Задача 3. Вычисление определенных интегралов

Вычислить определенный интеграл методом Симпсона.

Отрезок интегрирования [a, b] разбить на десять частей (табл. 3).

Таблица 3

Вариант	Функция f(x)	a	b	Вариант	Функция f(x)	a	b
1.				6.
2.				7.		1, 2	2, 2
3.				8.		0, 5	1, 5
4.				9.
5.				10.

Задача 4. Решение дифференциальных уравнений

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения на отрезке [а, b] с начальным условием и шагом интегрирования h методом Рунге-Кутта (табл. 4). Построить график полученной кривой.

Таблица 4

Вариант	Функция f(x, y)	а	b	y₀	h
1.				0, 7	0, 1
2.		2, 6	4, 6	1, 8	0, 2
3.		-1		0, 2	0, 2
4.				1, 2	0, 1
5.			0, 5	0, 3	0, 05
6.				0, 9	0, 1
7.		0, 6	2, 6	3, 4	0, 2
8.		1, 5		2, 1	0, 05
9.		2, 1	3, 1	2, 5	0, 1
10.				1, 7	0, 2

Задача 5. Задачи регрессии

Методом наименьших квадратов построить линейную функцию для табличных данных (табл. 5). Нарисовать график полученной функции и показать исходные данные.

Таблица 5

Значения x	-4	-3	-2	-1
Вариант	Значения y
1.	-3, 32	-3, 64	-3, 57	3, 54	2, 75	4, 02	5, 24	5, 79	7, 48	13, 49
2.	-3, 51	-1, 68	1, 1	-2, 2	3, 81	4, 79	2, 51	5, 7	8, 84	11, 72
3.	-4, 66	-3, 5	0, 7	-2, 39	-0, 06	2, 47	5, 74	4, 83	6, 18	8, 51
4.	-7, 49	-4, 4	-0, 28	-0, 82	-1, 15	4, 38	7, 26	7, 31	7, 92	9, 6
5.	-3, 25	-2, 07	-2, 23	-1, 24	4, 9	2, 92	8, 25	5, 15	6, 53	11, 23
6.	-5, 35	-1, 5	-0, 86	0, 27	0, 49	3, 63	7, 78	6, 27	8, 33	13, 07
7.	-2, 36	-5, 62	-3, 53	-1, 64	-0, 66	5, 24	7, 89	7, 87	7, 83	10, 96
8.	-5, 44	-1, 57	-0, 23	-0, 46	-0, 29	5, 86	8, 07	5, 01	6, 28	7, 55
9.	-7, 13	-1, 88	-1, 06	-0, 17	2_?65	1, 2	2, 71	6, 19	6, 59	8, 38
10.	-4, 94	-2, 25	0, 67	-1, 57	2, 49	2, 7	6, 26	5, 88	9, 44	10, 1

Численные методы решения задач

Решение нелинейных уравнений

Математические модели реальных объектов, как правило, описываются нелинейными уравнениями. Нахождение корней нелинейных уравнений - одна из древнейших математических проблем, которая не потеряла своей остроты и в наши дни: она часто встречается в самых разнообразных областях науки и техники.

Постановка задачи

Требуется найти такие значения аргумента x, для которых справедливо уравнение

(1)
где функция дифференцируема. При этом уравнение (1) может быть алгебраическим или трансцендентным*.

Корень x уравнения (1) геометрически представляет собой абсциссу точки пересечения (рис. 1а), точки касания (рис. 1б) или другой общей точки (рис. 1в) графика функции и оси х.

Рис. 1

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни уравнения (1) в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Примером такого решения является нахождение корней квадратного уравнения, известного из школьного курса алгебры.

В дальнейшем будут рассматриваться только уравнения, которые, как правило, не имеют аналитических формул для вычисления корней уравнения. Для них приходится пользоваться итерационными методами нахождения решения, которые состоят из двух этапов:

1. Отыскание приближенного значения корня (отделение корня), т.е. нахождение такого конечного промежутка, внутри которого имеется единственное решение данного уравнения (1). Отделение корней можно осуществить аналитическим (находя критические точки функции) и графическим (путем построения графика функции) способами.

Для отделения корней применяют следующий критерий: если на отрезке [a; b] функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то этот отрезок содержит один и только один корень уравнения (1). Достаточным признаком монотонности функции на некотором отрезке является сохранение знака ее производной на этом отрезке (если , то функция возрастает; если , функция убывает).

2. Уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

В практических задачах решением называют любое значение аргумента x отличающееся по модулю от точного значения корня x не более чем на малую величину e.

В общем случае итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х₁, х₂, ..., х_к, ... Если эти значения с ростом k стремятся к истинному значению корня

,
то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод Ньютона

В основе метода Ньютона (метода касательных) лежит разложение функции f(x) в ряд Тейлора:

Члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются, используется соотношение и предполагается, что при . Отсюда получается итерационная формула

, (2)

Графическое представление метода показано на рис. 2. В точке (х₀, f(х₀)) проводят касательную к графику функции f(x) и точку пересечения ее с осью х принимают за новое приближение x₁. Для него строят новую касательную, находят точку х₂ и т.д. до тех пор, пока значение не станет достаточно близко к корню x.

Счет прекращается, когда выполняется условие

. (3)

Рис. 2

Метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости для.достаточно гладких функций f(x). Быстрота его сходимости в большой степени зависит от выбора начального приближения х₀. Метод обеспечивает быструю сходимость, если выполняется неравенство

, (4)
поэтому чаще всего в качестве начального приближения выбирают тот конец интервала [а; b], на котором знаки f и f ’’ совпадают ( условие Фурье ).

Достоинством этого метода является его быстрая сходимость, а недостатком то, что помимо надо вычислять и , поэтому метод применим, если вычисление производной f ' не сложнее, чем вычисление функции f.

Пример 2.1. Найти корень уравнения

(5)

на отрезке [0; 2] с точностью e = 0, 01 методом Ньютона.

Решение

Из уравнения (5) имеем . Вычисляя производные, получаем , . Проверим выполнение условия Фурье (4) на границах заданного интервала [0; 2]. Примем , тогда