Доверительные интервалы прогноза

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 11Следующая ⇒

Заключительным этапом применения моделей одномерных временных рядов является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение значений времени , соответствующих периоду упреждения (прогноза). Полученный таким образом прогноз называется точечным, так для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнение к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, т.е. вычислить интервальный прогноз.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом по одномерным временным рядам может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида уравнения;

2) погрешностью оценивания параметров уравнения;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда и возможность отклонения от этого тренда определяются в виде:

где − длина временного ряда;

− период упреждения;

− точечный прогноз на момент ;

− значение − статистики Стьюдента;

− средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд описывается линейной моделью:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра − к изменению угла наклона прямой относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:

где − дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

− время упреждения, для которого делается экстраполяция; ;

− порядковый номер уровней ряда, ;

− порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда;

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

Обозначим . Значение зависит только от и , т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значения или . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

Выражение доверительного интервала для полинома второго порядка:

или

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением

где − фактические значения уровней ряда;

− расчетные значения уровней ряда;

− длина временного ряда;

− число оцениваемых параметров.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения.

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием показательной модели, определяются аналогичным образом. Отличие состоит в том, что при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

3.4. Характеристика точности модели

Важнейшими характеристиками качества модели, выбранной для прогнозирования, являются показатели ее точности. Они описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели. Таким образом, чтобы судить о качестве выбранной модели, необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих как адекватность модели, так и ее точность.

О точности прогноза можно судить по величине ошибки (погрешности) прогноза.

Ошибка прогноза – величина, характеризующая расхождение между фактическим и прогнозным значением показателя.

Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле

где − прогнозное значение показателя;

− фактическое значение.

Эта характеристика имеет ту же размерность, что и прогнозируемый показатель, и зависит от масштаба измерения уровней временного ряда.

На практике широко используется относительная ошибка прогноза, выраженная в процентах относительно фактического значения показателя:

Также используются средние ошибки по модулю (абсолютные и относительны):

;

где - число уровней временного ряда, для которых определялось прогнозное значение.

Если абсолютная и относительная ошибки больше 0, то это свидетельствует о «завышенной» прогнозной оценке, если меньше 0, то прогнозное значение было занижено.

Очевидно, что все указанные характеристики могут быть вычислены после того как период упреждения уже закончился, и имеются фактические данные о прогнозируемом показателе или при рассмотрении показателя на ретроспективном участке.

В последнем случае имеющаяся информация делится на две части: по первой оцениваются параметры модели, а данные второй части рассматриваются в качестве фактических. Ошибки прогнозов, полученные ретроспективно (на втором участке), характеризуют точность применяемой модели. На практике при проведении сравнительной оценки моделей могут использоваться такие характеристики качества, как дисперсия ( ) или среднеквадратическая ошибка ( ):

, .

Чем меньше значения этих характеристик, тем выше точность модели. На практике в качестве знаменателя в формуле для дисперсии принимают величину ( ), где − число оцениваемых коэффициентов модели.

О точности модели нельзя судить по одному значению ошибки прогноза. О качестве применяемых моделей можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с фактическими.

Простой мерой качества прогнозов может стать − относительное число случаев, когда фактическое значение охватывалось интервальным прогнозом:

где − число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

− число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.

Когда все прогнозы подтверждаются, то и .

Если же все прогнозы не подтвердились, то и .

Отметим, что при сопоставление коэффициентов для разных моделей может иметь смысл при условии, что доверительные вероятности приняты одинаковыми.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