На основе уравнения регрессии

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании является понятие адекватности модели, т.е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу. Адекватность модели является условным понятием, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно и для экономико-математического моделирования. При моделировании имеется ввиду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Проверка адекватности экономико-математических моделей является серьезной проблемой, так как эту проблему осложняет трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки применение результатов моделирования в управленческих решениях может не только оказаться малополезным, но и принести существенный вред.

Проверка адекватности регрессионных моделей начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Для этого проверяют гипотезу равенства нулю коэффициентов уравнения, либо проверку значимости уравнения регрессии, а также гипотезу адекватности уравнения, т.е. его способности предсказывать значения функции по значению аргумента (достаточна ли точность прогнозирования) (или пригодности уравнения для целей управления):

Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t- критерия Стьюдента:

( 20 )

где σ ²_bi - дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели признается статистически значимым, если

t_расч t_кр (α; n = n-k-1 ),

где α - уровень значимости; n= n – k - 1 - число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующих элементов совокупности.

 

Величина дисперсии коэффициента регрессии может быть приближенно определена по выражению:

σ _bo= σ _ост х ( 21)

σ _b1= (22 )

 

(23)

Для проверки значимости модели, полученной по данным активного эксперимента с несколькими повторностями используется F-критерий (критерий Фишера):

, (24)

где Y_теор- предсказанное по уравнению регрессии значение; Y_i – экспериментальное значение; - среднее значение; n – число пар экспериментальных значений; а – число коэффициентов уравнения регрессии.

Если F_расч. > F _табл при заданном уровне значимости, то уравнение регрессии значимо.

Число степеней свободы числителя n₁ равно числу коэффициентов модели без а₀, т.е. n₁=1.

Число степеней свободы знаменателя n₂ равно числу экспериментальных пар значений за вычетом числа коэффициентов уравнения регрессии а.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета
F-критерия и величины средней ошибки аппроксимации .

Если F_расч> F_α при α = 0, 05 или α = 0, 01, то Н_о - гипотеза о несоответствии заложенных в уравнении регрессии связей реально существующим отвергается.

Величина F_α определяется по специальным таблицам на основании значения α = 0, 05 или α =0, 01 и числа степеней свободы: ν ₁ = k - 1, ν ₂ = n - k, где n - число наблюдений, k - число факторных признаков в уравнении.

Значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 12 - 15%

(23)

Наиболее сложным этапом, завершающим регрессионный анализ, является интерпретация уравнения, т. е. перевод его с языка и математики на язык экономики.

Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков, т.е. с выяснения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на моделируемый. Особое значение при этом имеет знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если коэффициент при факторном признаке имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если знак минус, то с увеличением факторного признака результативный признак уменьшается. Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим содержанием моделируемого (результативного) признака. Если его величина изменяется в сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют положительное влияние. При изменении результативного признака в сторону снижения положительное значение имеют минусовые знаки факторных признаков. Если экономическая теория утверждает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии. Такое явление чаще всего бывает в силу допущенных ошибок при решении. Однако следует иметь в виду, что при анализе совокупного влияния факторов, при наличии взаимосвязей между ними характер их влияния может меняться. Для того чтобы быть уверенным, что факторный признак изменил знак влияния, необходима тщательная проверка решения данной модели, так как часто знаки могут меняться в силу допущенных ошибок при сборе или обработке информации.

При анализе адекватности уравнения регрессии исследуемому процессу возможны следующие варианты.

1. Построенная модель на основе ее проверки по F-критерию в целом адекватна, и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и осуществления прогнозов.

2. Модель по F-критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов регрессии незначима. В этом случае модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозирования.

3. Модель по F-критерию Фишера адекватна, но все коэффициенты регрессии незначимы. В этом случае модель полностью считается неадекватной. На ее основе не принимаются решения и не осуществляются прогнозы.

