В21. Матричный метод исследований кинематики пространственных устройств. Прямая и обратная задача кинематики.

В кинематике манипулятора различают 2е задачи:

1. Прямая задача кинематики состоит в определении по известным обобщенным координатам манипуляторов положения некоторого его звена;

2 Обратная задача кинематики представляет собой задачу отыскания обобщенных координат манипулятора по известным значениям положения в пространстве раб. органа манипулятора или его звеньев и сводиться к решению уравнения .

Матричный метод исследований кинематики пространственных устройств.

Опишем два вида матриц: матрицы М, определяющие отношение между системами координат соседних звеньев; матрицы Т, определяющие положение и ориентацию каждого звена механизма в неподвижной или базовой системе координат. Воспользуемся однородными координатами трехмерного проективного пространства РR³, в которых движение евклидова пространства R³ можно представить линейным преобразованием где М_ij - матрица 4x4 вида . Это преобразование эквивалентно преобразованию в эвклидовом пространстве где . То есть преобразованию, которое включает поворот, определяемый матрицей U_ij размерностью 3х3, и параллельный перенос, задаваемый вектором размерностью 3. В однородном пространстве положение точки будут определять не три x, y и z, а четыре величины x', y', z' и t', которые удовлетворяют следующим соотношениям: x = x'/t', y = y'/t', z = z'/t'.

Обычно принимают t'=1. У матрицы поворота U_ij элементами u_ij являются направляющие косинусы углов между новой осью i и старой осью j. Вектор - трехмерный вектор, определяющий положение начала новой системы координат i в старой системе j. Выбор расположения осей должен соответствовать решаемой задаче. При решении задачи о положениях необходимо: в прямой задаче определить положение выходного звена как функцию перемещений в приводах, в обратной - заданное положение выходного звена представить как функцию перемещений в приводах. Выбор расположения и ориентации локальных систем координат должен обеспечивать выполнение этих задач.

В прямой задаче необходимо определить положение схвата манипулятора и связанной с ним системы координат Mx_ny_nz_n по отношению к неподвижной или базовой системе координат Kx₀y₀z₀. Это осуществляется последовательными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i-1. Согласно принятому методу, каждый переход включает в себя последовательность четырех движений: двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности:

· поворот i -ой системы вокруг оси x_i на угол -q_i до параллельности осей z_i и z_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора x_i против часовой стрелки);

· перенос вдоль оси x_i на величину -a_i до совмещения начала системы координат O_i с точкой пересечения осей x_i и z_i-1 (отсчет по оси x_i от точки пересечения оси x_i и оси z_i-1 );

· перенос вдоль оси z_i-1 на величину -s_i, после которого начало системы координат O_i оказывается в начале координат O_i-1 системы (i-1) (отсчитывается по оси z_i-1 от ее начала координат O_i-1 до точки ее пересечения с осью x_i );

· поворот вокруг оси z_i-1 на угол -j_i, до тех пор пока ось x_i не станет параллельной оси x_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора z_i-1 против часовой стрелки).

Необходимо отметить, что знак угла поворота не имеет значения, так как в матрицах перехода используются направляющие косинусы (четные функции). Целесообразно рассматривать угол, обеспечивающий кратчайший поворот оси старой системы i до совмещения (параллельности) с соответствующей осью новой ( i-1). Перемещения начала координат определяются как координаты начала старой системы O_i в новой O_i-1.

В манипуляторах обычно используются одноподвижные кинематические пары или вращательные, или поступательные. Оба относительных движения как вращательное, так и поступательное, реализуются в цилиндрических парах. Поэтому при общем представлении механизма используются цилиндрические пары.

Матрицы перехода их системы O_i в систему O_i-1 можно записать так: , где

	- матрица поворота вокруг оси xiна угол -qi,
	- матрица переноса вдоль оси xi на -ai,
	- матрица переноса вдоль оси zi-1 на -si,
	- матрица поворота вокруг оси zi-1 на угол -ji.

В этих матрицах переменные s_i и j_i соответствуют относительным перемещениям звеньев в кинематических парах и являются обобщенными координатами манипулятора, определяющими конфигурацию механизма в рассматриваемом положении. Переменные a_i и q_i определяются конструктивным исполнением звеньев манипулятора, в процессе движения они остаются неизменными. Положение некоторой произвольной точки М в системе координат звена i определяется вектором r_Mi, а в системе координат звена (i-1) - вектором r_Mi-1. Эти радиусы связаны между собой через матрицу преобразования координат М_i следующим уравнением: , где

1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II.1.2. ГЛОССАРИЙ ИССЛЕДОВАНИЙ КИНО Ю.Н. ТЫНЯНОВА
2. Анализ лабораторных исследований
3. Анализ результатов исследований
4. Анализ теоретико-экспериментальных исследований и формулирование выводов и предложений
5. Ведение журнала геолого-технологических исследований
6. Виды пиротехнических устройств.
7. Выбор методов проведения маркетинговых исследований
8. Выбор основных направлений исследований
9. ГЛАВА 5. АВТОМАТИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
10. ГЛАВА 6 МЕТОДОЛОГИЯ И МЕТОДЫ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
11. Данные исследований П.И. Зинченко