Расчёт разветвлённых цепей с помощью законов Кирхгофа.

1.Упрощение элементарных цепей.

2. Произвольно расставляются направления токов в ветвях и расставляют их на схеме.

3. Выбирают направление обхода контуров с целью упрощения, берут одинаковое направление обхода во всех контурах. Учитывают только независимые контура.

Независимый – контур, который содержит хотя бы одну ветвь, которая не учитывается другими контурами.

4. Записывается уравнение по первому закону Кирхгофа. Число этих уравнений на 1 меньше числа узлов. Использовать все Y уравнений невозможно, т.к. одно из них обязательно будет зависимым. Это связано с тем, что токи ветвей войдут в уравнения, составленные для всех Y узлов, дважды, причем с разными знаками, т.к. один и тот же ток направлен от одного узла к другому. При сложении всех уравнений левая и правая части будут равны нулю, а это означает, что одно из уравнений можно получить суммированием (Y-1) уравнений и заменой знаков всех токов на противоположные. Таким образом Y-е уравнение всегда будет зависимым.

5. Записывается уравнения по 2 закону Кирхгофа для контуров.

Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов.

6. Решаем систему уравнений относительно токов.

Пусть дана схема рис. 4.6. Заданы величины ЭДС и номиналы сопротивлений. Записать систему уравнений для определения токов по законам Кирхгофа.

Рис. 4.6. Исходная схема

После выполнения пунктов 1, 2, 3 схема примет вид рис. 4.7. При этом Сопротивления R1 и R7 заменены эквивалентным R17, а реальный источник тока J6 c R6 - эквивалентным ЭДС (E6Э) с внутренним сопротивлением R6.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов – их в схеме два, т.к. узел c превратился в точку на линии, а ток I6=I1.

Для узла a I1 - I3+I4-I5 =0,

Для узла b I2+I3-I4 =0.

Запишем далее уравнения для независимых контуров по второму закону Кирхгофа – их три.

Для первого контура I3*R3+I4*R4 = - E3,

Для второго контура -I2*R2-I4*R4-I5*R5 = -E2,

Для третьего контура I1*(R17+R6)+I5*R5 = E1-E6Э.

Добавляем к этим уравнениям 2 уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа и получим систему уравнений 5-го порядка.

Рис. 4.7. Эквивалентная схема с обозначением токов, узлов и контуров

I3+I4-I5 = 0,

I2+I3-I4 = 0,

I3*R3+I4*R4 = - E3,

-I2*R2-I4*R4-I5*R5 = -E2,

I1*(R17+R6)+I5*R5 = E1-E6Э

Запишем матрицу коэффициентов при токах и столбец свободных членов. Получим следующую таблицу:

I₁	I₂	I₃	I₄	I₅		E

		-1	-1	-1
	-1
		R3	-R4		=	-E₃
	R2		R4	-R5		-E2
R17+R6				R5		E1-E₆_Э

С левой стороны от знака равенства мы получили матрицу коэффициентов, с правой – столбец свободных членов. Используя правило Крамера, решаем систему и определяем искомые токи. Как видно из вышеприведенного метода нам нужно решать систему уравнений пятого порядка.

Уменьшить порядок системы позволяет метод контурных токов.

Метод контурных токов.

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток рис.4.8. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

I₃₃

Рис. 4.7. Эквивалентная схема с обозначением контурных токов.

Уравнение для первого контура

I₁₁*(R3+R4)-I₂₂*R4 = -E₃,

Уравнение для второго контура

-I₁₁*R4+I₂₂*(R2+R4+R5) = -E₂,

Уравнение для третьего контура

-I₂₂*R5 +I₃₃*(R17+R5+R6) = E₁-E_6Э.

Система уравнений будет третьего порядка и имеет вид:

I₁₁*(R3+R4)-I₂₂*R4 = -E₃,

-I₁₁*R4+I₂₂*(R2+R4+R5) = -E₂,

I₃₃*(R17+R5+R6)-I₂₂*R5 = E₁-E_6Э.

В этой системе только три уравнения, следовательно, решать её проще. Как видно из схемы: I₁₁=I₃, I₂₂=I₂, I₃₃=I₁=I₆, I₄=I₁₁-I₂₂, I₅=I₂₂-I₃₃. Таким образом, все токи определены.

Аналогичную картину даёт метод узловых потенциалов.

Метод узловых потенциалов.

Основан на применении 1-го закона Кирхгофа

Рис. 4.8. Эквивалентная схема к расчёту по методу узловых потенциалов.

Составить уравнения по методу узловых потенциалов для узлов a, b, c. Потенциал узла dприравниваем к 0 (рис. 4.8).

Для узла a:

j_a(1/(R₁+R₇)+1/R₃+1/R₄+1/R₅)-j_b(1/R₃+1/R₄)-

-j_c(1/(R₁+R₇))=E₁/(R₁+R₇)+E₃/R₃=I_a.

Для узла b:

-j_a(1/R₃+1/R₄)+j_b(1/R₃+1/R₄+1/R₂)=E₂/R₂-E₃/R₃₌I_b.

Для узла с:

-j_a/(G₁+G₇)+j_c(1/(G₁+G₇)+1/G₆)=-E₁/(G₁+G₇) - J=I_c.

В общем виде уравнение для к-го узла:

j_k_kl- j_i_kl=+_k

_kl-проводимость.

j_k-потенциалк-го узла.

å G_kl-сумма узловых проводимостей к-го узла, представляя собой сумму проводимостей ветвей, подключенных к к-му узлу. Это собственная проводимость к-го узла.

å I_k-алгебраическая сумма источников токов ветвей, подключённых к к-тому узлу.

å E_kG_kl-алгебраическая сумма произведений E ветвей, сходящихся в к-м узле на проводимости этих ветвей.

Правило:

Если Е и ток источника направлены к узлу, то в правой части уравнения берётся знак ² +².

I. j_a(1/(G₁+G₇)+1/G₃+1/G₄+1/G₅)-j_b(1/G₃+1/G₄)-j_c/(G₁+G₇)=E₁/(G₁+G₇)+ +E₃/G₃=I_a

-j_a( 1/G₃+1/G₄)+j_b( 1/G₃+1/G₄+1/G₂)= E₂/G₂- E₃/G₃=I_b

- j_a/(G₁+G₇)+j_c(1/(G₁+G₇)+1/G₆)= -E₁/(G₁+G₇)-I=I_c

или

II. j_a× G_aa+j_b× G_ab-j_c× G_ac=I_a

j_a× G_ba+j_b× G_bb=I_b

j_a× G_ca+j_c× G_cc=I_c

Решая систему относительно потенциалов. Токи в ветвях определяется разностью потенциалов между узлами по следующим формулам:

I₁=(j_c-j_a+E₁)G₁ I₄=(j_a-j_b)G₄

I₂=(j_b-E₂)G₂ I₅=G₅j_a

I₃=(j_a-j_b-E₃)G₃ I₆=G₆j_c

Тестовые вопросы по теме.

1. Назовите основные методы расчёта электрических цепей.

2. Что такое простая цепь, определение, пример схемы.

3. Расчёт схем по методу свёртывания и развертывания, алгоритм.

4. Расчёт схем по методу наложения, алгоритм.

5. Расчёт схем по уравнениям Кирхгофа, алгоритм.

6. Расчёт схем по методу контурных токов, алгоритм.

7. Расчёт схем по методу узловых потенциалов, алгоритм.

8. Расчёт схем по методу эквивалентного двухполюсника, алгоритм.

9. Что такое собственная проводимость узла?

⇐ Предыдущая 1 2 34