Случайная величина с нормальным законом распределения

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

2.4.11. Случайная величина X имеет нормальное распределение, причем M(X)=1, σ (X)=2. Найти плотность распределения вероятностей, построить ее график. Найти функцию распределения и построить ее график.

2.4.12. Найти вероятность того, что случайная величина с нормальным законом распределения, у которой математическое ожидание равно 1, а дисперсия равна 4, примет значение меньше 0, но больше (-5).

2.4.13. Чему равна вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 1, примет значение из интервала (0, 5; 3, 5)?

2.4.14. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 40 и дисперсией D = 200. Вычислить вероятность попадания в интервал (30; 80).

2.4.15. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 15 и дисперсией D = 4.

Найти:

а) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (9; 19);

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-a окажется меньше δ = 3.

2.4.16. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайная ошибка измерения X подчинена нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 мкм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мкм.

2.4.17. Измеряемая случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с а=10, σ = 5. Найти симметричный относительно а интервал, в который с вероятностью p попадет измеряемое значение, если: 1) p₁ =0, 9974; 2) p₂ = 0, 9544; 3) p₃ =0, 50.

2.4.18. В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и 40% значений x больше 16, 2. Найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение.

2.4.19. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, причем a=1. Известно, что P(X< 2)=0, 99. Вычислить M(X²).

2.4.20. Деталь, изготовляемая автоматом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Считая, что σ = 5 и X нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.

Контрольная работа по теме «Случайные величины»

Вариант I

1. Дан ряд распределения случайной величины X. Найти: а) M(X), D(X), σ (X), M(3X-2); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.

X	-5	-3
p	0, 2	0, 3	0, 4	0, 1

2. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0, 9; второй – 0, 8; третьей – 0, 7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию) f(x); б) построить графики F(x) и f(x); в) вычислить математическое ожидание M(X), моду M₀(X) и медиану Me(X); г) найти P(1< X< 3).

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

Найти: а) параметр А;

б) функцию распределения F(x).

5. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0, 2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции не выше 15, 3 ден. ед.

Вариант II

1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ (X), M(2X+3); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.

X
p	0, 2	0, 1	0, 4	0, 3

2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают в срок кредиты с вероятностью 0, 1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из трех выданных. Найти M(X), D(X) и σ (X).

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

Найти: а) параметр B;

б) функцию распределения F(x).

5. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием 1000 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 900 до 1300 г.

Вариант III

1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ (X), M(2X+5); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.

X	-4	-2
p	0, 2	0, 3	0, 4	0, 1

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0, 1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти M(X), D(X), σ (X) этой случайной величины.

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

Найти: а) параметр C;

б) функцию распределения F(x).

5. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г и среднее квадратическое отклонение – 24, 4 г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение. Каков процент коробок, масса которых более 550 г?

Вариант IV

1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ (X), M(5X-4); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.

X
p	0, 3	0, 1	0, 4	0, 2

2. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти M(X), D(X) этой случайной величины.

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

Найти: а) параметр А;

б) функцию распределения F(x).

5. Средний рост женщин некоторого национального округа равен 167, 3 см со средним квадратическим отклонением 5, 6 см. Каков общий процент женщин ростом от 165 до 170 см, если рост имеет нормальное распределение?

ОТВЕТЫ К РАЗДЕЛУ 1

№ задачи	Ответ
1.1.1.	а) 0, 6; б) 0, 15.
1.1.2.	0, 3
1.1.3.	а) 0, 35; б) 0, 4; в) 0, 45; г) 0, 45; д) 0, 55
1.1.4.	а) 0, 5; б) 1/3; в) 2/3
1.1.5.	а) 0, 95; б) 0, 931
1.1.6.
1.1.7.
1.1.8.
1.1.9.
1.1.10.
1.1.11.
1.1.12.	а) 0, 6; б) 0, 3; в) 0, 9
1.1.13.	а) ; б)
1.1.14.	а) ; б) ; в) ; г)
1.1.15.
1.1.16.
1.1.17.
1.1.18.
1.1.19.	а) 0, 188; б)
1.1.20.	а) 0, 579; б) 0, 997
1.1.21.	а) 0, 184; б) 0, 137
1.1.22.	а) 0, 348; б) 0, 984
1.1.23.	а) 0, 049; б)
1.1.24.	0, 6
1.1.25.	а) 0, 282; б) 0, 27
1.1.26.	0, 904
1.1.27.	Одинаково, т.к., если пойдет 1-й, то вероятность взять билет, который он знает 30/40 =3/4; если пойдет 2-м, билетов осталось 39 и вероятность ответить на билет
1.1.28.	11/36
1.1.29.	91/216
1.1.30.	0, 765
1.1.31.	0, 405
1.1.32.	0, 644
1.1.33.	0, 932
1.1.34.	0, 727
1.1.35.	0, 922
1.1.36.	0, 88
1.1.37.	0, 985
1.1.38.	а) 0, 51; б) 0, 94; в) 0, 34
1.1.39.	а) 0, 741; б) 0, 241; в) 8/9 ≈ 0, 889
1.1.40.	а) 0, 54; б) 0, 995
1.1.41.	а) 0, 46; б) 0, 7
1.1.42.	а) 0, 018; б) 0, 044; в) 0, 648; г) 0, 954; д) 0, 998
1.1.43.	а) 0, 612; б) 0, 003
1.1.44.	0, 316
1.1.45.	0, 788
1.1.46.	а) 0, 032; б) 0, 316
1.1.47.	а) 0, 0105; б) 0, 4265; в) 0, 558
1.1.48.	Вероятность, что найдет, – 0, 657; вероятность, что не найдет, – 0, 343.
1.1.49.	Один автомобиль – 0, 092; два автомобиля – 0, 398; три автомобиля – 0, 504; ноль автомобилей – 0, 006
1.1.50.	0, 5
1.1.51.	0, 6
1.1.52.	0, 288
1.2.1.	0, 87
1.2.2.	0, 15
1.2.3.
1.2.4.	0, 667
1.2.5.	0, 571
1.2.6.	0, 76
1.2.7.	0, 0031
1.2.8.	2/3
1.2.9.	0, 7565
1.2.10.	Ко второму (0, 367; 0, 413; 0, 22)
1.2.11.	К третьей (0, 31; 0, 319; 0, 372)
1.2.12.	0, 322
1.2.13.	а) 0, 03; б) 0, 167
1.2.14.	а) 0, 1725; б) 0, 2875; 0, 317
1.3.1.	а) 0, 1866; б) 0, 5109; в) 0, 9533
1.3.2.	а) 0, 1652; б) ≈ 0, 0046
1.3.3.	Одну из двух
1.3.4.	21/32
1.3.5.	0, 5584
1.3.6.	а) 0, 430; б) ≈ 0, 149
1.3.7.	а) 0, 6554; б) ≈ 0, 7379
1.3.8.	а) 0, 945; б) 0, 172
1.3.9.	а) 0, 648; б) 0, 72
1.3.10.	P₃(0)=0, 630; P₃(1)=0, 315; P₃(2)=0, 052; P₃(3)=0, 003
1.3.11.	≈ 0, 03
1.3.12.	0, 06520
1.3.13.	0, 09
1.3.14.	0, 264
1.3.15.	а) 0, 0072; б) 0, 9992
1.3.16.	0, 95021
1.3.17.	0, 009
1.3.18.	0, 056
1.3.19.	10 из 80
1.3.20.	0, 0085
1.3.21.	0, 972
1.3.22.	0, 8753
1.3.23.	≈ 0, 9675
1.3.24.	≈ 0, 14
1.3.25.	0, 8536
1.3.26.	0, 894

ОТВЕТЫ К РАЗДЕЛУ 2

№ задачи

Ответ

2.1.1.

X
p	0, 001	0, 005	0, 01	0, 025	0, 959

2.1.2.

X
p	0, 1	0, 09	0, 081	0, 0729	0, 6561

2.1.3.

X
p	0, 047	0, 187	0, 311	0, 276	0, 138	0, 037	0, 0041

2.1.4.

X
p	14/30	7/15	1/15

2.1.5.

X
p	9/16	6/16	1/16

2.1.6.

M(X)=0, 2 D(X)=1, 56 σ (X)=1, 25

2.1.7.

D(X)=67, 6404

2.1.8.

X
P	0, 025	0, 3	0, 675

M(X)=1, 65 D(X)=0, 2775 σ (X)=0, 527

2.1.9.

X
p	0, 8	0, 16	0, 04

M(X)=1, 24 D(X)=0, 26

2.1.10.

M(X)=2, 2; D(X)=0, 94; σ (X)=0, 97

2.1.11.

x₁=2; x₂= 3

2.1.12.

или

2.1.13.

2.1.14.

Z=3X-2Y	-6	-4	-3	-1
P	0, 12	0, 08	0, 30	0, 20	0, 18	0, 12

M(X)=1, 4; M(Y)=2, 6; M(Z)=-1, 0 D(X)=1, 24; D(Y)=0, 24; D(Z)=12, 12

2.1.15.

