Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм



В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами.

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как на его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Другими словами, при каких значениях х из области определения X высказывательная форма А(х) В(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА- множество истинности предложения А(х), ТВ- множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции ТА В, то, по всей видимости, ТА В = ТА ТВ.

Докажем это равенство.

1. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а ТА В. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т е. высказывание А(а) В(а) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то, по определению конъюнкции, получаем, что каждое из высказываний А (а) и В(а) также истинно. Это означает, что а ТА и а ТВ. Следовательно, по определению пересечения множеств, а ТА ТВ. Таким образом, мы показали, что

ТА В ТА ТВ,

2. Докажем обратное утверждение. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а ТА ТВ. По определению пересечения множеств это означает, что а ТА и а ТВ, откуда получаем, что А(а) и В(а) - истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х) В(х), т.е. а е Т АА В. Таким образом, мы доказали, что ТА ТВ ТА В.

Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства ТА В = ТА ТВ, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

Приведем пример использования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 1х > 10 и 4 + х < 12, т.е. множество истинности предложения 2х> 10 и 4 + х< 12. Пусть Т1- множество решений неравенства 2х > 10, а Т2- множество решений неравенства 4 + х < 12. Тогда Т1 = (5, +∞ ), Т2 = ( - ∞, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересечение их множеств решений: Т1 Т2 = (5, 8).

Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы неравенств. Вообще с точки зрения логики любая система неравенств есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х) заданных на множестве X, обозначают A(x)vB(x). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения X, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е. TAvB = ТА ТВ.

Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше.

Приведем пример использования этого правила. Решим, например, уравнение (х - 2)∙ (х + 5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: x-2 = 0 c + 5 = 0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2} {-5} = {-5, 2}.

Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью. Решить совокупность уравнений (неравенств) - это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее.

Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств.

С другой стороны, характеристические свойства элементов пересечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характеристических свойств данных множеств:

А В={х‌ ‌ │ х А и х B}, A B={x│ x A или х В}, причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.

 


Поделиться:



Популярное:

  1. A. особая форма восприятия и познания другого человека, основанная на формировании по отношению к нему устойчивого позитивного чувства
  2. Automobiles Gonfaronnaises Sportives (AGS) — французская автогоночная команда и конструктор, выступавшая в ряде гоночных серий, в том числе в Формуле-1.
  3. Exercise 1. Заполните пропуски соответствующей личной формой глагола to be.
  4. Exercise 12. Поставьте предложения отрицательную форму.
  5. Exercise 17. Поставьте предложения в отрицательную и вопросительную форму.
  6. I курса очно-заочной (вечерней) формы обучения
  7. I. Виды информационного обеспечения.
  8. I. Выберите правильную форму глагола, согласующуюся с подлежащим. Запишите составленные предложения, переведите их на русский язык.
  9. I. Если глагол в главном предложении имеет форму настоящего или будущего времени, то в придаточном предложении может употребляться любое время, которое требуется по смыслу.
  10. I. Информация есть деятельность
  11. I. Перепишите и письменно переведите предложения. Определите видовременную форму и залог сказуемого.
  12. I. Перепишите следующие предложения, определите в каждом из них видовременную форму и залог глагола сказуемого (см. образец). Переведите предложения на русский язык.


Последнее изменение этой страницы: 2017-03-08; Просмотров: 778; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.015 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь