Формула полной вероятности. Формула Байеса

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

1.2.1. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% – из первого и 30% – из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка окажется без дефектов.

1.2.2. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 90% случаев работы прибора, ненормальный – в 10%. Вероятность выхода прибора из строя за время T в нормальном режиме равна 0, 1; в ненормальном – 0, 6. Найти вероятность выхода прибора из строя за время T.

1.2.3. Число пассажирских пароходов, проплывающих по реке мимо навигационного знака, относится к числу грузовых пароходов как 2: 5. Вероятность того, что знак будет сбит пассажирским пароходом, равна 0, 01; а грузовым пароходом – 0, 03. Найти вероятность того, что знак не будет сбит проходящим пароходом.

1.2.4. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0, 6; а для второго – 0, 3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.

1.2.5. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй – 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную работу, написана студентом первой группы.

1.2.6. Известно, что 20% всех приборов собирает специалист высокой квалификации, а 80% – средней квалификации. Надежность прибора, собранного специалистом высокой квалификации, равна 0, 9; надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, равна 0, 7. Взятый прибор оказался надежным. Найти вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

1.2.7. На сборку попадают детали с 3-х автоматов. Известно, что первый автомат дает 0, 3% брака, второй – 0, 2%, третий – 0, 4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

1.2.8. Студент, явившийся на экзамен последним, берет наугад один из оставшихся шести билетов. Вероятности того, что он получит положительную оценку, отвечая на каждый из этих билетов, следующие: 0, 5; 0, 5; 0, 6; 0, 7; 0, 8; 0, 9. Какова вероятность того, что студент получит положительную оценку?

1.2.9. Электролампы изготавливаются на 3-х заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

1.2.10. Для сигнализации о том, что режим автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0, 2; 0, 3 и 0, 5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1, 0; 0, 75 и 0, 4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит индикатор?

1.2.11. Для участия в отборочных соревнованиях выделено 5 студентов из первой группы, 4 – из второй, 6 – из третьей группы. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную команду, соответственно равны 0, 7; 0, 9 и 0, 7. Выбранный наудачу студент в итоге соревнования попал в сборную. Определить, к какой из групп вероятнее всего принадлежит этот студент.

1.2.12. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, третьей 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2% и для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

1.2.13. Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний риск, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго, 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса равна 0, 01; второго – 0, 03; третьего – 0, 08. Какова вероятность того, что:

а) застрахованный клиент получит денежное вознаграждение за период страхования;

б) застрахованный клиент, получивший денежное вознаграждение, относится к группе малого риска?

1.2.14. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5: 8: 7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что:

а) приобретенное изделие окажется нестандартным;

б) приобретенное изделие оказалось стандартным.

Какова вероятность того, что стандартное изделие изготовлено третьей фирмой?

Повторные независимые испытания

Формула Бернулли

1.3.1. Производится 6 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 4. Найти вероятность того, что произойдет:

а) одно попадание в цель;

б) не менее 4-х попаданий;

в) хотя бы одно попадание.

1.3.2. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов:

а) выиграет по 2-м билетам;

б) не выиграет по двум билетам?

1.3.3. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: одну партию из двух или две из четырех?

1.3.4. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не больше 3-х раз?

1.3.5. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0, 8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 10 автомашин.

1.3.6. Отмечено, что в городе А в среднем 10% заключенных браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из 8 случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года:

а) ни одна пара не разведется;

б) разведутся 2 пары?

1.3.7. В течение гарантийного срока 20% телевизоров требуют ремонта. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров:

а) не более одного потребует ремонта;

б) хотя бы один потребует ремонта.

1.3.8. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:

а) не менее 3-х мальчиков;

б) не более 3-х мальчиков.

1.3.9. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна 0, 6. Производится по одному выстрелу одновременно из 3-х орудий. Цель поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность:

а) поражения цели;

б) промаха одним или двумя орудиями.

1.3.10. Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7; из 28 студентов группы наудачу вызывают троих студентов. Определить вероятность всех возможных значений числа отличников, которые могут оказаться среди вызванных трех студентов.

Формула Пуассона

Если число испытаний n велико, а вероятность p наступления события A в каждом испытании достаточно мала (p< 0, 1), причем их произведение np=λ незначительно ( λ =np≤ 10), то вероятность P_n(k) можно приближенно найти по формуле Пуассона

Замечание. Значения функции Пуассона находятся по таблице (см. Приложение 1).

1.3.11. На потоке обучаются 1460 студентов. Какова вероятность того, что 1 мая – день рождения 8 студентов вуза?

1.3.12. Вероятность того, что пассажир опоздает на поезд, равна 0, 01. Найти вероятность того, что опоздает 8 пассажиров из 500.

1.3.13. АТС в среднем за час получает 300 вызовов. Найти вероятность того, что за данную минуту она получит точно 2 вызова.

1.3.14. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0, 001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее 2-х элементов?

1.3.15. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет укомплектован неверно, равна 0, 0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:

а) 3 ошибочно укомплектованных пакета;

б) не более 3-х пакетов.

1.3.16. Вероятность допустить ошибку при наборе текста из 1200 знаков, равна 0, 004. Найти вероятность того, что при наборе будет допущена хотя бы одна ошибка.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