Раздел 1. Вероятность случайных событий

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………..	……………4
Раздел 1. Вероятность случайных событий…………………….	……………5
1.1.	Классическое определение вероятности. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий……………………………………………	……………5
1.2.	Формула полной вероятности. Формула Байеса...	……………10
1.3.	Повторные независимые испытания……………..	……………12
	Формула Бернулли....................................................	……………12
	Формула Пуассона………………………………...	……………13
	Локальная формула Муавра-Лапласа…………....	……………13
	Интегральная формула Муавра-Лапласа………..	……………14
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Случайные события»...	……………15
Раздел 2.	Случайные величины……………………………..	……………17
2.1.	Дискретная случайная величина………………....	……………17
2.2.	Непрерывная случайная величина……………….	……………19
2.3.	Начальные и центральные моменты……………..	……………21
2.4.	Основные законы распределения………………...	……………23
	Биномиальный закон. Распределение Пуассона…	……………23
	Равномерное распределение………………………	……………24
	Случайная величина с нормальным законом распределения…………………………………….	……………24
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Случайные величины»...	……………26
ОТВЕТЫ к разделу 1…………………………………………….	……………30
ОТВЕТЫ к разделу 2……………………………………………..	……………31
ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………..	……………36

ВВЕДЕНИЕ

Базовый курс математики, изучаемый в высших учебных заведениях, традиционно разделялся на высшую математику, включающую разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, векторный анализ, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов и дифференциальных уравнений, и специальные курсы, к числу которых относится и теория вероятностей. Сборники задач также в большинстве случаев подчиняются этому делению. Однако, в последнее время в связи с сокращением часов на изучение математики, теория вероятностей не выделяется в самостоятельный курс и включается в дисциплину «математика» в виде отдельных элементов. В этой связи сборники задач по теории вероятностей, содержащие задачи, рассчитанные на широкое и достаточно глубокое изучение курса, не вполне соответствуют успешному усвоению отдельных его элементов (содержат небольшое число типичных задач).

Заметим, что изучение теории вероятностей обязательно должно сопровождаться решением задач. Только при этом условии вырабатывается теоретико-вероятностная интуиция специалиста, умение строить математические модели реальных процессов. Типичные задачи, как правило, разбираются в лекционных курсах, образцы решений приводятся в учебниках. Однако, известно, что «не возможно научиться решать задачи, если только смотреть, как это делают другие». Для того чтобы студенты могли не только познакомиться с основными типами задач и методами их решения, но и самостоятельно применять знания, необходима практика в решении задач.

В настоящем сборнике представлены задачи по разделам теории вероятностей в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов для инженерных и экономических специальностей. Задачи подобраны и скомплектованы таким образом, чтобы студенты могли освоить методы решений заданий разного типа. Объем материала достаточен для формирования навыка решения вероятностных задач и умения анализировать распределения случайных величин.

По разделам «Случайные события и их вероятности» и «Случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики» в сборнике приводятся варианты контрольных работ. Для большинства задач, включенных в сборник, указаны ответы. Все это позволяет использовать пособие для подготовки к контрольным работам и к практической части экзамена или зачета по разделам теории вероятностей.

Раздел 1. Вероятность случайных событий

Классическое определение вероятности.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

1.2.1. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% – из первого и 30% – из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка окажется без дефектов.

1.2.2. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 90% случаев работы прибора, ненормальный – в 10%. Вероятность выхода прибора из строя за время T в нормальном режиме равна 0, 1; в ненормальном – 0, 6. Найти вероятность выхода прибора из строя за время T.

1.2.3. Число пассажирских пароходов, проплывающих по реке мимо навигационного знака, относится к числу грузовых пароходов как 2: 5. Вероятность того, что знак будет сбит пассажирским пароходом, равна 0, 01; а грузовым пароходом – 0, 03. Найти вероятность того, что знак не будет сбит проходящим пароходом.

1.2.4. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0, 6; а для второго – 0, 3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.

1.2.5. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй – 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную работу, написана студентом первой группы.

