Экспоненциальное сглаживание

В настоящее время для учета степени «устаревания» данных во взвешенных скользящих средних используются веса, подчиняющиеся экспоненциальному закону, т.е. применяется метод экспоненциальных средних.

Смысл экспоненциальных средних состоит в том, чтобы найти такие средние, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяются средние. Веса в экспоненциальных средних устанавливаются в виде коэффициентов . Веса по времени убывают экспоненциально, а сумма весов стремится к 1.

Экспоненциальная средняя определяется по формуле Р. Брауна:

,

где − экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент ;

− вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней;

− фактический уровень динамического ряда в момент времени ;

− экспоненциальная средняя предыдущего периода.

Вес, с которым участвует каждый уровень динамического ряда в определении экспоненциальных средних, зависит от параметра сглаживания . Поэтому при использовании экспоненциальных средних в прогнозировании одной из важных проблем является выбор оптимального параметра .

Если коэффициент близок к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни динамического ряда, убывают медленно, и при прогнозе в этом случае учитываются все прошлые наблюдения. Если близок к 1, то при прогнозировании учитываются в основном наблюдения последних лет. Чем ближе к 1, тем в большей мере сглаженные уровни воспроизводят фактические уровни динамического ряда

Например: В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмем среднее значение из 3 первых уровней (таблица 2.3.1.).

;

;

;

.

 

Таблица 2.3.1 − Экспоненциальное сглаживание при разных значениях параметра

Годы	Общая площадь жилых помещений, приходящаяся в среднем на 1 жителя.кв.м,	Экспоненциальные средние при
	15, 4	15, 94	15, 94	15, 70	0, 29	0, 18	0, 09
	16, 1	15, 96	15, 82	15, 90	0, 21	0, 06	0, 04
	16, 5	16, 01	15, 91	16, 20	0, 24	0, 34	0, 09
	16, 6	16, 07	15, 98	16, 40	0, 28	0, 38	0, 04
	16, 9	16, 15	16, 07	16, 65	0, 56	0, 68	0, 06
	17, 0	16, 24	16, 17	16, 83	0, 58	0, 70	0, 03
	17, 1	16, 32	16, 26	16, 96	0, 60	0, 70	0, 02
	17, 9	16, 48	16, 42	17, 43	2, 01	2, 18	0, 22
	18, 2	16, 65	16, 60	17, 82	2, 39	2, 56	0, 15
	18, 5	16, 84	16, 79	18, 16	2, 76	2, 92	0, 12
	19, 3	17, 08	17, 04	18, 73	4, 91	5, 10	0, 33
	19, 5	17, 32	17, 28	19, 11	4, 73	4, 89	0, 15
	19, 7	17, 56	17, 53	19, 41	4, 57	4, 71	0, 09
	19, 9	17, 80	17, 77	19, 65	4, 42	4, 55	0, 06
Итого	248, 6	232, 43	199, 84	244, 95	28, 38	29, 96	1, 48

По данным таблицы 2.3.1 наименьшая сумма квадратов отклонений фактических данных от выравненных при , равная 1, 48. Следовательно, эта константа является наилучшей для сглаживания.

Вычисление прогноза по методу экспоненциальных средних

При использовании экспоненциальных средних в прогнозировании каждое новое прогнозное значение основывается на предыдущем прогнозе:

,

где – прогноз для периода ;

– прогноз для периода ;

– константа сглаживания;

– фактический уровень для периода .

Ошибка прогноза:

.

Рассмотренный метод прогнозирования относятся к классу адаптивных методов. Применительно к прогнозированию процесс адаптации состоит в том, что при прогнозировании на период учитывается ошибка предыдущего прогноза.

Экспоненциальное сглаживание – широко распространенный метод прогнозирования из-за легкости вычисления. Для коротких временных рядов, которые часто встречаются в экономике, важным представляется выбор начальной оценки прогноза. Для этой цели могут быть использованы разные приемы: среднее значение нескольких первых периодов; субъективные оценки, полученные экспертным путем; первое фактическое значение уровня динамического ряда как прогноз для периода 2. Если принять последний подход, то, используя данные таблицы 3.2.1, при получим прогнозные значения (таблица 2.4.1).

;

;

;

;

− 0, 3;

.

Таблица 2.4.1 – Расчетные данные

Годы	Общая площадь жилых помещений, приходящаяся в среднем на 1 жителя, м2,	Прогноз	Ошибка прогноза
	15, 4	15, 70	-0, 30
	16, 1	15, 90	0, 20
	16, 5	16, 20	0, 30
	16, 6	16, 40	0, 20
	16, 9	16, 65	0, 25
	17, 0	16, 83	0, 17
	17, 1	16, 96	0, 14
	17, 9	17, 43	0, 47
	18, 2	17, 82	0, 38
	18, 5	18, 15	0, 35
	19, 3	18, 73	0, 57
	19, 5	19, 11	0, 39
	19, 7	19, 40	0, 30
	19, 9	19, 41	0, 49
	-	19, 65	-

Рассмотренные экспоненциальные средние представляют собой средние первого порядка, т.е. средние, полученные при сглаживании уровней динамического ряда (первичное сглаживание). При прогнозировании могут использоваться экспоненциальные средние более высоких порядков, т.е. средние, полученные путем многократного сглаживания. Экспоненциальная средняя -го порядка определяется по формуле

.

Если =1, то получаем формулу расчета экспоненциальной средней первого порядка:

,

т.е. получили ту же формулу, которую ранее использовали при сглаживании исходного динамического ряда (таблица 2.3.1).

Если , то получаем формулу расчета экспоненциальной средней второго порядка:

,

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние первого порядка.

Если , то получаем формулу расчета экспоненциальной средней третьего порядка:

,

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние второго порядка.

Экспоненциальные средние более высоких порядков рекомендуются к применению, если после сглаживания исходного динамического ряда тенденция ряда проявляется недостаточно четко.

Экспоненциальные средние второго, третьего порядков нашли применение в адаптивном прогнозировании по полиномиальным моделям.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Аналитическое сглаживание временного ряда. Уравнение тренда.
2. Сглаживание временных рядов методом взвешенных скользящих средних
3. Сглаживание временных рядов методом простых скользящих средних
4. Сглаживание временных рядов с помощью простой скользящей средней
5. Сглаживание полинома с помощью весовых коэффициентов