|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВАМИ.Стр 1 из 3Следующая ⇒
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Определение. Матрица Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; при этом обратная матрица также является квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1. Находим определитель исходной матрицы. Если 2. Находим матрицу 3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы 4. Вычисляем обратную матрицу по формуле 5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы
5 СИСТЕМА n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗМЕННЫМИ И ИХ РЕШЕНИЕ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель ∆, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля: где ∆ х – определитель, полученный из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при x столбцом свободных членов; ∆ у - определитель, полученный из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при у столбцом свободных членов;
СИСТЕМА n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗМЕННЫМИ И ИХ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Матричный метод решения состоит в следующем. Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:
Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим это матричное уравнение слева на A-1 — матрицу, обратную к матрице A: A-1 (AX) = A-1 B Так как A-1A = E, получаем X = A-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0. Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения: A= Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче С2 нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача С2 решается в несколько раз быстрее, чем классическим. В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов. Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ФОРМУЛА МУАВРА Для любого целого числа nи любого действительного числа
Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа. 1) Пусть 2) Пусть теперь
3) Пусть
п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме) Пусть
Точки разрыва функций. ИХ КЛАССИФ Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Определение 1: Назовём f¢ (х) производной первого порядка. Определение 2: Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной). (f¢ (х)) =f² (x) Определение 3: Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. (f² (х)) =f² (x) Производные начиная со второй называются производными высшего порядка и обозначаются: у², у¢ ², у(4), у(5)..., у(n). Определение 4: Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1)-го порядка, т.е. у(n)=(у(n-1))¢. 37. ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ, ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: .Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. 38.Применение дифференциала к приближенным вычислениям Как уже известно, приращение ∆ у функции у=ƒ (х) в точке х можно представить в виде ∆ у=ƒ '(х)•∆ х+α •∆ х, где α → 0 при ∆ х→ 0, или ∆ у=dy+α •∆ х. Отбрасывая бесконечно малую α •∆ х более высокого порядка, чем ∆ х, получаем приближенное равенство∆ у≈ dy, причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆ х. Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.
МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВАМИ. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из m строк и n столбцов коротко матрицу обозначают так: A= где Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n-го порядка, а в противном случае – прямоугольной. Если m=1 и n > 1, то получаем однострочную матрицу
которая называется вектор-строкой, если, жеm> 1 иn=1, то получаем одностолбцовую матрицу, которая называется вектор-столбцом. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единично, обозначается E. Матрица, полученная из данной заменой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается Две матрицы
при всех i иj(при этом число строк (столбцов) матрицAиBдолжно быть одинаковым). 1°. Суммой двух матрицA=(aij) иB=(bij) с одинаковым количествомm строк иnстолбцов называется матрицаC=(cij), элементы которой определяются равенством
Сумму матриц обозначают C=A+B. Сложение матриц. Сумой двух матриц A=(aij) и B=(bij) одного и того же размера m× n называется матрица C=(cij) того же размера m× n, элементы которой равны сij = aij + bij (i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n). (1) Для обозначения суммы матриц используется запись C=A+B. 2) Умножение матрицы на число. Произведением (m× n)-матрицы А на число λ называется (m× n)-матрица C=(cij), элементы которой равны сij = λ aij (i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n). (2) Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C= λ ∙ A. Непосредственно из формул (1) и (2) ясно, что две введенные операции обладают свойствами: а) А+В = В+А – коммутативность сложения; б) (А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения; в) (λ μ )А=λ (μ А) – ассоциативность умножения на число; г) λ (А+В) = λ А+λ В – дистрибутивность умножения относительно сложения. Замечание 1. Разность матриц можно определить следующим образом: А–В = А+(–1)В.
2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ n-го ПОРЯДКА. Пусть дана квадратная матрица порядка n: А = Определение 1. Определителем n-го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А
Мнемоническое правило вычисления определителя второго порядка:
слагаемое со знаком " -", слагаемое со знаком " +". Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка:
слагаемые со знаком " +", слагаемые со знаком " - Можно построить мнемонические правила для вычисления определителей порядка выше чем три, но они будут слишком громоздкими. Поэтому вычисление таких определителей основано на свойствах определителей. Свойства определителей Теорема 1. При транспонировании величина определителя не меняется. Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов. Теорема 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число. Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя. Теорема 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный. Теорема 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т.д. Теорема 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. 3 РАНГ МАТРИЦЫ Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы A обозначают rankA=0 или rA.Если все миноры порядка k данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы A ) равны нулю, то rankA=0. Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то rankA=1. Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка k, окаймляющие ненулевой минор (k-1) -го порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда rankA=k-1.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Определение. Матрица Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; при этом обратная матрица также является квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1. Находим определитель исходной матрицы. Если 2. Находим матрицу 3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы 4. Вычисляем обратную матрицу по формуле 5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы
5 СИСТЕМА n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗМЕННЫМИ И ИХ РЕШЕНИЕ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель ∆, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля: где ∆ х – определитель, полученный из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при x столбцом свободных членов; ∆ у - определитель, полученный из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при у столбцом свободных членов;
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-11; Просмотров: 677; Нарушение авторского права страницы
называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении этой матрицы на обратную, как справа, так и слева получается единичная матрица: 
. 
, то матрица A- вырожденная и не имеет обратной матрицы.
- транспонированную к матрице A.
и составляем из них матрицу, заменяя каждый элемент матрицы 
.
.
.
∆ z - определитель, полученный из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при z столбцом свободных членов.
=FScos 
и 
: 
имеет место следующее равенство: 
. (1)
– натуральное число. Так как комплексное число 
имеет модуль 
, то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
. Тогда
, ч.т.д.
, где 
– натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в поле комплексных чисел, имеем: 
.
, где 
и 
, где 
– два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда
.
, 
. Дифференциал 
этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде 
. Но 
есть дифференциал функции u, поэтому 
, т. е. 
, хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x. Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала. 
элементы данной матрицы, i– номер строки, j– номер столбца.
.
и 
равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если
.
, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком " +" или " -".
.
