Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса

 

Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.

(6.1.11.)

Решением (2.1)называется система из трех чисел, удовлетворяющая требованию: если в (2.1) вместо и подставить соответственно и , то получим три верных равенства (три тождества).

(6.1.12)

- основная матрица системы (2.1)

(6.1.13)

- расширенная матрица (2.1)

; ; (6.1.14)

система (2.1) может быть записана в матричном виде так:

AX=D (6.1.15)

X – неизвестная матрица-столбец. Введем вспомогательные определители:

 

 

 

Предполагая, что матрица A - невырожденная и умножая (2.5) слева и почленно на A^-1, получим

–(6.1.16) матричный способ решения системы.

Используя понятие равенства двух матриц, получим

(6.1.17)

(6.1.18)

(6.1.19)

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1. Перестановка местами произвольных двух строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на отличное от нуля число.
3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число.

 

Пример 6. 1.2. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат.

Обратную матрицу находим по формуле .

Вычислим определитель матрицы по правилу треугольника:

Определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует. Составляем матрицу из алгебраических дополнений ( ) и транспонируем ее.

;

;

;

 

;

;

;

;

;

;

.

 

Выполним проверку:

· =

.

 

·

 

 

Получим: A^-1× A=A× A^-1=E. Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: .

 

Пример 6.1.3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

.

Решение:

Найдем главный определитель системы

Так как число уравнений и число неизвестных системы между собой равны m=n=3 и определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение.

Найдем вспомогательные определители:

 

Неизвестные находим по формулам Крамера:

; .

Ответ: .

 

Пример 6.1.4.. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

.

Решение.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных преобразованием данной системы линейных уравнений к эквивалентной. Преобразования уравнений системы заменяются преобразованием строк расширенной матрицы системы до приведения основной матрицы к треугольной или трапециевидной форме. Обнуление элементов выполняется элементарными преобразованиями матрицы(умножение строк на числа, отличные от нуля с последующим сложением).

 

.

Ответ: .

 

Пример 6.1.5. Применить теорему Кронекера – Капели и найти все решения системы методом Гаусса .

 

Решение.

Однородная матрица всегда имеет тривиальное решение, в данном случае (0; 0; 0; 0), поэтому нас интересуют другие решения системы.

Применяем метод Гаусса:

 

.

 

Так как размерности основной и расширенной матриц системы 3x4 и 3x5 соответственно, ранги этих матриц не могут превышать числа 3. Попробуем посмотреть, есть ли для этих матриц минор третьего порядка, отличный от нуля. Составим его из первых двух и четвертого столбца: , так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Следовательно, ранги основной и расширенной матриц равны 3. По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна. Так как число уравнений m=3 меньше числа неизвестных n=4, то она имеет бесчисленное множество решений. Закрепленных (базисных) переменных будет 3 (так как r=3), свободных переменных будет (n-r=4-3=1) одна. Минор, который мы составили выше, называется базисным, а переменные, входящие в него, базисными. Следовательно, - базисные переменные, а - свободная, то есть . Выполним обратный ход метода Гаусса:

.

Решением системы будет множество четверок чисел , где .

Например, (0; 2; 2; 0), (0; -1; -1; 0), - решения системы.

Ответ: .

Замечание. Обратите внимание, что тривиальное решение тоже задается этим множеством.

 

Пример 6. 1.6. Даны координаты векторов и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

; ; ; ; .

 

Решение.

Если векторы образуют базис, то существует разложение вектора в этом базисе , то есть

.

Отсюда вытекает решение задачи: найти координаты вектора в базисе означает решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными . Эта система будет иметь единственное решение, если ее основной определитель будет отличен от нуля.

Решаем методом Гаусса:

Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, видим, что он отличен от нуля. Следовательно, векторы независимы и образуют базис.

Найдем координаты вектора b в этом базисе

 

.

 

Следовательно, или b=(5; 0; -1; 2) в базисе .

Ответ: .

 

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у.

Ах + Ву + С=0 (6.2.1)

общее уравнение прямой, гдеАи В - координаты одного из нормальных векторов этой прямой.

(6.2. 2)

каноническое уравнение прямой, где (х₀, у₀) -координаты точки, черезкоторую проходит прямая, lи т-координаты направляющего вектора .

M0(x0, y0)

xCosa+yCosβ -p = 0 (6.2.3)

нормированное уравнение прямой, где Cosa, Cosβ - координаты единичного вектора нормали прямой (он направлен из начала координат к прямой), р- расстояние прямой от начала координат .

y

X

O

p

Из уравнений (1)-(3) могут быть получены удобные в геометрическом смыслеуравнения:

у = кх + b (6.2. 4)

уравнение с угловым коэффициентом к = tga, α - угол наклона прямой к оси Ох, b - величина отрезка, отсекаемого на оси Оу.

