Высказывания и высказывательные формы

Конъюнкция и дизъюнкция высказывании.

Выясним смысл, который имеет в математике союз «и». Пусть А и В- произвольные высказывания. Образуем из них, с помощью союза «и», составное высказывание. Назовем его конъюнкцией и обозначим А В (читают: «А и В»).

Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

А В А В

и и и

и л л

л и л

л л л

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.

Заметим, что данное определение конъюнкции не расходится с общепринятым пониманием союза «и». Действительно, если мы знаем, что каждое из предложений «сегодня идет снег» и «сегодня холодно» истинно, то мы будем считать истинным и предложение «сегодня идет снег и холодно». Если же одно из этих предложений или оба будут ложными, то и все предложение «сегодня идет снег и холодно» мы будем считать ложным.

Заметим также, что в обыденной речи конъюнкция может выражаться не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только..., но и...». Например: «Число 15 делится не только на 3, но и на 5».

Выясним теперь, какой смысл имеет в математике союз «или».

Пусть А и В- произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Назовём его дизъюнкцией и обозначим A v В (читают: «А или В»).

Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание A В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

А В А В

и и и

и л и

л и и

л л л

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 или на 9». Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно.

Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется как неразделительный, т.е. допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказывание «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считается истинным, поскольку оба высказывания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны.

Образование составного высказывания с помощью логической связки называется логической операцией. Операция, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией; операция, соответствующая союзу «или», - дизъюнкцией. Заметим, что названия логических операций и их результаты (составные предложения) называются одинаково.

Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на t составляющих их высказываний.

Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А₁ А₂ ... А_t которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания.

Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида A₁ А₂ . .. А_t которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания.

Высказывания с кванторами

В параграфе, который мы изучаем, рассматриваются различные виды математических предложений. Мы выяснили, что среди них выделяют высказывания и высказывательные формы, которые могут быть элементарными и составными. Мы узнали также, как устанавливают значение истинности таких высказываний и как находят множество истинности высказывательных форм. Но мы, конечно, не исчерпали все многообразие формулировок математических предложений и, значит, не знаем многих правил обращения с ними. Например, почему можно одну и ту же теорему о равенстве вертикальных углов формулировать по-разному:

1) Вертикальные углы равны.

2) Если углы вертикальные, то они равны.

3) Для того чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными.

4) Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны.

Или: почему истинность предложения «сумма трех любых последовательных натуральных чисел делится на 3» надо доказывать, а чтобы убедиться в истинности предложения «некоторые натуральные числа делятся на 3», достаточно привести конкретный пример?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо более глубокое изучение математических предложений и, прежде всего, высказываний с кванторами.

В формулировках математических предложений часто встречаются слова: «каждый», «все», «некоторые», «хотя бы один». Например, свойство противоположных сторон прямоугольника формулируется так: «в любом прямоугольнике противоположные стороны равны», а о свойстве натуральных чисел мы говорили, что «некоторые натуральные числа кратны 5». Выясним, каков смысл этих слов и как он используются в математике.

Если задана высказывательная форма, то, чтобы превратить ее в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Например, если на множестве N натуральных чисел задана высказывательная форма А(х) — «число х кратно 5», то, подставив в нее вместо х число 20, мы получим истинное высказывание «число 20 кратно 5». Если же в эту высказывательную форму подставить вместо х число 17, мы получим ложное высказывание «число 17 кратно 5».

Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово «всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит, предложение «всякое число х кратно 5» (х N) - высказывание, причем ложное.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом х.

Запись ( x) А(х) означает: «для всякого значения х предложение А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества X, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ( x X) А(х) можно читать:

а) для всякого х из множества X истинно Л(х);

б) всякий элемент из множества X обладает свойством А.

Выражение «существует х такое, что...» в логике называется квантором существования по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом х.

Запись ( х) А(х) означает: «существует такое значение х, что А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества X, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ( х X) А(х) можно читать:

а) существует такое х из множества X, что истинно А(х);

б) хотя бы один элемент х из множества X обладает свойством А.

Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Обратим внимание на особенность употребления в математике слова «некоторый», В обычной речи, говоря «некоторые», имеют в виду «по меньшей мере один, но не все», в математике же слово «некоторые» означает «по меньшей мере один, но, может быть, и все».

Итак, если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе переменные: например, ( x)( у) х > у или ( х)( у) х > у.

Однако важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания, содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру. Дело в том, что кванторы содержатся в формулировках определений, теорем и других математических предложений, хотя часто только подразумеваются. Например, в формулировке теоремы «Вертикальные углы равны» квантора в явном виде нет, но предполагается, что данное утверждение справедливо для всех вертикальных углов. Записывая коммутативное свойство сложения в виде а + b = b + а, подразумевают, что оно справедливо для любых чисел а и b.

Задача 1. Выявить логическую структуру следующих высказываний:

а) Некоторые нечетные числа делятся на 5.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) В прямоугольнике диагонали равны.

