Аксиоматическое определение вероятности.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Необходимость формально логического обоснования теории вероятностей, её аксиоматического построения возникла в связи с развитием самой теории вероятностей как математической науки и её приложений в различных областях.

Впервые идея аксиоматического построения вероятностей была высказана российским академиком Бернштейном (Бернштейн Сергей Натанович 1880-1968), исходившим из качественного сравнения событий по их большей или меньшей вероятности.

Приведём систему аксиом, предложенную Колмогоровым.

Вероятностью события А называется число Р(А), которое сопоставляется каждому событию рассматриваемого множества событий и которое удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1: (неотрицательности) Вероятность любого события неотрицательна.

Аксиома 2: (нормировки) Вероятность достоверного события равна 1.

Аксиома 3: (сложения) Вероятность суммы любого конечного множества попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Аксиома 4: (однозначности) Эквивалентные события имеют равные вероятности.

Следствия из аксиом:

1. Вероятность невозможного события равна 0.

2. Вероятность события противоположного событию А

3. Вероятность любого события

Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислить вероятности любых событий через вероятности элементарных событий.

Вопрос о том, откуда берутся вероятности элементарных событий, при аксиоматическом построении теории вероятностей не рассматривается. На практике они определяются с помощью классического, статистического, геометрического определений.

Таким образом, аксиоматическое определение:

· Обобщает классическое, статистическое, геометрическое определения.

· Постулирует существование вероятности как объективно существующей характеристики реальных событий, не зависящей ни от самого исследователя, ни от количества проведённых им экспериментов.

Вопрос

Пример 1. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25 000 деталей?

По результатам контроля можно оценить вероятность события А={произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте:

Р(А)

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 • 0, 005 = 125 бракованных.

Пример 2. Население города Хабаровска составляет около 400 000 жителей. Сколько хабаровчан родились 29 февраля?

Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 400 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году — один раз в четыре года. Найдем вероятность того, что случайно выбранный хабаровчанин родился 29 февраля следовательно. Воспользуемся классическим определением вероятности:

=0, 00068

Это значит, что среди 400 000 жителей Хабаровска следует ожидать около человек, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

На прогнозировании частоты основан один интересный способ определения численности популяций, используемый в биологии.

Пример 3. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов — на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?

Решить задачу алгебраическими методами не возможно, однако методами теории вероятностей это сделать достаточно несложно.

В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N. Всего помеченных рыб после первого отлова в озере стало 86. Тогда вероятность события А = {выловленная во второй раз рыба оказалась помеченной}, можно вычислить по формуле классической вероятности: . С другой стороны, относительная частота события А равна: W(A) = . Так как , имеем приближенное равенство: .

Отсюда имеем: . Таким образом, основываясь на результатах проведенных испытаний, мы получили, что в озере приблизительно живет 1118 рыб.

Сравнивая вероятности всех возможных исходов испытания, можно предсказать, каким из них эксперимент закончится скорее всего. Обратите внимание, что мы говорим «скорее всего», а не «наверняка» — ведь любой статистический прогноз может оказаться ошибочным.

Вопрос

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

На самом начальном этапе нужно изучить основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки (смотрите подробнее ниже) и научиться их применять для решения задач.

Перестановки

Пусть имеется nn различных объектов.
Будем переста влять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно

Pn=n! =1⋅ 2⋅ 3⋅...⋅ (n− 1)⋅ nPn=n! =1⋅ 2⋅ 3⋅...⋅ (n− 1)⋅ n

Символ n! n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 11до nn. По определению, считают, что 0! =1, 1! =10! =1, 1! =1.

Пример всех перестановок из n=3n=3 объектов (различных фигур) - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3! =1⋅ 2⋅ 3=6P3=3! =1⋅ 2⋅ 3=6, так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов! ).

Найти число перестановок онлайн? Без проблем: онлайн калькулятор перестановок.

Размещения

Пусть имеется nn различных объектов.
Будем выбирать из них mm объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из nn объектов по mm, а их число равно

Amn=n! (n− m)! =n⋅ (n− 1)⋅...⋅ (n− m+1)Anm=n! (n− m)! =n⋅ (n− 1)⋅...⋅ (n− m+1)

Пример всех размещений из n=3n=3 объектов (различных фигур) по m=2m=2 - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно A23=3⋅ (3− 2+1)=3⋅ 2=6A32=3⋅ (3− 2+1)=3⋅ 2=6.

На сайте вы можете найти число размещений: онлайн калькулятор размещений.

Сочетания

Пусть имеется nn различных объектов.
Будем выбирать из них mm объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из nn объектов по mm, а их число равно

Cmn=n! (n− m)! ⋅ m! Cnm=n! (n− m)! ⋅ m!

Пример всех сочетаний из n=3n=3 объектов (различных фигур) по m=2m=2 - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно C23=3! (3− 2)! ⋅ 2! =3C32=3! (3− 2)! ⋅ 2! =3. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m! m! раз, то есть верна формула связи:

Amn=Cmn⋅ Pm.

Вопрос

12 3 Следующая ⇒