1.2.6. Известно, что 20% всех приборов собирает специалист высокой квалификации, а 80% – средней квалификации. Надежность прибора, собранного специалистом высокой квалификации, равна 0, 9; надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, равна 0, 7. Взятый прибор оказался надежным. Найти вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

1.2.7. На сборку попадают детали с 3-х автоматов. Известно, что первый автомат дает 0, 3% брака, второй – 0, 2%, третий – 0, 4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

1.2.8. Студент, явившийся на экзамен последним, берет наугад один из оставшихся шести билетов. Вероятности того, что он получит положительную оценку, отвечая на каждый из этих билетов, следующие: 0, 5; 0, 5; 0, 6; 0, 7; 0, 8; 0, 9. Какова вероятность того, что студент получит положительную оценку?

1.2.9. Электролампы изготавливаются на 3-х заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

1.2.10. Для сигнализации о том, что режим автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0, 2; 0, 3 и 0, 5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1, 0; 0, 75 и 0, 4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит индикатор?

1.2.11. Для участия в отборочных соревнованиях выделено 5 студентов из первой группы, 4 – из второй, 6 – из третьей группы. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную команду, соответственно равны 0, 7; 0, 9 и 0, 7. Выбранный наудачу студент в итоге соревнования попал в сборную. Определить, к какой из групп вероятнее всего принадлежит этот студент.

1.2.12. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, третьей 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2% и для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

1.2.13. Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний риск, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго, 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса равна 0, 01; второго – 0, 03; третьего – 0, 08. Какова вероятность того, что:

а) застрахованный клиент получит денежное вознаграждение за период страхования;

б) застрахованный клиент, получивший денежное вознаграждение, относится к группе малого риска?

1.2.14. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5: 8: 7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что:

а) приобретенное изделие окажется нестандартным;

б) приобретенное изделие оказалось стандартным.

Какова вероятность того, что стандартное изделие изготовлено третьей фирмой?

Повторные независимые испытания

Формула Бернулли

1.3.1. Производится 6 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 4. Найти вероятность того, что произойдет:

а) одно попадание в цель;

б) не менее 4-х попаданий;

в) хотя бы одно попадание.

1.3.2. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов:

а) выиграет по 2-м билетам;

б) не выиграет по двум билетам?

1.3.3. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: одну партию из двух или две из четырех?

1.3.4. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не больше 3-х раз?

1.3.5. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0, 8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 10 автомашин.

1.3.6. Отмечено, что в городе А в среднем 10% заключенных браков в течение года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из 8 случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года:

а) ни одна пара не разведется;

б) разведутся 2 пары?

1.3.7. В течение гарантийного срока 20% телевизоров требуют ремонта. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров:

а) не более одного потребует ремонта;

б) хотя бы один потребует ремонта.

1.3.8. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:

а) не менее 3-х мальчиков;

б) не более 3-х мальчиков.

1.3.9. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна 0, 6. Производится по одному выстрелу одновременно из 3-х орудий. Цель поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность:

а) поражения цели;

б) промаха одним или двумя орудиями.

1.3.10. Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7; из 28 студентов группы наудачу вызывают троих студентов. Определить вероятность всех возможных значений числа отличников, которые могут оказаться среди вызванных трех студентов.

Формула Пуассона

Если число испытаний n велико, а вероятность p наступления события A в каждом испытании достаточно мала (p< 0, 1), причем их произведение np=λ незначительно ( λ =np≤ 10), то вероятность P_n(k) можно приближенно найти по формуле Пуассона

Замечание. Значения функции Пуассона находятся по таблице (см. Приложение 1).

1.3.11. На потоке обучаются 1460 студентов. Какова вероятность того, что 1 мая – день рождения 8 студентов вуза?

1.3.12. Вероятность того, что пассажир опоздает на поезд, равна 0, 01. Найти вероятность того, что опоздает 8 пассажиров из 500.

1.3.13. АТС в среднем за час получает 300 вызовов. Найти вероятность того, что за данную минуту она получит точно 2 вызова.

1.3.14. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0, 001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее 2-х элементов?

1.3.15. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет укомплектован неверно, равна 0, 0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:

а) 3 ошибочно укомплектованных пакета;

б) не более 3-х пакетов.