Решение, а) В этом предложении имеется квантор существования, он выражен словом «некоторые», и высказывательная форма «нечетные числа делятся на 5», заданная на множестве X нечетных чисел. Обозначим высказывательную форму символом А(х), тогда логическая структура данного предложения такова: ( х X) А(х). Если предложение А(х) записать, используя символы: «х 5», то исходное высказывание можно представить в таком виде: ( х X) х 5, где X-множество нечетных чисел.

б) В данном предложении имеется квантор общности, он представлен словом «любой», и высказывательная форма «произведение двух последовательных натуральных чисел кратно 2», заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначим ее А(х). Тогда логическая структура данного высказывания такова: ( x N) A(x). И если А(х) представить в виде х(х + 1) 2, то заданное предложение можно записать так: ( х N) х (х+ 1) 2.

в) В заданном высказывании квантора в явном виде нет, но подразумевается, что свойством «иметь равные диагонали» обладают любые прямоугольники, следовательно, этот квантор общности можно включить в заданное высказывание, не изменив его сути: «в любом прямоугольнике диагонали равны». Тогда его структура такова: ( x X) А(х), где X - множество прямоугольников, А(х) - высказывательная форма «в прямоугольнике диагонали равны».

Выясним теперь, как устанавливают значения истинности высказываний, содержащих кванторы.

Рассмотрим сначала высказывание с квантором общности, т.е. высказывание вида ( x X) А(х). В нем утверждается, что для любого х из множества X истинно А(х), поэтому, чтобы убедиться в истинности этого высказывания, надо показать, что множество истинности Т_А высказывательной формы А(х) совпадает с множеством X (Т_А =X). Чтобы убедиться в ложности высказывания ( x X) А(х), достаточно показать, что Т_А ≠ X, т.е. показать, что существует такое значение х X, при котором высказывательная форма обращается в ложное высказывание.

Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:

а) Для каждого х из множества {0, 1, 4} значение выражения

(4 - х): (2х + 1) есть число целое.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) Всякое натуральное число делится на 5.

Решение, а) Если мы хотим убедиться в истинности данного высказывания, то надо показать, что при подстановке каждого числа из множества {0, 1, 4} в выражение (4 - х): (2х + 1) получается целое число. Имеем:

если х = 0, то (4 - 0): (20 + 1) = 4: 1 = 4;

если х = 1, то (4- 1): (2-1 + 1) = 3: 3 = 1;

если х = 4, то(4-4): (2-4 + 1) = 0: 9 = 0.

Действительно, значение выражения (4-х): (2х+1) при всех заданных значениях х есть число целое. Установили мы это путем перебора всех возможных случаев.

б) Воспользуемся результатом задачи 1 (случай б) и представим данное высказывание в таком виде: ( x N) х (х + 1) 2.

Мы не знаем, истинно оно или ложно, поэтому рассмотрим несколько случаев. Если х = 1, то произведение 1∙ 2 кратно 2, так как на 2 делится второй множитель. Если х = 2, то произведение 2∙ 3 тоже кратно 2, так как на 2 делится первый множитель. Если х = 7, то и в этом случае 7∙ 8 кратно 2, поскольку второй множитель 8 делится на 2. Исходя из рассмотренных случаев, можно предположить, что данное высказывание истинное, но убедиться в этом путем перебора (как в первом предложении) нельзя, поскольку невозможно перебрать все натуральные значения х. Будем рассуждать. Из двух последовательных натуральных чисел одно обязательно четное. Но если в произведении один из множителей делится на 2, то, как известно, и все произведение делится на 2. Следовательно, при любом натуральном х произведение х(х+1) делится на 2.

в) Высказывание «всякое натуральное число делится на 5» - ложное. Убедиться в этом можно, назвав натуральное число, которое не делится на 5, например число 12.

В математике говорят, что в ложности данного высказывания мы убедились, приведя контрпример.

Вообще истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.

Заметим, что доказательство истинности высказываний, содержащих квантор общности, можно выполнять различными методами. Решая задачу 2, мы использовали перебор всех возможных случаев и рассуждения. Эти и другие методы доказательства будут рассматриваться нами позже.

Выясним, как устанавливается значение истинности высказываний, содержащих квантор существования. В высказывании ( х X) А(х) утверждается, что в множестве X есть такой элемент х, которой обладает свойством А. Поэтому оно будет истинно, если множество истинности высказывательной формы А(х) не пусто (Т_А≠ Ø ). Для того чтобы показать это, достаточно найти такое значение переменной х, при котором высказывательная форма А(х) обращается в истинное высказывание, т.е. привести пример.

Высказывание ( х X) А(х) ложно в том случае, когда Т_А≠ Ø. Убедиться в этом можно лишь путем доказательства.

Задача 3. Установить, истинны или ложны следующие высказывания:

а) Среди треугольников есть прямоугольные.

б) Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними.

Решение, а) Данное высказывание содержит квантор существования, который выражен словом «есть». Чтобы убедиться в истинности такого высказывания, достаточно привести пример. В данном случае прямоугольный треугольник можно начертить.

