Вопрос: Какие из данных функций являются непрерывными?

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Рис. 4. Рис. 5.

Ответ: Из данных функций непрерывной является функция, изображенная на рис. №3, так как ее график - «неразрывная» (сплошная) линия.

Вопрос: Какими свойствами обладает функция, изображенная на рис. №3, и не обладают другие функции?

Ответ:

1. Функция определена в точке х₀. Это свойство не выполняется для функции, изображенной на рис. №1.

2. Существует конечный предел функции в точке х₀. Это свойство не выполняется для функций, изображенных на рис. №2, 5.

3. Предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, то есть . Это свойство не выполняется для функции, изображенной на рис. №4.

Свойства, которые выполняются для функции, изображенной на рис. №3, и дают возможность дать определение функции непрерывной в точке х₀.

 

Определение: Функция называется непрерывной в точке х₀, если .

Замечание: Если функция является непрерывной в точке х₀, то точка х₀ называется точкой непрерывности функции, если функция не является непрерывной в точке х₀, то точка х₀ называется точкой разрыва функции.

Определение: Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

 

5. Приращение аргумента, приращение функции

 

Пусть задана функция , .

х₀ – начальное значение аргумента, ;

х– конечное значение аргумента, ;

f (х₀) – начальное значение функции;

f(х₀ +D х) – конечное значение функции.

Определение: Разность конечного и начального значений аргумента называется приращением аргумента. D х = х – х₀

Определение: Разность конечного и начального значений функции называется приращением функции. D у = f(х₀ +D х) – f (х₀)

 

Замечание:

1. Геометрически приращение аргумента D х– есть разность абсцисс точек графика функции, соответствующих конечному и начальному значениям аргумента.
2. Геометрически приращение функции D у– есть разность ординат точек графика функции, соответствующих конечному и начальному значениям аргумента.
3. Приращение аргумента и приращение функции могут быть как положительными, так и отрицательными.

 

6. Понятие производной функции. Физический смысл производной функции

 

Рассмотрим задачу о скорости изменения функции , где х и у могут быть любыми физическими величинами.

х₀ – начальное значение аргумента; f (х₀) – начальное значение функции;

х₀ +D х – конечное значение аргумента; f(х₀ +D х) – конечное значение функции;

D у = f(х₀ +D х) – f (х₀) – приращение функции;

– средняя скорость изменения функции на интервале D х.

– мгновенная скорость изменения функции, скорость изменения функции в точке х₀.

Определение: Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения D у функции в точке х₀ к приращению D х аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Вывод: Производная функции в точке х₀ есть скорость изменения функции в точке х₀.

 

Теорема: Производная постоянной функции у = с в любой точке равна нулю.

Теорема: Производная функции у = х в любой точке равна единице.

.

 

Замечание: Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием.

7. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций

 

Рассмотрим функцию , состоящую из двух других функций и , имеющих производные на отрезке :

1) ;

2) ;

3) .

 

Теорема №1: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций.

 

Пример: Вычислить производную функции

; .

Теорема №2: Производная произведения двух функций определяется по формуле:

Следствие: Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .

Доказательство: .

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .
2. . .
3. .

1. . ; .

Упражнения:

1) ;

2) ;

3) .

 

Производная степенной функции при вычисляется по формуле:

Замечание: Формула справедлива для степенной функции с любым показателем степени . ,

Пример: Вычислить производные функций:

1. . Решение: .
2. . Решение: .
3. . Решение: .
4. . Решение: .

Вывод: .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

Теорема №3: Производная частного двух функций определяется по формуле:

Следствия: ;

Пример: Вычислить производные функций:

1) .

2) . .

3) . .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. .

 

 

8. Понятие сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции

 

Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для , соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от х (функцией от функции).

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

 

Пример:

1. - тригонометрическая, линейная функция; , ;
2. - степенная, тригонометрическая функция; , ;
3. - степенная, линейная функция; , ;
4. - показательная, степенная функция; , ;

Упражнения:

1. Из каких элементарных функций состоят данные сложные функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1. Из данных элементарных функций составить сложные функции:

1) , ; 2) , ;

3) , . 4) , , .

Вывод: Производная сложной функции равна произведению производных элементарных функций, ее составляющих.

Пример: Вычислить производные функций:

1. .

- степенная, линейная; , .

.

2. .

- степенная, квадратичная; , .

.

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

 

 

9. Производная показательной, логарифмической функций

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

3. . .

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

Упражнения: Вычислить производную функции:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. .

 

 

10. Производные тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций

.

Пример: Вычислить производные функций:

1. . .

2. . .

Задача: Вычислить производную функции .

. .

Задача: Вычислить производную функции .

.

Упражнение: Вычислить производную функции .

.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
2. I. Какое из данных утверждений выражает основную идею текста?
3. IDEF1X - методология моделирования данных, основанная на семантике, т.е. на трактовке данных в контексте их взаимосвязи с другими данными.
4. II. Особенности технологии баз и банков данных.
5. II. СПОСОБЫ И ПРИЗНАКИ ИЗМЕНЕНИЯ МАРКИРОВОЧНЫХ ДАННЫХ
6. OLAP-технология и многомерные модели данных
7. V. Составьте и запишите предложения из данных слов.
8. Автоматическое заполнение данных
9. Акт приёма-передачи базы данных
10. Алгебраическая сумма всех электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной (какие бы процессы ни происходили внутри этой системы).
11. Анализ базовых функций гражданского общества. Демократические функции гражданского общества.
12. Анализ данных с помощью команд Подбор параметра и Поиск решения