1.3.16. Вероятность допустить ошибку при наборе текста из 1200 знаков, равна 0, 004. Найти вероятность того, что при наборе будет допущена хотя бы одна ошибка.

Вариант I

1. В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат:

а) двое мужчин и одна женщина;

б) только женщины;

в) хотя бы один мужчина.

2. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст экзамен на «отлично» равна для первого студента 0, 7; для второго – 0, 6; для третьего – 0, 2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»:

а) только одним студентом;

б) двумя студентами;

в) хотя бы одним студентом;

г) ни одним студентом?

3. Перед посевом 95% семян обрабатывается специальным раствором. Всхожесть семян после обработки составляет 99%, необработанных – 85%. Случайно выбранное семя проросло. Какова вероятность того, что оно обработанное?

4. Вероятность выигрыша по облигациям займа равна 0, 25. Найти вероятность того, что из 5-ти взятых облигаций выиграют более 3-х облигаций.

Вариант II

1. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3 изделия. Определить вероятность того, что:

а) одно из них повышенного качества;

б) все три повышенного качества;

в) хотя бы одно изделие повышенного качества.

2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0, 9; второй – 0, 8; третий – 0, 7. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:

а) только один экзамен;

б) только второй экзамен;

в) три экзамена;

г) по крайней мере два экзамена;

д) хотя бы один экзамен.

3. В группе 70% юношей, остальные – девушки. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовые телефоны. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал:

а) юноше;

б) девушке?

4. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0, 9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей окажется не более одной нестандартной?

Вариант III

1. Из 40 деталей в ящике 5 бракованных деталей. Какова вероятность того, что взятые одновременно две детали окажутся:

а) небракованные;

б) одна – бракованная, другая – небракованная.

2. На предприятии имеются три автомобиля. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0, 9; второго – 0, 7; третьего – 0, 8. Найти вероятность того, что в течение определенного времени безотказно работают:

а) только 1 автомобиль;

б) хотя бы 2 автомобиля;

в) три автомобиля.

3. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Второе предприятие выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0, 1; вторым – 0, 15.

а) Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется нестандартным?

б) Взятое наудачу изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность того, что оно выпущено на втором предприятии?

4. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше 3-х девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Вариант IV

1. В группе 25 студентов, из них 10 – юношей и 15 – девушек. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу трех студентов окажутся:

а) три девушки;

б) две девушки;

в) хотя бы одна девушка?

2. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии равна 0, 2; на втором – 0, 35; на третьем – 0, 15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды:

а) на всех предприятиях;

б) только на одном предприятии;

в) хотя бы на одном предприятии.

3. Первая бригада производит 75% всей продукции, изготовленной обеими бригадами. Вероятность того, что производимая продукция первой бригады окажется стандартной, равна 70%, для второй бригады – 80%.

а) Какова вероятность того, что взятая наудачу единица продукции окажется стандартной?

б) Какова вероятность того, что стандартная единица продукции произведена второй бригадой?

4. Производится 5 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 4. Найти вероятность того, что произойдет не менее 4-х попаданий.

Равномерное распределение

2.4.6. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.

2.4.7. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0, 2. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти:

а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение этой случайной величины;

б) вероятность того, что ошибка округления: 1) меньше 0, 04;

2) больше 0, 05.

2.4.8. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности в интервале (a; b), вне этого интервала .

Найти:

а) функцию распределения;

б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение;

в) построить графики f(x) и F(x).

2.4.9. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X – в интервале (a; b); Y – в интервале (c; d). Найти математическое ожидание и дисперсию произведения X∙ Y.

2.4.10. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (a; b). Найти функцию распределения и построить ее график.

Вариант I

1. Дан ряд распределения случайной величины X. Найти: а) M(X), D(X), σ (X), M(3X-2); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.

X	-5	-3
p	0, 2	0, 3	0, 4	0, 1

2. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0, 9; второй – 0, 8; третьей – 0, 7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию) f(x); б) построить графики F(x) и f(x); в) вычислить математическое ожидание M(X), моду M₀(X) и медиану Me(X); г) найти P(1< X< 3).