 

Пример расчета коэффициентов уравнения регрессии

 

Рассмотрим применение регрессионного и корреляционного методов при анализе экономических процессов. Имеются статистические данные о зависимости рентабельности производства продукции (%) по ряду предприятий, производящих одноименную продукцию, от выработки (в стоимостных показателях) на одного среднесписочного работника производственно-промышленного персонала. Полученные данные представлены в таблице (табл. 3):

 

Таблица 3 – Статистические данные по предприятиям

Номер	Х	Y
		11, 20
		11, 05
		6, 84
		9, 21
		9, 42
		10, 08
		9, 45
		6, 73
		7.24
		6, 12
		7, 63
		9, 43
		9, 46
		7, 64
		6, 92
		8, 95
		9, 33
		10, 23
		11, 77
		7, 41
Итого		176, 11

Для прогноза результирующего признака Y применим простую модель парной регрессии, в которой используется только одна факторная переменная — Х.

Анализ табличных данных показывает наличие прямой линейной зависимости между факторным Х (выработки продукции) и результативным признаком Y (рентабельностью производства). Тесноту и направление связи между факторным и результативным признаками определим с помощью коэффициентом корреляции r.

 

где X_i и Y_i - значения факторного и результативного признаков соответственно; n – объем выборки (число пар исходных данных).

Для рассматриваемого примера значение коэффициента корреляции составляет:

r = = 0, 955

Для описания рассматриваемого экономического процесса с помощью метода экономико-математического моделирования рассчитаем параметры уравнения регрессии: Y_теор = b₀ + b₁·X.

Данные для расчета параметров представим в табл.4

 

 

 

Таблица 4 – Таблица расчетных данных для определения

коэффициентов уравнения регрессии

 

X-n	Y-Q	X*X	Y*Y	X*Y	X*X*X	X*X*X*X	Y*X*X	У теор.линия	Утеор.параб.	(Уфакт-Утл)2	(Уфакт-Утпар)2
	11, 2		125, 44	10158, 4		6, 76751E+11	9213668, 8	10, 3	10, 39	0, 739	0, 66
	11, 05		122, 1025	10232, 3		7, 35265E+11	9475109, 8	10, 5	10, 60	0, 295	0, 21
	6, 84		46, 7856	3461, 04			1751286, 24	6, 8	6, 88	0, 000	0, 00
	9, 21		84, 8241	6824, 61		3, 0149E+11	5057036, 01	8, 9	8, 74	0, 101	0, 22
	9, 42		88, 7364	7432, 38		3, 87532E+11	5864147, 82	9, 3	9, 19	0, 012	0, 05
	10, 08		101, 6064	8961, 12		6, 24607E+11	7966435, 68	10, 2	10, 20	0, 011	0, 01
	9, 45		89, 3025	8259, 3		5, 83507E+11	7218628, 2	10, 1	10, 04	0, 363	0, 35
	6, 73		45, 2929	3432, 3				6, 9	6, 91	0, 021	0, 03
	7, 24		52, 4176	3829, 96			2026048, 84	7, 0	7, 04	0, 040	0, 04
	6, 12		37, 4544	2570, 4				6, 1	6, 34	0, 001	0, 05
	7, 63		58, 2169	5180, 77		2, 12559E+11	3517742, 83	8, 4	8, 19	0, 519	0, 32
	9, 43		88, 9249	8222, 96		5, 78184E+11	7170421, 12	10, 0	10, 02	0, 366	0, 35
	9, 46		89, 4916	8741, 04		7, 28933E+11	8076720, 96	10, 5	10, 57	1, 059	1, 24
	7, 64		58, 3696	4637, 48		1, 35755E+11	2814950, 36	7, 7	7, 61	0, 007	0, 00
	6, 92		47, 8864	3127, 84			1413783, 68	6, 4	6, 53	0, 304	0, 15
	8, 95		80, 1025	6524, 55		2, 8243E+11	4756396, 95	8, 8	8, 63	0, 027	0, 10
	9, 33		87, 0489	7408, 02		3, 9745E+11	5881967, 88	9, 4	9, 23	0, 001	0, 01
	10, 23		104, 6529	8634, 12		5, 07423E+11	7287197, 28	9, 8	9, 73	0, 193	0, 25
	11, 77		138, 5329	11887, 7		1, 0406E+12		11, 2	11, 55	0, 281	0, 05
	7, 41		54, 9081	4601, 61		1, 48719E+11	2857599, 81	7, 8	7, 72	0, 188	0, 10
Сумма
	176, 11		1602, 097	134127, 9		7, 62558E+12				6, 528	6, 19

 

 

Коэффициенты b₁ и b₀ линейного уравнения регрессии определяются по формулам (13), (13а):

, .

