Структура ряда динамики. Проверка ряда на наличие тренда

 

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд - основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);

2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:

1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;

2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

1. Метод средних.

Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина (У, У). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.

2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура).

Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы - изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3. Критерий Кокса и Стюарта.

Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, если количество уровней ряда динамики не делится на три, недостающие уровни нужно добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.

4. Метод серий.

По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае - тип В.

В образовавшейся последовательности типов определяется число серий. Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа.

Так как имеющиеся данные могут иметь различные функции распределения, то целесообразно принимать решение о наличии тренда на основе использования свободных от распределений или непараметрических методов, в которых относительно функции распределения полученных данных не делается никаких предположений. Или же данных настолько мало, что корректно проверить гипотезу о наличии конкретного распределения невозможно. Наиболее известными не зависящих от формы распределе­ния методами, которые применяются для оценки наличия тренда в совокупности данных, являются: критерий серий и критерий инверсий.

 

Критерий серий

 

Рассмотрим последовательность N значений случай­ной величины x(k) и каждое значение отнесем к одной из двух взаимно исключающих категорий, которые обозначим знаками плюс (+) и минус (-). В качестве при­мера рассмотрим последовательность измеренных значений величины x_i при i = 1, 2, 3, ..., N, среднее значение кото­рых равно . Каждое наблюденное значение
x_i ³ обозначим (+), а если x_i < , то (-).

Полученная последователь­ность наблюдений, имеющих знак плюс или минус, может выглядеть следующим образом:

+ + - + + - + + + - + - - + - - + - - -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Серией называется последовательность одинаковых значе­ний, перед которыми или после которых расположены значения другой категории или наблюдения отсутствуют вообще.

В рассмотренном примере имеется r = 12 серий в последовательности из N = 20 наблюдений.

Число серий, которое встречается в последовательности наблюде­ний, позволяет определить, являются ли результаты независимыми случайными наблюдениями над одной и той же случайной величиной. Если после-довательность N наблюдений представляет собой независимые наблюденные значения одной и той же случайной вели­чины, т. е. вероятность знаков (+) и (-) не меняется от одного наблю­дения к другому, то выборочное распределение числа серий в после­довательности есть случайная величина r(k) со средним значением

и дисперсией

где N₁ - число наблюдений со знаком (+), N₂ - число наблю­дений со знаком (-). В частном случае, когда N₁ = N₂ =N/2 , представленные соот­ношения перепишутся в виде

В приложении 1 приведена таблица, содержащая данные о 100a-про-центных точках функции распределения r(k).

Если последовательность значений содержит тренд, то это означает, что вероятность знаков (+) или (-) меняется от одного наблюденного значения к другому. Нали­чие тренда можно проверить следующим образом. Рассмотрим гипотезу об отсутствии тренда, т. е. предположим, что полученные данные представляет собой независимые значения одной и той же случайной величины. Полагая, что число наблюденных значений со знаком (+) равно числу значений со знаком (-), можно считать, что число серий в последовательности будет иметь выборочное распределение, представленное в приложении 1. Гипотезу можно подвергнуть проверке при любом уровне значимости a путем сопоставления фактического числа серий с гра­ничными значениями r_{n; 1-a/2} и r_{n; a/2}, где n=N/2. Если фактическое число серий выходит за границы этого интервала, гипотезу следует отвергнуть при выбранном уровне значимости. В противном случае ее можно принять.

Например, имеется последовательность из N=20 чисел: 5, 5; 5, 1; 5, 7; 5, 2; 4, 8; 5, 7; 5, 0; 6, 5; 5, 4; 5, 8; 6, 8; 6, 6; 4, 9; 5, 4; 5, 9; 5, 4; 6, 8; 5, 8; 6, 9; 5, 5.

Определим, являются ли независимыми наблюденные значения, путем проверки числа серий, которые встречаются, если отсчитывать наблю­денные значения от их медианы. Выполним проверку при уровне значимости a = 0, 05.

