ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. СВОСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3, …

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

(1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

если .

СВ-ВА Теорема 1:

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел. Теорема 2:

Если все элементы последовательности {x_n} равны С (постоянной), то предел последовательности {x_n}, тоже равен С.

Теорема 3: Если последовательности {x_n} и {у_n} сходятся, то и последовательность {x_n+ у_n} также сходится и её предел равен сумме её слагаемых Теорема 4: Если последовательности {x_n} и {у_n} сходятся, то и последовательность {x_n* у_n} также сходится и её предел равен произведению её множителей (пределов). Теорема 5:

Если последовательности {x_n} и {у_n} сходятся к числам а и b соответственно, и если b ≠ 0, предел частного существует, конечен и равен частному пределов.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел постоянной величины равен самой постоянной:

c = c.

Теорема 2. Пределсуммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

= f(x) φ (x).

Теорема 3. Пределпроизведения двух функций равен произведению их пределов:

= f(x) φ (x).

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, 0.¹

Замечательные пределы – термин, использующийся в отечественных математических учебниках для обозначения некоторых пределов с известным решением, используемых для упрощенного решения более сложных пределов.

Первый замечательный предел имеет вид:

На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде

где, k – коэффициент.

Следствия первого замечательного предела:

Второй замечательный предел равен экспоненте

следствия второго замечательного предела:
1. 3. 4.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Функция y=f(x)называется бесконечно малой (илибесконечно малой величиной) при , если . Например, б.м. при х→ 0, т.к.f(x) → 0, т.е. .

Аналогично определяется б.м.ф. при х→ ±∞, + и -.

Свойства бесконечно малых функций

1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. есть б.м.ф.

2. Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть б.м.ф. (в том числе на постоянную или на другую б.м.ф.).

3. Частное от деления б.м.ф., предел которой отличен от 0, есть б.м.ф.

Функция y=f(x)называется бесконечно большой (илибесконечно большой величиной) при, если . Например, б.б.ф. при , т.к.f(x)→ ∞ илиy=tgxприх б.б.ф.

Аналогично определяется б.б.ф. при х→ ±∞, + и -.

Если f(x) → ∞ при и принимает лишь положительные значения, то пишут , если лишь отрицательные, то .

Свойства бесконечно больших функций:

1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от 0, есть б.б.ф.

2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф.

3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Теорема: Если функция α (х) – бесконечно малая при, то

функция является бесконечно большой при

, и наоборот.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Определение1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке, т.е. существует ;

2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа;

3) эти пределы равны значению функции в точке,

Определение2. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Точки разрыва функций.

ИХ КЛАССИФ

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