Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

 

Производная функции в точке ее геометрический и механический смысл

Произво́ дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.В этом и состоит геометрический смысл производной.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. по определению производной мы имеем:

отсюда, v ( t₀) = x’ ( t₀), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ОБРАТНОЙ НЕЯВНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ (х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ (х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ (х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ (х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Определение 1: Назовём f¢ (х) производной первого порядка.

Определение 2: Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной). (f¢ (х)) =f² (x)

Определение 3: Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. (f² (х)) =f² (x)

Производные начиная со второй называются производными высшего порядка и обозначаются: у², у¢ ², у⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾..., у⁽ⁿ⁾.

Определение 4: Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1)-го порядка, т.е. у⁽ⁿ⁾=(у^(n-1))¢.

37. ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ, ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: , . Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде . Но есть дифференциал функции u, поэтому , т. е.

.Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. , хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x. Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

38.Применение дифференциала к приближенным вычислениям Как уже известно, приращение ∆ у функции у=ƒ (х) в точке х можно представить в виде ∆ у=ƒ '(х)•∆ х+α •∆ х, где α → 0 при ∆ х→ 0, или ∆ у=dy+α •∆ х. Отбрасывая бесконечно малую α •∆ х более высокого порядка, чем ∆ х, получаем приближенное равенство∆ у≈ dy, причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆ х. Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.

 

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться:

Популярное:

1. B на плечо точек вокруг крышки (со стрелкой)
2. I. КЛАССИФИКАЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ.
3. I. Классификация установок, по Узнадзе.
4. II КЛАССИФИКАЦИЯ И МАРКИРОВКА ЧУГУНОВ
5. III. Классификация мебельных тканей.
6. IV. Классификация по скорости развития
7. Microsoft Office Word. Дополнительные функции
8. TNM клиническая классификация
9. Абсорбционные ткани. Формирование, строение и выполняемые функции.
10. Автомобильные перевозки. Классификация автотранспорта. Конвенция КДТП , накладная CMR. Ассоциация международных автомобильных перевозок АСМАП.
11. Альфа-адреноблокаторы: классификация, основные показания и противопоказания, побочные эффекты
12. Анализ базовых функций гражданского общества. Демократические функции гражданского общества.