Просматривая выборку, можно убедиться, что медианой данного ряда является значение x = 5, 6. Примем, что числа более 5, 6 имеют знак (+), а менее 5, 6 - знак (-). В результате получаем последовательность

- - + - - + - + - + + + - - + - + + + -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Таким образом, имеется 13 серий, представляющих последователь­ность 20 наблюденных значений.

Рассмотрим гипотезу о независимости наблюденных значений. Область принятия этой гипотезы опреде­ляется интервалом [r_{10; 1-a/2} < r £ r_{10; a/2}].
По данным приложения 1 при a = 0, 05 находим r_{10; 1-a/2} = r_{10; 0, 975} = 6 и
r_{10; a/2} = r_{10; 0, 025} = 15. Нулевая гипотеза принимается, так как значение r = 13 входит в интервал между 6 и 15. Другими словами нет причин подвергнуть сомнению то обстоятель­ство, что наблюденные значения независимы. Это значит, что нет никаких доказательств присутствия тренда.

 

Критерий инверсий

 

Рассмотрим последовательность N значений слу­чайной величины x(k). Обозначим эти значения символом x_i, где i == 1, 2, 3, ..., N.

Подсчитаем теперь число случаев, когда x_i > x_j, при i < j. Каждое такое неравенство называется инверсией. Общее число инверсий обозначается символом А, которое формально определяется так.

По ряду значений x₁, x₂ …, x_N определим величину

.

Тогда где

Например,

и т.д.

Для примера рас­смотрим последовательность N = 8 значе­ний: x₁=5, x₂=3, x₃=8, x₄=9, x₅=4, x₆=1, x₇=7, x₈=5. В этой последовательности x₁ > x₂, x₁ > x₅ и
x₁ > x₆, откуда находим А₁ = 3 инверсиям для x₁. Сопоставляя значение x₂ с последующими значениями ряда (т. е. при i = 2 и i < j = 3, 4,..., 8), можно найти, что x₂ > x₆ и только. Поэтому число инверсий для x₂ составляет A₂ = 1. Продол­жая анализ, можно видеть, что A₃ = 4, A₄ = 4, A₅ = 1, A₆ = 0, A₇ = 1. Общее число инверсий составит A = A₁ + A₂ + … + A₇ = 3+1+4+4+1+0+1 = 14.

Если последовательность N наблюдений содержит независимые значения одной и той же случайной величины, то число инверсий есть случайная величина А(k) со средним значением

и дисперсией

В приложении 2 содержатся данные о 100a-процентных точках функции распределения величины А(k).

 

Критерий инверсий вообще говоря, имеет большую мощность, чем критерий серий, при выявлении монотонного тренда в последователь­ности наблюдений. Однако критерий инверсий обладает малой мощностью при выявлении колебательного тренда.

Например, проверим последовательность N = 20 значений, рассмотренных ранее, на наличие тренда при уровне зна­чимости a = 0, 05. Число инверсий в этом случае таково:

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

А11

А12

А13

А14

А15

А16

А17

А18

А19

 

Общее число инверсий А= 62.

Рассмотрим гипотезу о том, что наблюдения представляют неза­висимые значения случайной величины х(k), не содер­жащей тренда. Область принятия гипотезы определяется неравенством A_{20; 1-a/2} < A £ A_{20; a/2}. По данным приложения 2 при a = 0, 05 находим A_{20; 1-a/2}=A_{20; 0, 975} = 64 и A_{20; a/2}=A_{20; 0, 025}= 125.

Следовательно, гипотезу отвергают при 5%-ном уровне значимости, так как значение А = 62 не попадает в интервал между 64 и 125.

Заметим, что гипотеза о независимости этой же последовательности значений при использовании критерия серий была принята. Этот факт иллюстрирует разницу в чувствительности двух методов проверки.