Z=2X
P	0, 2	0, 3	0, 5

U=X+Y
P	0, 04	0, 12	0, 09	0, 2	0, 3	0, 25

M(X)=M(Y)=2, 8; M(Z)=M(2X)=5, 6; M(U)=M(X+Y)=5, 6

X ²
P	0, 2	0, 3	0, 5

U=XY
P	0, 04	0, 12	0, 29	0, 3	0, 25

M(X)=M(Y)=2, 8; M(U)=M(XY)=7, 84=2, 8²

2.1.16.

M(Z)=11

2.1.17.

D(Z)=69

2.1.18.

D(X)=0, 495

2.1.19.

p₁=0, 3; p₂=0, 7

2.1.20.

Z=X-Y
P	1/6	1/3	1/3	1/6

2.1.21.

Z=XY
P	0, 28	0, 42	0, 12	0, 18

X (тыс. рублей)

2.1.22.

X
P	0, 0025	0, 095	0, 9025

2.2.1.

0, 25

2.2.2.

2.2.3.

p(0< X< π /4)=

2.2.4.

2.2.5.

; б)

; в) 0; г) 1

2.2.6.

1/4

2.2.7.

M(X)=3/4; D(X)=3/80; σ (X)=

2.2.8.

M(X)=π -(1/2); D(X)=(π -3)/4; σ (X)=

2.2.9.

A=3;

2.2.10.

C=3/4; M(X)=11/16; D(X)=67/1280; σ (X)≈ 0, 227

2.2.11.

D(X)=0, 5c²

2.2.12.

D(X)=0, 25(π ²-8)

2.3.1.

2.3.3.

2.3.4.

2.3.5.

a=3/2;

2.3.6.

б) M(X)=0, 6667; D(X)=0, 0556; в) P(X=0, 5)=0; P(X< 0, 5)=0, 25; P(0, 5≤ X≤ 1)=0, 75; д) M₀(X)=1; Me(X)=0, 707; e) x_{0, 4}=0, 632; x₀_{, 8}=0, 894; ж) A=-0, 556; E=

2.3.7.

г) P(X=1)=0; P(X< 1)=0, 25; P(1≤ X≤ 2)=0, 75; д) M(X)=4/3; D(X)=2/9; M₀(X)=2; Me(X)=

2.3.8.

A=-0, 566; E=-0, 6

2.3.9.

A=0, 6; E=-0, 8

2.3.10.

A=0; E=-0, 6

2.3.11.

λ =1/2; E=3

2.4.1.

X
P	0, 1296	0, 3456	0, 3456	0, 1536	0, 0256

M(X)=1, 6; D(X)=0, 96 σ (X)=0, 98

2.4.2.

M(X)=1, 9; D(X)=1, 71; M₀(X)₁=1; M₀(X)₂=2; σ (X)≈ 1, 31

2.4.3.

X
P	0, 3⁵					0, 7⁵

M(X)=3, 5; D(X)=1, 35

2.4.4.

D(X)=0, 48

2.4.5.

M(X)=λ =2; D(X)=λ =2; P(X≥ 1)=0, 865

2.4.6.

M(X)=1 мин; σ (X)=

2.4.7.

a) M(X)=0, 1; D(X)=0, 00333; σ (X)=0, 0577; б) p(X< 0, 04)=0, 7; p(X> 0, 05)=0, 25

2.4.8.

2.4.9.

2.4.10.

2.4.11.

2.4.12.

0, 30619

2.4.13.

0, 685

2.4.14.

0, 758

2.4.15.

0, 97585; 0, 8664

2.4.16.

0, 8664

2.4.17.

1) (-5; 25); 2) (0; 20); 3) (6, 625; 13, 375)

2.4.18.

а=15, 39; σ =3, 26

2.4.19.

M(X ²)=1, 1849

2.4.20.