б) В этом случае квантор существования выражен словом «некоторые». Если считать данное высказывание истинным, то надо привести пример, т.е. попытаться начертить треугольник, который был бы одновременно прямоугольным и равносторонним. Из того, что это не удается начертить, еще не следует вывод о ложности данного высказывания. В этом надо убедиться путем доказательства.

Действительно, если треугольник прямоугольный, то в нем один угол равен 90°, а в равностороннем все углы 60°. Следовательно, ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним. Поэтому данное высказывание ложное.

Вообще истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Заметим, что убедиться в ложности высказывания - это значит опровергнуть его.

Высказывания и высказывательные формы

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но чтобы математические знания были достоверными, правильно отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны быть истинными.

Но как узнать, истинное или ложное знание заключено в том или ином математическом предложении? На этот и другие вопросы, с ним связанные, мы попытаемся ответить в данном параграфе. А сейчас только заметим, что каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой (структурой), причем содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое, не понимая второго. В связи с этим изучение математических предложений в главе «Элементы логики» будет в основном связано с раскрытием логической структуры математических предложений.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики можно встретить такие предложения:

1) число 12 - четное;

2) 2 + 5 > 8;

3) х + 5 = 8;

4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;

5) От перестановки множителей произведение не изменяется;

6) Некоторые числа делятся на 3.

Види м, что предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и б можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 - ложную. Относительно предложения х + 5 = 8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное.

Взгляд на предложение с позиции - истину или ложь оно нам сообщает - привел к понятию высказывания.

Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6, приведенные выше, есть высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6- истинные, а 2 - ложное.

Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., Z. Если высказывание А истинно, то записывают: А - «и», если же высказывание А -ложно, то пишут: А - «л».

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.

Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Например, если х = 2, то 2 + 5 = 8- ложное высказывание, а при х = 3 оно обращается в истинное высказывание 3 + 5 = 8. Предложение х + 5 = 8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

По числу переменных, входящих в высказывательную форму, различают одноместные, двухместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х, у) и т.д. Например, х + 5 = 8 - одноместная высказывательная форма, а предложение «Прямая х параллельна прямой у» - двухместная.

Следует иметь в виду, что в высказывательной форме переменные могут содержаться неявно. Например, в предложениях: «число четное», «две прямые пересекаются» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х - четное», «Две прямые х и у пересекаются».

Задание высказывательной формы, как правило, предполагает и задание того множества, из которого выбираются значения переменной (переменных), входящей в высказывательную форму. Это множество называется областью определения высказывательной формы. Например, неравенство х > 5 можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной х выбирается из множества действительных чисел. Тогда в первом случае областью определения неравенства х > 5 будет множество натуральных чисел, а во втором множество действительных чисел.

Дадим определение одноместной высказывательной формы (понятие высказывательной формы, содержащей две и более переменных, определяется аналогично).

Определение. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве X, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества X.

Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5; ∞ ). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3.

Условимся обозначить множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда, согласно определению, всегда Т Х.

Предложения (высказывания и высказывательные формы), которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения. Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны». Естественно возникает вопрос: как определить значение истинности таких высказываний и находить множество истинности таких высказывательных форм?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо познакомиться с некоторыми логическими понятиями.

В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда» и др. С помощью частицы «не» или словосочетания «неверно, что» можно из одного предложения получить новое.

Слова «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не» (слова «неверно, что») называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.

Приведем примеры составных предложений:

1) Число 28 четное и делится на 7.

Это предложение образовано из двух элементарных: «число 28 четное», «число 28 делится на 7» с помощью логической связки «и».

2) Число х меньше или равно 8.

Это предложение образовано из двух элементарных: «число х меньше 8», «число х равно 8» с помощью логической связки «или».

3) Число 14 не делится на 4.

Это составное высказывание образовано из предложения «число 14 делится на 4» с помощью частицы «не».

Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что все три предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре - простые. Не всегда, но так бывает: простое предложение по своей логической структуре может быть составным.

А как определять значение истинности составного высказывания? Например, истинно или ложно высказывание: «число 28 делится на 7 и на 9»? Элементарное высказывание «число 28 делится на 7», входящее в составное, истинное - это известно из начального курса математики. Второе элементарное высказывание «число 28 делится на 9» - ложное (и это нам известно). А каким будет в этом случае значение истинности составного высказывания, образованного из этих высказываний с помощью союза «и»? Ответить на этот вопрос можно, если знать смысл этого союза. Но так как составные высказывания образуются с помощью и других логических связок, то возникает необходимость в уточнении их смысла.

Кроме того, уточнение смысла используемых в математике связок обусловлено их неоднозначным толкованием в обыденной речи, что может привести к неоднозначному ответу при нахождении значения истинности составных высказываний.

Итак, значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.

Для выявления логической структуры составного предложения нужно установить:

1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;

2) с помощью каких логических связок оно образовано. Выявим, например, логическую структуру предложения

«Если углы вертикальные, то они равны». Оно состоит из двух элементарных предложений: предложения А - «углы вертикальные» и предложения В - «углы равны». Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «если..., то...». Говорят, что данное составное предложение имеет логическую структуру (форму): «если А, то В».

12 3 4 5 6 Следующая ⇒