Методы обработки числовых данных

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Данные, с которыми приходится иметь дело инженеру, часто представляются в виде таблиц. Таким образом, функция у = f(x) задается не аналитическим выражением, а в виде пар чисел , . Обычно так представляются результаты экспериментов, обработка статистических наблюдений и т.д. Поэтому встает задача аппроксимации дискретной зависимости

непрерывной функцией

,
т.е. задача построения математической модели функции по ее известным значениям.

В зависимости от специфики задачи функция f(х) может отвечать различным требованиям (рис. 4):

1. Функция должна проходить через точки т.е.

В этом случае говорят об интерполяции данных функции во внутренних точках между и об экстраполяции ее за пределами интервала, содержащего все .

2. Функция должна приближать , не обязательно проходя через точки , сглаживая экспериментальную зависимость. Это задача регрессии.

3. должна приближать , учитывая, что данные получены с некоторой погрешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. Задачи такого типа называют задачами фильтрации.

В задачах регрессии данные приближаются некоторой функцией таким образом, чтобы минимизировать совокупность ошибок . Тогда задача нахождения эмпирической функции разбивается на 2 этапа:

1. установить вид зависимости , т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической и т.п.;

2. определить неизвестные параметры функции . Чаще всего параметры функции определяют по методу наименьших квадратов.

Обозначим

, .

Величины называют невязками или отклонениями теоретических значений от соответствующих экспериментальных значений (рис. 5).

В методе наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбирают такие, чтобы сумма квадратов невязок была минимальной, т.е.

Возьмем, например, в качестве функции линейную функцию

Задача сводится к отысканию значений параметров а и дающих минимум функции

Такая функция является функцией двух переменных а и b, т.к. значения и – постоянные числа.

Для того чтобы найти минимум такой функции нужно приравнять к нулю ее частные производные, т.е.

или (20)

Преобразуем систему (20):

(21)

Эта система называется системой нормальных уравнений.

После ее решения определяются параметры а и b. Можно доказать, что в точках а и b функция S имеет минимум.

Аналогичным образом можно получить уравнения для определения коэффициентов при других типах функций.

Пример 2.5. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу для функции, заданной таблицей (табл. 8).

Таблица 8

x	-2
y	0, 5		1, 5

Решение

Сведем все вычисления, необходимые для составления
нормальной системы уравнений (21), в таблицу (табл. 9).

Таблица 9


	–2	0, 5	–1

		1, 5	1, 5


Σ			16, 5

Тогда система нормальных уравнений (21) имеет вид

Отсюда

или

; .

Получаем зависимость

y = 0, 425х + 1, 175.

Для сравнения полученной зависимости и исходных данных

можно составить таблицу

x	–2
y	0, 5		1, 5
0, 425x+1, 175	0, 325	1, 175	1, 6	2, 025	2, 875
δ	–0, 175	0, 175	0, 1	0, 025	–0, 125

Таким образом, разность полученных на основе прямой значений и заданных в табл. 8 составляет менее 10 %.

Реализация численных методов в среде MathCad или SMath Studio

Решение нелинейных уравнений

MathCAD

Для решения одного нелинейного уравнения с одной неизвестной система MathCAD имеет встроенную функцию, которая в зависимости от типа задачи может иметь или два или четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному: root(f(x), x); root(f(x), x, a, b), где f(x) - скалярная функция, определяющая исходное нелинейное уравнение (4.1); х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение; а, b – границы интервала, внутри которопй происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует предварительного задания начального приближения х₀ переменной х. Поиск корня будет производиться вблизи этого значения методом секущих. Если уравнение неразрешимо, то при попытке найти его корень будет выдано сообщение об ошибке. Кроме того, к ошибке или выдаче неправильного корня может привести и попытка применить метод секущих в области локального максимума или минимума функции f(x). В этом случае секущая будет иметь направление, близкое к горизонтальному, выводя точку следующего приближения далеко от предполагаемого корня. Аналогичные проблемы могут возникнуть, если начальное приближение выбрано слишком далеко от настоящего решения, или f(x) имеет особенность типа бесконечности.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [а, b], внутри которого заведомо находится корень. В этом случае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами; присваивать начальное значение переменной х в этом случае не нужно. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента).

SMath Studio

Для решения одного нелинейного уравнения с одной неизвестной система SMath Studio имеет встроенную функцию, которая в зависимости от типа задачи может иметь или два или три аргумента: roots(f(x); x); roots(f(x); x; a), где f(x) – скалярная функция, определяющая исходное нелинейное уравнение (4.1); х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение; а – начальное приближение переменной х.

Пример 3.1. Найти корень уравнения x–sinx–0, 25 = 0 на отрезке [0, 2] с точностью 0, 0001.

Решение

Распечатка MathCAD	Распечатка SMath Studio
f(x): = x – sin(x) – 0.25 x: = 0, 0.1..2 х: = 1 – начальное приближение s: = root(f(x), x) s =1.171 - корень уравнения f(s)=–4.836´ 10^–5 - погрешность	f(x): = x – sin(x) – 0, 25 х0: = 1 – начальное приближение s: = roots(f(x); x; x0) s =1, 1712 - корень уравнения f(s)= –1.8117·10^–5 - погрешность

12 3 4 Следующая ⇒