Таблица 11 – Таблица исходных данных и расчетных показателей динамического ряда

(изменения стоимости зернокомбайна «Дон 1500» во времени)

Время T	Цена Р, руб	D баз= Yi-Yo	D цеп= Yi -Yi-1	Кр баз =Yi/Yo	Tр баз= 100*Yi/Yo	Кр цеп= Yi/Yi-1	Tр цеп= 100*Yi/Yi-1	Кпр.баз= Кр.баз-1	Tпр баз= 100*Кр. цеп	Кпр цеп= Кр цеп-1	Тпр цеп= Кпр цеп*100	А цеп= Yi-1/100
1995 1п/г		-	-	0, 66	66, 34			-0, 337	-33, 659			-
1995 2п/г		-95260		0, 75	74, 72	1, 13	112, 63	-0, 25	-25, 28	0, 13	12, 63
1996 1п/г		-25030		0, 93	93, 36	1, 25	124, 94	-0, 07	-6, 64	0, 25	24, 94	2815, 8
1996 2п/г				1, 00	100, 00	1, 07	107, 11	0, 00	0, 00	0, 07	7, 11	3518, 1
1997 1п/г				1, 08	107, 74	1, 08	107, 74	0, 08	7, 74	0, 08	7, 74	3768, 4
1997 2п/г				1, 12	111, 72	1, 04	103, 70	0, 12	11, 72	0, 04	3, 70	4059, 9
1998 1п/г				1, 25	124, 72	1, 12	111, 64	0, 25	24, 72	0, 12	11, 64
1998 2п/г				1, 41	140, 78	1, 13	112, 87	0, 41	40, 78	0, 13	12, 87
1999 1п/г				1, 72	172, 49	1, 23	122, 53	0, 72	72, 49	0, 23	22, 53
1999 2п/г				2, 23	223, 17	1, 29	129, 38	1, 23	123, 17	0, 29	29, 38
2000 1п/г				2, 93	293, 00	1, 31	131, 29	1, 93	193, 00	0, 31	31, 29
2000 2п/г				3, 50	350, 39	1, 20	119, 59	2, 50	250, 39	0, 20	19, 59
2001 1п/г				4, 06	405, 74	1, 16	115, 80	3, 06	305, 74	0, 16	15, 80
2001 2п/г				4, 78	477, 92	1, 18	117, 79	3, 78	377, 92	0, 18	17, 79

3.5. Средние показатели рядов динамики

 

Средние показателирядов динамики являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Различают следующие средние показатели: средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Методы расчета среднего уровня ряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики с равноотстоящими уровнями во времени расчет среднего уровня ряда производиться по формуле средней арифметической простой:

.

Средний уровень ряда для цены зернокомбайна по исходным данным

составляет:

Рср = 10333219/15=688881, 26 руб

Если интервальный ряд динамики имеет не равноотстоящие уровни, то средний уровень ряда вычисляется по формуле

,

где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

Для моментального ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле

,

где n – число уровней ряда.

Средняя хронологическая для неравноотстоящих уровней моментного ряда динамики вычисляется по формуле

.

Определение среднего абсолютного прироста производится по цепным абсолютным приростам по формуле:

или .

Средний абсолютный прирост для цены комбайна «Дон 1500» составляет

85322, 34/14=6094, 5 руб

Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле средней геометрической:

, или

,

где m – число коэффициентов роста.

Среднегодовой темп роста для зернокомбайна составляет:

Среднегодовой темп прироста получим, вычтя из среднего темпа роста 100%.

Среднегодовой темп прироста для зернокомбайна «Дон 1500» составляет 15 %.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Проверка рубежного уровня знаний по вопросам раздела.
2. III. Актуализация знаний. Проверка работы над проектом
3. V. Представление и проверка контрольной работы
4. V. ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ КОМАНД: ИСПОЛНЕНИЕ И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ
5. А.2.1 Проверка огнетушащей способности на защищаемой площади
6. Автокорреляция уровней временного ряда
7. Автоматизированная проверка на коллизии
8. Автоматическая проверка правописания
9. Аналитическое сглаживание временного ряда. Уравнение тренда.
10. Аудиторская проверка организации системы бухгалтерского учета и отчетности и соблюдения принципа непрерывности деятельности
11. Б. Проверка трещиностойкости плиты
12. В каком случае выдача одного наряда на проведение работ на нескольких ВЛ (цепей) не требуется?