95%

Приложение 1

Распределение Пуассона

l k	0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5
	0, 90484	0, 81873	0, 74082	0, 67032	0, 60653
	0, 09048	0, 16375	0, 22223	0, 26813	0, 30327
	0, 00452	0, 01638	0, 03334	0, 05363	0, 07582
	0, 00015	0, 00109	0, 00333	0, 00715	0, 01204
		0, 00006	0, 00025	0, 00072	0, 00158
			0, 00002	0, 00006	0, 00016
					0, 00001
l k	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9
	0, 54881	0, 49659	0, 44933	0, 40657
	0, 32929	0, 34761	0, 35946	0, 36591
	0, 09879	0, 12166	0, 14379	0, 16466
	0, 01976	0, 02839	0, 03834	0, 04940
	0, 00296	0, 00497	0, 00767	0, 01112
	0, 00036	0, 00070	0, 00123	0, 00200
	0, 00004	0, 00008	0, 00016	0, 00030
		0, 00001	0, 00002	0, 00004
l k	1, 0	2, 0	3, 0	4, 0	5, 0
	0, 36788	0, 13534	0, 04979	0, 01832	0, 00674
	0, 36788	0, 27067	0, 14936	0, 07326	0, 03369
	0, 18394	0, 27067	0, 22404	0, 14653	0, 08422
	0, 06131	0, 18045	0, 22404	0, 19537	0, 14037
	0, 01533	0, 09022	0, 16803	0, 19537	0, 17547
	0, 00307	0, 03609	0, 10082	0, 15629	0, 17547
	0, 00051	0, 01203	0, 05041	0, 10419	0, 14622
	0, 00007	0, 00344	0, 02160	0, 05954	0, 10445
	0, 00001	0, 00086	0, 00810	0, 02977	0, 06528
		0, 00019	0, 00270	0, 01323	0, 03627
		0, 00004	0, 00081	0, 00529	0, 01813
		0, 00001	0, 00022	0, 00193	0, 00824
			0, 00006	0, 00064	0, 00343
			0, 00001	0, 00020	0, 00132
				0, 00006	0, 00047
				0, 00002	0, 00016
					0, 00005
					0, 00001

Приложение 2

Таблица значений функции


0, 0	0, 3989
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
0, 7
0, 8
0, 9

1, 0	0, 2420
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
1, 7
1, 8
1, 9

2, 0	0, 0540
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
2, 7
2, 8
2, 9

3, 0	0, 0044
3, 1
3, 2
3, 3
3, 4
3, 5
3, 6
3, 7
3, 8
3, 9

Приложение 3

Таблица значений функции

x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)
0, 00	0, 0000	0, 44	0, 1700	0, 88	0, 3106	1, 32	0, 4066	1, 76	0, 4608
0, 01		0, 45		0, 89		1, 33		1, 77
0, 02		0, 46		0, 90		1, 34		1, 78
0, 03		0, 47		0, 91		1, 35		1, 79
0, 04		0, 48		0, 92		1, 36		1, 80
0, 05		0, 49		0, 93		1, 37		1, 81
0, 06		0, 50		0, 94		1, 38		1, 82
0, 07		0, 51		0, 95		1, 39		1, 83
0, 08		0, 52		0, 96		1, 40		1, 84
0, 09		0, 53		0, 97		1, 41		1, 85
0, 10		0, 54		0, 98		1, 42		1, 86
0, 11		0, 55		0, 99		1, 43		1, 87
0, 12		0, 56		1, 00		1, 44		1, 88
0, 13		0, 57		1, 01		1, 45		1, 89
0, 14		0, 58		1, 02		1, 46		1, 90
0, 15		0, 59		1, 03		1, 47		1, 91
0, 16		0, 60		1, 04		1, 48		1, 92
0, 17		0, 61		1, 05		1, 49		1, 93
0, 18		0, 62		1, 06		1, 50		1, 94
0, 19		0, 63		1, 07		1, 51		1, 95
0, 20		0, 64		1, 08		1, 52		1, 96
0, 21		0, 65		1, 09		1, 53		1, 97
0, 22		0, 66		1, 10		1, 54		1, 98
0, 23		0, 67		1, 11		1, 55		1, 99
0, 24		0, 68		1, 12		1, 56		2, 00
0, 25		0, 69		1, 13		1, 57		2, 01
0, 26		0, 70		1, 14		1, 58		2, 04
0, 27		0, 71		1, 15		1, 59		2, 06
0, 28		0, 72		1, 16		1, 60		2, 08
0, 29		0, 73		1, 17		1, 61		2, 10
0, 30		0, 74		1, 18		1, 62		2, 12
0, 31		0, 75		1, 19		1, 63		2, 14
0, 32		0, 76		1, 20		1, 64		2, 16
0, 33		0, 77		1, 21		1, 65		2, 18
0, 34		0, 78		1, 22		1, 66		2, 20
0, 35		0, 79		1, 23		1, 67		2, 22
0, 36		0, 80		1, 24		1, 68		2, 24
0, 37		0, 81		1, 25		1, 69		2, 2
0, 38		0, 82		1, 26		1, 70		2, 28
0, 39		0, 83		1, 27		1, 71		2, 30
0, 40		0, 84		1, 28		1, 72		2, 32
0, 41		0, 85		1, 29		1, 73		2, 34
0, 42		0, 86		1, 30		1, 74		2, 36
0, 43		0, 87		1, 31		1, 75		2, 38

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56