у

х

b

a

(6.2.5)

уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х₁, у₁) и (х₂ , у₂).

(6.2.6)

параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (х_о, у_о) в направлении вектора = {1, т).

(6.2.7)

уравнение прямой «в отрезках», где а и bвеличины отрезков отсекаемых прямой на осях охи оу соответственно.

Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями (1), (2), (3), вполне определяется взаимным расположением векторов с ними связанных, поэтому условия параллельности, ортогональности и угол между прямыми получены из соответствующих условий для векторов. Для прямых, заданных уравнениями вида (4), выпишем эти условия. Если y=k₁х + b₁и у = к₂х + Ь₂уравнения этих прямых, то

k₁ =k₂–условие параллельности, (6.2.8)

k₁× k₂=-1 –условие перпендикулярности, (6.2.9)

-тангенс угла между прямыми ( 6.2.10)

Если дана прямая общим уравнением Aх + Ву + С=О, то его можно нормировать умножением на нормирующий множитель

, (6.2.11)

где знак выбирается противоположным знаку свободного члена С из общего уравнения

μ Ах + μ Bу + μ C = 0

Нормированное уравнение позволяет получить отклонение δ и расстояние dдля данной точки М₀(х₀, у₀) от прямой по формуле δ = х₀cosα + у₀cosβ - ρ,

. (6.2.12)

Пример6.2.1. Найти угол между прямыми

.

 

Решение.

,

тогда другой угол между прямыми 135°.

 

Пример 6.2.2. Найти проекцию точки М_о(4, 9) на прямую, проходящую через точки М₁(3, 1) и М₂(5, 2).

Решение. Найдем уравнение прямой М₁М₂ по формуле (5)

,

откуда . Ищем уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку М_ов виде (4). Пользуясь условиемперпендикулярности к_гк₁=-1, найдем . Так как координаты М_одолжны удовлетворять искомому уравнению, то в уравнение у=-2x+bподставим координаты М_о: 9 =-2× 4+b.

Получим b= 17. Точка пересечения заданной прямой и этого перпендикулярадаст проекцию М_она данную прямую.

Решим систему:

.

Получим х= 7, у = 3.

Пример 6.2.3. Найти расстояние между параллельными прямыми

у=2х-З и у=2х + 5.

Решение. На первой прямой найдем какую-нибудь точку. Пусть х =1, тогда у=-1. Получим точку М_о(1, -1).

Приведем уравнение второй прямой к нормированному виду:

2x-y+5=0, ,

- нормированное уравнение. Тогда по формуле (6.2.12) получим

(лин.ед.)

Плоскость

Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А, В, С} и проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z_o) имеет вид

А(х -х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0. (6.2.13)

Из этого уравнения получается общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D=0, (6.2.14)

представляющее собой уравнение первой степени относительно переменных x, y и z.

Геометрически удобное уравнение в отрезках

, (6.2.15)

где а, b, с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координатсоответственно.

Нормированное уравнение плоскости

xcosα + ycosβ + zcosg-ρ = 0, (6.2.16)

где ρ - расстояние плоскости от начала координат; a, β, g - углы образованные единичным вектором нормали к плоскости (он направлен от начала координат к плоскости) с соответствующими осями координат.

Если дана плоскость общим уравнением (6.2.14), то

μ Ах + μ Dy + μ Сz+ μ D= О

будет нормированным уравнением той же плоскости, если

,

где знак выбирается противоположным знаку D - свободного члена в общем уравнении.

Нормированное уравнение (6.2.16) позволяет получить отклонение δ и

расстояние d от заданной точки М_о(х₀, у₀, z₀) до плоскости

δ = x₀cosα + y₀cosβ + z₀cosγ -ρ, (6.2.17)

d = \ δ \. (6.2.18)

Условия перпендикулярности, параллельности и угол между плоскостями совпадают с аналогичными условиями для векторов, нормальных к этим плоскостям.

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей

(6.2.19)

причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств

,

чтобы эти плоскости пересекались.

Другой способ задания прямой:

(6.2.20)

каноническими уравнениями, где М₀(x₀, у₀, z₀) - точка, через которую проходит прямая в направлении вектора = {1, т, п}. Тогда условия параллельности, перпендикулярности и угол междупрямыми могут быть получены как соответствующие условия для направляющих векторов этих прямых.

Из (6.2.20) могут быть получены уравнения прямой, проходящей через две точки М₁{x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂)

(6.2.21)

и параметрические уравнения прямой:

. (6.2.22)

Если прямая задана уравнениями (6.2.19), то можно получить канонические уравнения этой прямой, если взять какую-нибудь точку, задавая, например, х₀и отыскивая соответствующие у₀и z₀из системы (6.2.19), и получить направляющий вектор прямой

Если прямая задана уравнениями (6.2.20), а плоскость общим уравнением (6.2.14), то условие параллельности прямой и плоскости

Аl + Вт+Сп = 0, (6.2.23)

а условие перпендикулярности

.

