Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

. Интегралы вида . Основной прием вычисления– приведения квадратного трехчлена к виду:

 

, (1)

 

где и - постоянные. Для выполнения преобразования (1) удобнее всего из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользоваться подстановкой

 

.

 

Если , то приводя квадратный трехчлен к виду (1), получаем табличные интегралы 3 или 4 (см. § 1, 2, таблицу простейших интегралов).

 

Пример 1.

.

Если , то из числителя выделяется производная квадратного трехчлена

,

и таким образом, мы приходим к интегралу, разобранному выше.

Пример 2.

.

 

 

. Интегралы вида . Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к табличному интегралу 5, если и 6, если .

 

Пример 3.

.

Пример 4.

.

 

. Интегралы вида . С помощью обратной подстановки

эти интегралы приводятся к интегралам вида .

Пример 5. Найти

.

Решение. Полагаем

,

отсюда

.

Имеем:

.

 

 

. Интегралы вида . Путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из следующих основных интегралов:

1) ,

2) .

 

Пример 6.

.

 

 

Интегрирование рациональных функций

Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби

. (1)

где и целые многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя . Если

,

где различные действительные корни многочлена и натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби (1) на простейшие дроби:

(2)

 

Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части тождества (2) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной (первый способ). Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2), или ему эквивалентном, равным подходяще подобранным числам (второй способ).

Пример 1. Найти

Решение. Имеем:

Отсюда

. (3)

 

а) Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество (3) в виде

.

 

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим:

.

Отсюда

.

б) Второй способ определения коэффициентов. Полагая

в тождестве (3), будем иметь:

т.е.

Полагая, получим:

, т.е. .

Далее, полагая , будем иметь:

, т.е. .

Следовательно,

 

Пример 2. Найти

Решение. Имеем:

и

(4)

При решении этого примера рекомендуется комбинировать два способа определения коэффициентов. Применяя второй способ, полагаем в тождестве (4); получим . Затем, полагая , получим . Далее. Применяя первый способ, приравниваем в тождестве (4) коэффициенты при . Будем иметь:

т.е. .

Таким образом,

Следовательно,

.

Если многочлен имеет комплексные корни кратности , то в разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида:

, (5)

где

и неопределенные коэффициенты, определяемые способами указанными выше. При дробь (5) интегрируется непосредственно; при применяется метод понижения, причем предварительно квадратный трехчлен рекомендуется представить в виде и сделать подстановку .

 

Пример 3. Найти

Решение. Так как

,

то, полагая , получим:

 

 

Интегрирование некоторых иррациональных функций

1^o. Интегралы вида

, (1)

где рациональная функция и целые числа.

Интегралы вида (1) находятся с помощью подстановки

где наименьшее общее кратное чисел .

 

Пример 1. Найти

Решение. Подстановка приводит интеграл к виду

 

 

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Наименьшее общее кратное показателей корней в подынтегральном выражении равно 6, поэтому делаем подстановку откуда то есть

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Сделаем подстановку .

Отсюда т.е. ,

и значит,

Таким образом,

 

2^o. Интегралы вида

где многочлен степени .

Полагают,

(3)

где многочлен степени с неопределенными коэффициентами и число.

Коэффициенты многочлена и число находятся при помощи дифференцирования тождества (3).

 

Пример 4.

 

 

Отсюда

Умножая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим:

Следовательно,

 

3^o . Интегралы вида

(4)

приводится к интегралам вида (2) с помощью подстановки

 

 

4^o . Интегралы от дифференциальных биномов

(5)

где и рациональные числа.

 

Условия Чебышева. Интеграл (5) выражается через конечную комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:

1) если целое число;

2) если целое число. Здесь применяется подстановка , где знаменатель дроби ;

3) если целое число. В этом случае используется подстановка

Пример 3. Найти

Решение. Здесь

Следовательно, имеет место случай 2) интегрируемости.

Подстановка

дает:

Поэтому

где

 

 

12Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III Перепишите следующие предложения, содержащие разные формы сравнения и переведите их на русский язык.
2. Азотсодержащие органические соединения
3. Амфифильные полимеры N-винилпирролидона, содержащие дополнительные функциональные группы
4. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ. ПРОСТЕЙШИЕ СТЕХИОМЕТРИЧЕСКИЕ
5. ДНК-содержащие вирусы Глава 46. Возбудитель натуральной оспы
6. Источники права РФ, содержащие коллизионные нормы. Соотношение коллизионных норм ГК РФ и других законов.
7. Кислотные металлсодержащие красители
8. Классы содержащие другие классы в качестве данных-членов
9. Нарушения законодательства о налогах и сборах, содержащие признаки административных правонарушений -(налоговые проступки)
10. Органы, содержащие ферменты.
11. Переведите предложения, содержащие всевозможные формы причастий: Participle I, Participle II, Perfect Participle Active, Perfect Participle Passive.
12. Переведите предложения, содержащие распространенное определение (РО), на русский язык.