Подставив данные из таблицы получим следующие значения коэффициентов: b₀ =2, 423; b₁ = 0, 00873.

Для примера линейное уравнение регрессии имеет вид:

Y_теор = 2, 423 + 0, 00873·X.

Коэффициент b₁ характеризует наклон линии регрессии. b₁ = 0, 00873 и это означает, что при увеличении Х на единицу ожидаемое значение Y возрастет на 0, 00873. Отсюда b₁ может быть интерпретирован как прирост нормы рентабельности, который варьирует в зависимости от средней выручки. Свободный член уравнения b₀ =2, 423 у. е.; это значение Y при X, равном нулю. Поскольку маловероятно значение выработки, равное нулю, то можно интерпретировать b₀ как меру влияния на величину рентабельности других факторов, не включенных в уравнение регрессии.

Регрессионная модель может быть использована для прогноза уровня рентабельности, (который будет на предприятии, например, где средняя выработка на одного работника составит 600 руб.)

Для того чтобы определить прогнозируемое значение, следует Х = 600 подставить в регрессионное уравнение:

Y = 2, 423 + 0, 00873 • 600 = 7, 661.

Отсюда прогнозируемый уровень рентабельности для предприятия со средней выработкой 600 рублей на одного рабочего ППП составляет 7, 661 %.

Коэффициент эластичности для модели Э = 0, 00873 = 0, 7249, т. е. при увеличении средней выработки на одного работника по отдельному предприятию 1% уровень рентабельности в среднем вырастет на 0, 7%.

Изменение уровня рентабельности производственного предприятия, определяемое средней выработкой на одного работника можно определить также с помощью параболической зависимости. Для определения коэффициентов параболы используются формулы, полученные на основе решения системы уравнений (15).

Данные для расчета коэффициентов приведены в табл. 4

В результате расчетов получено уравнение параболы со следующими коэффициентами:

y = 4, 7893+0, 00156 x+5, 1· 10 ^–6 x² .

Для проверки адекватности моделей, построенных на основе линейного и параболического уравнения регрессии, проверим значимость каждого коэффициента, используя формулы (20-23).

Для коэффициента b₀ линейной модели

 

Для коэффициент b₁ линейной модели

.

Для коэффициента b₀ параболической модели

Для коэффициента b₁ параболической модели

Для коэффициента b₂ параболической модели

 

t_кр = 2, 1 при α = 0, 05; n=n-k-1=20-1-1=18

Из приведенных расчетов видно, что при α = 0, 05 значимыми является коэффициенты линейного уравнения регрессии и параболического, за исключением коэффициента, стоящего перед квадратом факторного признака, что свидетельствует об отсутствии квадратичной зависимости между рассматриваемыми признаками моделируемого экономического процесса.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета
величины средней ошибки аппроксимации .

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ
2. XXIII. ОБРАЗЫ, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОСНОВЕ ВСЕХ НАШИХ ДЕЙСТВИЙ
3. Алюминий и сплавы на его основе.
4. Анализ платежеспособности предприятия на основе показателей ликвидности баланса
5. База правил нечеткой логики. Блок вывода. Нечеткий вывод на основе правила композиции.
6. В 1990 году для участия в программе пилотируемых полётов представителей средств массовой информации был проведён отбор кандидатов в космонавты на конкурсной основе.
7. В задачах (258–266) вычислить, сколько молей веществ, подчеркнутых в уравнениях реакций, прореагировало или образовалось в результате химических превращений, если при этом выделилось 2500 кДж тепла
8. В задачах 392–420 определить электродвижущую силу элементов, написать уравнения реакций, за счет которых возникает разность потенциалов. Составить схемы элементов
9. В настоящее время используется классификация ХНК Н.Д.Стражеско и В.Х.Василенко, в основе которой лежит классификация сердечной недостаточности, предложенная Г.Ф.Лангом.
10. В основе реализации проекта в среде VBA лежит понятие модуля. Модуль – это набор описаний и процедур на языке VBA, собранных в одну программную единицу.
11. В социуме на основе первичных ценностно-моральных представлений о
12. Выше какой температуры не должны нагреваться от воздействия электрического тока строительные конструкции, доступные для прикосновения персонала?