Пример 6.2.4. Привести уравнение прямой

к каноническому виду.

Решение. Найдем какую-нибудь точку на этой прямой. Пусть х = 0, тогда система примет вид

.

Отсюда y=-2, . Получим точку М_о(0; -2; )Найдем направляющий вектор

Канонические уравнения прямой

 

Пример 6.2.5. Составить уравнения движения точки M(x, y, z), которая имеет начальное положение М_о(1; -2; 4), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора = {2; 3; 6} со скоростью , .

Решение. Тогда . Искомые уравнения будут

 

 

Пример 6.2.5. Найти расстояние точки М₀(1; 2; 0) от прямой

Решение. Проведем через точку М_оплоскость α, перпендикулярную данной прямой и найдем М₁ - точку пересечения плоскости α с данной прямой. Тогда искомое расстояние будет расстоянием от М_о до М₁. Для плоскости α воспользуемся уравнением вида (13), так как известна точка М₀(1; 2; 0) на ней лежащая и нормальным вектором может служитьнаправляющий вектор прямой а= {2, 5, 1}. Получим

2(х -1) + 5(у - 2) + 1(z- 0) = 0,

или

2x + 5y + z-12 = 0.

Найдем точку пересечения плоскости α и данной прямой, решив систему из уравнений плоскости α и параметрических уравнений данной прямой:

Исключая x, y, z, найдем t=-0, 5. Тогда х=1, y=1, 5, z=2, 5. Точка М₁(1; 1, 5; 2, 5). Расстояние М₀М₁:

(лин.ед.).

 

 

Пример 6.2.6. Найти угол между прямой

и плоскостью

х + 2у - 3z - 1 = 0.

Решение. Рассмотрим нормальный вектор плоскости = {1; 2; -3} и направляющий вектор прямой = {2; 3; 5}. Косинус угла между этимивекторами равен синусу угла между прямой и плоскостью:

,

.

Кривые второго порядка

Канонические уравнения:

эллипса ,

гиперболы ,

параболы ;

Эксцентриситеты

эллипса ,

гиперболы

параболы ,

где rи d- расстояния любой точки параболы до фокуса и директрисы соответственно. Уравнение директрисы параболы ; .

Построение кривой в полярной системе координат

Полярная система координат задается точкойО(полюсом), выходящим из нее лучом и единицей масштаба. Полярные координаты точки М - два числа ρ и φ, первое из которых ρ (полярный радиус) равно расстоянию точки М от полюсаО, а второе φ (полярный угол) - угол, на который нужно повернуть полярный луч против часовой стрелки до совмещения с лучом ОМ.

Номер точки
j
r	-0, 1	0, 5		-3, 5	4, 1	4, 6

 

Обычно считают, что ρ и φ изменяются в пределах

,

чтобы соответствие между точками плоскости и полярными координатами было однозначным.

Замечание. В задачах, связанных с перемещением точки по плоскости (в механике), удобнее отказаться от этих ограничений, когда естественно считать, что при вращении точки угол может быть и больше 2π, а при движении точки по прямой, проходящей через полюс, считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак на отрицательный.

 

Пример 6.2.7. Построить график функции ρ = 2 + 3cos φ.

 

Построение выполняем поточечное. Выяснив область определения функции( ), задаемся для начала значениями φ в интервале [0, 2π ] и вычисляем соответствующие значения ρ:

Номер точки
j									π
r		4, 6	4, 1	3, 5		0, 5	-0, 1	-0, 5	-1	-0, 5

Выполним построение с помощью транспортира.

 

Улитка Паскаля

 

При значениях полученные точки повторяются.

Замечание 1. Если форма кривой неясна, берем промежуточные точки.

Замечание 2. Наиболее часто встречающиеся кривые и их название приведены в справочнике [3].

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
2. I. РАЗВИТИИ ЛЕКСИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЯЗЫКА У ДЕТЕЙ С ОБЩИМ НЕДОРАЗВИТИЕМ РЕЧИ
3. II. О ФИЛОСОФСКОМ АНАЛИЗЕ СИСТЕМЫ МАКАРЕНКО
4. V) Построение переходного процесса исходной замкнутой системы и определение ее прямых показателей качества
5. А. Разомкнутые системы скалярного частотного управления асинхронными двигателями .
6. АВИАЦИОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
7. Автоматизированные информационно управляющие системы сортировочных станций
8. Автоматизированные системы диспетчерского управления
9. Автоматическая телефонная станция квазиэлектронной системы «КВАНТ»
10. Агрегатные комплексы и системы технических средств автоматизации ГСП
11. Алгебраическая сумма всех электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной (какие бы процессы ни происходили внутри этой системы).
12. Алгоритм упорядочивания системы.