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

Найти: а) параметр А;

б) функцию распределения F(x).

5. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0, 2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции не выше 15, 3 ден. ед.

Вариант II

1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ (X), M(2X+3); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.

X
p	0, 2	0, 1	0, 4	0, 3

2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают в срок кредиты с вероятностью 0, 1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из трех выданных. Найти M(X), D(X) и σ (X).

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

Найти: а) параметр B;

б) функцию распределения F(x).

5. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием 1000 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 900 до 1300 г.

Вариант III

1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ (X), M(2X+5); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.

X	-4	-2
p	0, 2	0, 3	0, 4	0, 1

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0, 1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти M(X), D(X), σ (X) этой случайной величины.

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

Найти: а) параметр C;

б) функцию распределения F(x).

5. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г и среднее квадратическое отклонение – 24, 4 г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение. Каков процент коробок, масса которых более 550 г?

Вариант IV

1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ (X), M(5X-4); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.

X
p	0, 3	0, 1	0, 4	0, 2

2. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти M(X), D(X) этой случайной величины.

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

Найти: а) параметр А;

б) функцию распределения F(x).

5. Средний рост женщин некоторого национального округа равен 167, 3 см со средним квадратическим отклонением 5, 6 см. Каков общий процент женщин ростом от 165 до 170 см, если рост имеет нормальное распределение?

ОТВЕТЫ К РАЗДЕЛУ 1

№ задачи	Ответ
1.1.1.	а) 0, 6; б) 0, 15.
1.1.2.	0, 3
1.1.3.	а) 0, 35; б) 0, 4; в) 0, 45; г) 0, 45; д) 0, 55
1.1.4.	а) 0, 5; б) 1/3; в) 2/3
1.1.5.	а) 0, 95; б) 0, 931
1.1.6.
1.1.7.
1.1.8.
1.1.9.
1.1.10.
1.1.11.
1.1.12.	а) 0, 6; б) 0, 3; в) 0, 9
1.1.13.	а) ; б)
1.1.14.	а) ; б) ; в) ; г)
1.1.15.
1.1.16.
1.1.17.
1.1.18.
1.1.19.	а) 0, 188; б)
1.1.20.	а) 0, 579; б) 0, 997
1.1.21.	а) 0, 184; б) 0, 137
1.1.22.	а) 0, 348; б) 0, 984
1.1.23.	а) 0, 049; б)
1.1.24.	0, 6
1.1.25.	а) 0, 282; б) 0, 27
1.1.26.	0, 904
1.1.27.	Одинаково, т.к., если пойдет 1-й, то вероятность взять билет, который он знает 30/40 =3/4; если пойдет 2-м, билетов осталось 39 и вероятность ответить на билет
1.1.28.	11/36
1.1.29.	91/216
1.1.30.	0, 765
1.1.31.	0, 405
1.1.32.	0, 644
1.1.33.	0, 932
1.1.34.	0, 727
1.1.35.	0, 922
1.1.36.	0, 88
1.1.37.	0, 985
1.1.38.	а) 0, 51; б) 0, 94; в) 0, 34
1.1.39.	а) 0, 741; б) 0, 241; в) 8/9 ≈ 0, 889
1.1.40.	а) 0, 54; б) 0, 995
1.1.41.	а) 0, 46; б) 0, 7
1.1.42.	а) 0, 018; б) 0, 044; в) 0, 648; г) 0, 954; д) 0, 998
1.1.43.	а) 0, 612; б) 0, 003
1.1.44.	0, 316
1.1.45.	0, 788
1.1.46.	а) 0, 032; б) 0, 316
1.1.47.	а) 0, 0105; б) 0, 4265; в) 0, 558
1.1.48.	Вероятность, что найдет, – 0, 657; вероятность, что не найдет, – 0, 343.
1.1.49.	Один автомобиль – 0, 092; два автомобиля – 0, 398; три автомобиля – 0, 504; ноль автомобилей – 0, 006
1.1.50.	0, 5
1.1.51.	0, 6
1.1.52.	0, 288
1.2.1.	0, 87
1.2.2.	0, 15
1.2.3.
1.2.4.	0, 667
1.2.5.	0, 571
1.2.6.	0, 76
1.2.7.	0, 0031
1.2.8.	2/3
1.2.9.	0, 7565
1.2.10.	Ко второму (0, 367; 0, 413; 0, 22)
1.2.11.	К третьей (0, 31; 0, 319; 0, 372)
1.2.12.	0, 322
1.2.13.	а) 0, 03; б) 0, 167
1.2.14.	а) 0, 1725; б) 0, 2875; 0, 317
1.3.1.	а) 0, 1866; б) 0, 5109; в) 0, 9533
1.3.2.	а) 0, 1652; б) ≈ 0, 0046
1.3.3.	Одну из двух
1.3.4.	21/32
1.3.5.	0, 5584
1.3.6.	а) 0, 430; б) ≈ 0, 149
1.3.7.	а) 0, 6554; б) ≈ 0, 7379
1.3.8.	а) 0, 945; б) 0, 172
1.3.9.	а) 0, 648; б) 0, 72
1.3.10.	P₃(0)=0, 630; P₃(1)=0, 315; P₃(2)=0, 052; P₃(3)=0, 003
1.3.11.	≈ 0, 03
1.3.12.	0, 06520
1.3.13.	0, 09
1.3.14.	0, 264
1.3.15.	а) 0, 0072; б) 0, 9992
1.3.16.	0, 95021
1.3.17.	0, 009
1.3.18.	0, 056
1.3.19.	10 из 80
1.3.20.	0, 0085
1.3.21.	0, 972
1.3.22.	0, 8753
1.3.23.	≈ 0, 9675
1.3.24.	≈ 0, 14
1.3.25.	0, 8536
1.3.26.	0, 894

