Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:

(12)

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

(13)

Если точное число неизвестно, то

(14)

Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто.

Пример 4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.

Решение. Рассмотрим функцию

Её производная равна

а формула (11) примет вид

В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:

так как значение

не является малым по сравнению со значением производной в точке

Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда

Теперь, полагая

получим

Умножая на 4/3, находим

Принимая табличное значение корня

за точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:

Неопределённый интеграл.

Неопределенным интегралом от функции f(x): , если F ^/ (x)=f(x) и C = const, называется её произвольная первообразная, где x переменная интегрирования, а f(x) – подынтегральная функция.

Непосредственное интегрирование.

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Формулы интегрирования:

1. , где 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Определенный интеграл.

Определённый интеграл отличается от неопределённого тем, что это либо число, либо первообразная с определённой постоянной.

Формула Ньютона-Лейбница:

Основные свойства определенного интеграла:

Интегрирование методом замены переменной:

Интеграл с помощью подстановки преобразуется в другой (обычно табличный) интеграл с новой переменной интегрирования t, где старые пределы интегрирования х₁=а; х₂=b заменяются новыми пределами и

Пример 1. Вычислить определенный интеграл:

Решение: положим , тогда или вычислим пределы интегрирования с переменной t:

Ответ:

Пример 2. Вычислить определенный интеграл:

Решение: произведем подстановку , тогда или

Определим новые пределы интегрирования:

Ответ:

Дифференциальные уравнения.

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется функция , подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

График решения на плоскости xOy называется интегральной кривой уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка часто записывают в виде: или . Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение , где - заданная функция.

Это уравнение имеет бесконечно много решений.

Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Поэтому для , функция или , где какая-нибудь первообразная функции , а с – произвольная постоянная, будет общим решением (общим интегралом).

Чтобы выделить единственное решение уравнения, достаточно задать значение искомой функции при фиксированном значении аргумента. Задача нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего условию , где и - заданные числа, называется задачей Коши.

Условие называется начальным условием, а единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям, называется частным решением уравнения (частным интегралом).

Частное решение уравнения с физической точки зрения означает, что в фиксированный (начальный) момент времени задано положение материальной точки, а геометрический смысл состоит в нахождении интегральной кривой уравнения, проходящей через заданную точку.

Дифференциальное уравнение вида y′ +a(x)y=f(x), где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

y′ +a(x)y=f(x),

то интегрирующий множитель определяется формулой:

u(x)=exp(∫ a(x)dx).

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

y=∫ u(x)f(x)dx+Cu(x),

где C − произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно привести к виду . Уравнение этого вида решается с помощью разделения переменных и интегрирования обеих частей полученного уравнения по своей переменной.

⇐ Предыдущая 1 2 34