Численные методы интегрирования. Квадратурные формулы

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Вычисление определенных интегралов встречается при моделировании систем и процессов достаточно часто. Численные методы в этом случае применяются либо когда не удается выразить интеграл в замкнутой форме, либо эта форма настолько сложна, что проще воспользоваться численным интегрированием, либо когда подинтегральная функция задана таблично.

Постановка задачи

Найти значение определенного интеграла

(14)
при условии, что концы отрезка интегрирования а и b конечны, а f(x) является непрерывной, функцией от х на всем интервале a ≤ x ≤ b.

Общий подход к решению данной задачи следующий. Определенный интеграл I представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью х и прямыми х = а и х = b. Разбивая интервал [a, b] на множество меньших интервалов, можно приближенно найти площадь каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и, суммируя площади этих полосок, получить приближенное значение интеграла. При этом можно рассмотреть два способа разбиения исходного отрезка интегрирования:

Разбиение на интервалы производится заранее, они обычно выбираются равными. Кроме того, если вычисление интеграла предполагается производить «вручную», то интервалы выбираются так, чтобы значения х, соответствующие концам каждого интервала, было как можно легче вычислять. К этой категории методов принадлежат методы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Местоположение и длина интервалов определяются путем анализа: сначала ставится требование достичь наивысшей точности с заданным числом интервалов, а затем в соответствии с этим определяются их границы. Примером такого подхода является метод Гаусса.

Формулы для приближенного вычисления определенного интеграла (14) вида

(15)
называются квадратурными. Постоянные являются коэффициентами ( весами ) квадратуры, – ее узлами, а правая часть равенства (15) – квадратурной суммой. Чем больше значение n, тем точнее вычисляется интеграл. Все методы различаются значениями узлов и весов . Сравнение эффективности различных методов производится по степени полинома, который данным методом интегрируется точно, без ошибки. Чем выше степень полинома, тем выше точность метода.

2.3.2. Формула Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования на 2n равных частей длиной ; при этом , , , (рис. 3).

Через каждую тройку точек

проведем параболу.

В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами. На каждом отрезке заменим площадь под кривой f(x) на площадь такой трапеции и просуммируем их:

Можно доказать, что для каждой трапеции справедлива формула

Тогда

(16)

Эта формула называется формулой Симпсона. В ней все ординаты с четными номерами (кроме нулевой и последней) имеют коэффициент 2, а с нечетными - 4. Формула (16) точна для полиномов третьего порядка.

Абсолютная погрешность формулы (16) оценивается неравенством

Пример 2.3. Вычислить определенный интеграл

методом Симпсона. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей.

Решение

Разбиваем отрезок интегрирования [а; b] на 10 частей. При этом . Шаг интегрирования . Подынтегральная функция . Узлы интегрирования вычисляют по формуле

, , , .

Для удобства сведем вычисление узлов интегрирования и значений функции в них в таблицу (табл. 6).

Таблица 6

Номер узла
		3·1 + ln 1 = 3
	1 + 0, 1 = 1, 1	3·1, 1 + ln 1, 1 = 3, 395
	1, 1 + 0, 1 = 1, 2	3·1, 2 + ln 1, 2 = 3, 782
	1, 2 + 0, 1 = 1, 3	3·1, 3 + ln 1, 3 = 4, 162
	1, 3 + 0, 1 = 1, 4	3·1, 4 + ln 1, 4 = 4, 534
	1, 4 + 0, 1 = 1, 5	3·1, 5 + ln 1, 5 = 4, 905
	1, 5 + 0, 1 = 1, 6	3·1, 6 + ln 1, 6 = 5, 27
	1, 6 + 0, 1 = 1, 7	3·1, 7 + ln 1, 7 = 5, 631
	1, 7 + 0, 1 = 1, 8	3·1, 8 + ln 1, 8 = 5, 988
	1, 8 + 0, 1 = 1, 9	3·1, 9 + ln 1, 9 = 6, 342
	1, 9 + 0, 1 = 2	3·2 + ln 2 = 6, 693

По формуле Симпсона (16) имеем

Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Многие задачи механики, физики, химии и других отраслей науки и техники при их математическом моделировании сводятся к дифференциальным уравнениям. В связи с этим решение дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических задач.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка

(17)

с начальным условием

. (18)

Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению (17) и начальному условию (18).

Хотя решение некоторых задач Коши может быть найдено аналитически, во многих случаях, в том числе для большинства задач, представляющих практический интерес, такой путь часто оказывается невозможным, например, коэффициенты или функции в дифференциальном уравнении могут содержать нелинейности или задаваться в виде таблиц экспериментальных данных. В этом случае пользуются приближенным методам решения задач Коши.

Выделяют два класса приближенных методов решения задач (17), (18): одношаговые и многошаговые. Первый класс методов требует для нахождения следующего значения неизвестной функции значение только в одной текущей точке , т.е.

,
а второй класс – в нескольких, например,

Методы второго класса поэтому не обладают свойством «самостартования», т.е. ими нельзя начать решение задачи Коши, оно всегда начинается одношаговыми методами. К достоинствам многошаговых методов относят в основном меньший объем памяти компьютера, требующейся для их реализации, и возможность теоретической оценки погрешности решения. Представителем класса многошаговых методов являются методы прогноза и коррекции. К классу одношаговых методов относятся методы Эйлера, Рунге-Кута и др. Как и во многих других случаях, эти два класса методов лучше сочетать, учитывая их достоинства и недостатки.

Метод Рунге-Кутта

Идея метода Рунге-Кутта состоит в представлении разности

в виде суммы поправок с коэффициентами :

,
где , , …, . Коэффициенты находятся сравнением разложения и , по степеням h.

В сущности, этот метод объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка (метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и др.). Наиболее распространенным из них является метод четвертого порядка точности для r = 4, ошибка при этом имеет порядок. Этот метод часто и называют методом Рунге-Кутта. Расчеты в нем проводятся по формулам

, (19)
где