ОТВЕТЫ К РАЗДЕЛУ 2

№ задачи

Ответ

2.1.1.

X
p	0, 001	0, 005	0, 01	0, 025	0, 959

2.1.2.

X
p	0, 1	0, 09	0, 081	0, 0729	0, 6561

2.1.3.

X
p	0, 047	0, 187	0, 311	0, 276	0, 138	0, 037	0, 0041

2.1.4.

X
p	14/30	7/15	1/15

2.1.5.

X
p	9/16	6/16	1/16

2.1.6.

M(X)=0, 2 D(X)=1, 56 σ (X)=1, 25

2.1.7.

D(X)=67, 6404

2.1.8.

X
P	0, 025	0, 3	0, 675

M(X)=1, 65 D(X)=0, 2775 σ (X)=0, 527

2.1.9.

X
p	0, 8	0, 16	0, 04

M(X)=1, 24 D(X)=0, 26

2.1.10.

M(X)=2, 2; D(X)=0, 94; σ (X)=0, 97

2.1.11.

x₁=2; x₂= 3

2.1.12.

или

2.1.13.

2.1.14.

Z=3X-2Y	-6	-4	-3	-1
P	0, 12	0, 08	0, 30	0, 20	0, 18	0, 12

M(X)=1, 4; M(Y)=2, 6; M(Z)=-1, 0 D(X)=1, 24; D(Y)=0, 24; D(Z)=12, 12

2.1.15.

Z=2X
P	0, 2	0, 3	0, 5

U=X+Y
P	0, 04	0, 12	0, 09	0, 2	0, 3	0, 25

M(X)=M(Y)=2, 8; M(Z)=M(2X)=5, 6; M(U)=M(X+Y)=5, 6

X ²
P	0, 2	0, 3	0, 5

U=XY
P	0, 04	0, 12	0, 29	0, 3	0, 25

M(X)=M(Y)=2, 8; M(U)=M(XY)=7, 84=2, 8²

2.1.16.

M(Z)=11

2.1.17.

D(Z)=69

2.1.18.

D(X)=0, 495

2.1.19.

p₁=0, 3; p₂=0, 7

2.1.20.

Z=X-Y
P	1/6	1/3	1/3	1/6

2.1.21.

Z=XY
P	0, 28	0, 42	0, 12	0, 18

X (тыс. рублей)

2.1.22.

X
P	0, 0025	0, 095	0, 9025

12 3 4 5 6 Следующая ⇒