Определение деформаций и перемещений

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 10Следующая ⇒

Определим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины при растяжении Dl, называемое абсолютной продольной деформацией или удлинением, мало по сравнению с его первоначальной длиной l(Dl< < l). Тогда относительная продольная деформация будет равна

e = Dl / l

Учитывая, что согласно закону Гука для одноосного растяжения (сжатия)

e = s / E

где Е - модуль продольной упругости материала стержня, а нормальные напряжения определяются по формуле -s=N_z /F (в нашем случае N_z=P), для абсолютной деформации получаем

Dl = N_z / EF

(2)

Произведение EF принято называть жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии), так как удлинение обратно пропорционально EF.

Как показывают эксперименты, при растяжении стержня размеры его поперечного сечения уменьшаются (см. рис. 6), а при сжатии - увеличиваются. Это явление получило название эффекта Пуассона.

По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения Db (на рис. 6 Db< 0) будем называть абсолютной поперечной деформацией, а e'=Db/b - относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечная деформа-ции, имеющие противоположные знаки, связаны между собой коэффициентом m, являющимся константой материала и называемым коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

e' = - me

Как известно, для изотропного материала 0 £ m £ 1/2.

Формула (2) для удлинения стержня Dl применима только в случае, когда по длине стержня ни жесткость поперечного сечения, ни продольная сила не изменяются (EF=const, N_z=const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EF и N_z (рис. 7) может быть определено как сумма удлинений ступеней, у которых EF и N_z постоянны:

(индекс k у модуля продольной упругости означает, что участки стержня могут быть изготовлены из различных материалов). В случае, когда N_z и EF меняются по длине стержня l непрерывно и их можно считать постоянными лишь в пределах ступеней длиной dz, обобщая формулу эту, получаем

В качестве тестов для практики расчетов определенных интегралов рекомендую воспользоваться системой входных тестов Т-5, указанных в ПРИЛОЖЕНИИ.

С упругими продольными деформациями стержня при растяжении (сжатии) связаны продольные перемещения его сечений. На рис. 8 приведены три случая определения таких перемещений, откуда видно, что перемещения поперечных сечений численно равны удлинениям заштрихованных частей стержня:

перемещение свободного торцевого сечения 1-1 при неподвижном другом торцевом сечении (рис. 8, а) численно равно удлинению стержня;
перемещение промежуточного сечения 2-2 (рис. 8, б) численно равно удлинению части стержня, заключенной между данным сечением и сечением неподвижным;
взаимное перемещение сечений 3-3 и 4-4 (рис, 8, в) численно равно удлинению части стержня, заключенной между этими сечениями.

Напряженное состояние при растяжении (сжатии)

Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным (рис. 9, а). Поскольку на поперечных и продольных площадках касательные напряжения не возникают, то эти площадки являются главными. Причем в случае растяжения s₁ =s > 0, s₂=s₃=0, а в случае сжатия s₁=s₂=0, а s₃=s< 0.

Напряжения на площадках, наклоненных к оси стержня под углом a, определяются по формулам для упрощенного плоского напряженного состояния:

Площадки с экстремальными касательными напряжениями t₁₃ (рис. 9, б), как известно, наклонены по отношению к исходным под углами b=±45° (следует и из формулы для t_a) и равны t₁₃=s/2.

Именно с действием экстремальных t связывается появление на боковой поверхности образца из малоуглеродистой стали, испытываемого на растяжение, линий скольжения, ориентированных под углом b=±45° к оси образца. На площадках с экстремальными t действуют и нормальные напряжения, равные s₁₃=s/2.

Составные балки и перемещения при изгибе

Ключевые слова: сварные двутавровые балки, уравнение упругой кривой, прогиб, угол поворота, граничные условия.

Понятие о составных балках

Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из них деформируется как отдельная балка, имеющая свой нейтральный слой (рис. 1, а). Нагрузка между этими балками распределяется пропорционально их жесткостям при изгибе (в данном примере поровну). Это означает, что моменты инерции и моменты сопротивления трех независимо друг от друга деформирующихся балок должны быть просуммированы

Если скрепить балки сваркой, болтами или другим способом (рис. 1, б), то с точностью до пренебрежения податливостью наложенных связей сечение балки будет работать как монолитное с моментом инерции и моментом сопротивления, равным

Как видно, при переходе к монолитному сечению жесткость балки возрастает в девять раз, а прочность - в три раза. В инженерной практике наиболее распространены сварные двутавровые балки.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая ⇒