятся в справочной и специальной литературе.

Уравнение (25) получено для излучения газа в пустоте при 0 °К. В действительности газ окружен поверхностью твердого тела — оболочкой, обладающей собственным излучением, некоторая доля которого поглощается излучающим газом. Поэтому количество тепла, излучаемого газом, определяют по приближенному уравнению

где — поглощательная способность газа при температуре твердой поверхности (стенки), причем при той же температуре; = 0, 5 ( +1) — эффективная степень черноты стенки, учитывающая частичное поглощение лучей газом, — степень черноты стенки;

T_СТ — температура стенки, °К.

Формула (26) получена для случая, когда длина пути всех лучей до поглощающего энергию элемента стенки одинакова. В других случаях в. расчет следует вводить эквивалентную толщину слоя, равную учетверенному объему слоя 4 V, деленному на поверхность F стенки .

При переменной температуре газа учитывается его среднегеометрическая температура , °К, где и — начальная и конечная температуры газа.

Приведенные выше зависимости относятся к чистым газам. Промышленные газы часто бывают загрязнены пылью, частицами сажи и механических примесей. Эти частицы обладают значительной поверхностью и собственным спектром излучения, что приводит к весьма; существенному возрастанию количества тепла, передаваемого газом путем излучения. Методика расчета теплоизлучения запыленных газов изложена в специальной литературе.

Лекция № 28.

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