СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ.

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими. Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр.= -β v. (17.20.)

Рис. 96. Затухающие колебания в контуре.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.

Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. Если в электрическом контуре имеется активное сопротивление R, то в нем наблюдаются затухающие колебания, т.е. колебания в которых амплитуды тока, напряжения и заряда со временем уменьшаются. При этом суммарная энергия электрического и магнитного полей постепенно превращается в тепловую энергию, по закону Джоуля-Ленца. Полная энергия контура

W_E + W_B+ W_Q= Q²/(2C) + (Q^/)²Rt +(Q^/)².(L/2) = const. (17.21.)

где Q²/(2C) (17.22.)

- энергия электростатического поля, (Q^/)²Rt (17.23.)

- джоулева энергия и (Q^/)².(L/2) (17.24.)

- энергия магнитного поля. Продифференцируем уравнение полной энергии по t

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt + (dQ/dt)².R + (L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² = 0. (17.25.)

Упростим выражение, приведя подобные величины

(1/C).Q + dQ/dt.R + (L).d²Q/dt² = 0. (17.26.)

или d²Q/dt² + 2(R/2L).dQ/dt + (1/LC).Q = 0, (17.27.)

d²Q/dt² + 2d.dQ/dt + w²₀.Q = 0, (17.28.)

где w = 1/LC) (17.29.)

- собственная частота контура, d = (R/2L) (17.30.)

- коэффициент затухания. Из решения дифференциального. уравнения следует, что колебания заряда совершаются по закону:

Q = Q_max.e^-^d^t.cos(wt), (17.31.)

с частотой w = Ö (1/LC - R²/4L²) (17.32.)

меньшей собственной частоты контура w₀. Логарифмический декремент затухания определяется формулой

J = ln[Q(t)/Q(t + T)] = dT. (17.33.)

Сила тока в любой момент времени определяется как dQ/dt, а колебания тока совершаются по закону

I = I_max.e^-^dsin(wt) = I_max.e^-^d^t.cos(wt + p/2). (17.34.)

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периодакак промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины.

При увеличении коэффициента затухания d период затухающих колебаний Т растет и при d = w₀ обращается в бесконечность и процесс не будет периодическим. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e = 2, 7 раза, называется временем затухания τ. Понятие добротности Q колебательной системы:

Q = π N = π (τ /T), (17.35.)

где N – число полных колебаний за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы имеет энергетическое определение:

Q = 2π [(Запас энергии в колебательной системе)/(Потеря энергии за 1 период)]. (17.36.)

Для RLC -контура добротность Q выражается формулой

Q = (1/R)√ (L/C). (17.37.)

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен. Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω ₀ идеального контура с теми же значениями L и C.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания необходимо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

X (t) = X₀ cos(ω t). (17.38.)

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями. Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь. Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω ₀. Если частота ω ₀ свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

Для установления стационарных вынужденных колебаний необходимо некоторое время Δ t после включения в цепь внешнего источника. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи. Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Для получения в реальной колебательной системе незатухающих колебаний, возможно только с помощью внешнего источника энергии, подающего эту энергию периодически, чаще всего, по гармоническому закону W_внеш. = W₀.cos(wt). (17.39.)

Тогда уравнение для энергии в колебательном контуре:

W_E + W_B+ W_Q= W_внеш. (17.40.)

Рис. 97. Вынужденные колебания в контуре.

С учетом выражений для энергий на конденсаторе, сопротивлении и индуктивности, после дифференцирования по времени, получим:

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt + (dQ/dt)².R + (L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² =

= W₀.w.cos(wt). (17.41.)

Упростим выражение, приведя подобные величины с учетом того, что W₀ можно записать, как (U₀.I)/w и получим

(1/C).Q + dQ/dt.R + (L).d²Q/dt² = U₀сos(wt) (17.42.)

или d²Q/dt² + 2(R/2L).dQ/dt + (1/LC).Q = (U₀/L).cos(wt), (17.43.)

и d²Q/dt² + 2d.dQ/dt + w²₀.Q = (U₀/L).cos(wt). (17.44.)

Решение такого дифференциального уравнения находится как СУММА общего решения однородного дифф. уравнения и частного решения неоднородного дифф. уравнения. Частное решение ищем в комплексном виде. Для этого, заменим правую часть нашего уравнения на комплексную величину (U₀/L).eⁱ^w^.t =Q₀.eⁱ^w^.t (17.45.)

d²Q/dt² + 2d.dQ/dt + w²₀.Q = (U₀/L).eⁱ^w^.t. (17.46.)

или d²Q/dt² + 2d.dQ/dt + w²₀.Q = Q₀.eⁱ^w^.t (17.47.)

Частное решение уравнения будем искать в виде Q = Q₀.eⁱ^h^.t. (17.48.)

Подставляя это выражение для Q и его производных

dQ/dt = ihQ₀.eⁱ^h^.^t и d²Q/dt²= - h²Q₀.eⁱ^h^.^t (17.49.)

в наше дифференцивльное уравнение, получим:

Q.eⁱ^h^.t(-h²+ 2idh + w²₀) = Q₀.eⁱ^w^.t. (17.50.)

Такое равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время должно быть из него исключено. Значит, h=w. С учетом этого, найдем Q₀ и умножив ее числитель и знаменатель на (w²₀ - w² - 2idw):

Q₀ = (U₀/L)/(w²₀ - w² - 2idw) = (17.51.)

= (U₀/L).{(w²₀ - w² - 2idw)/[(w²₀ - w²)² + 4d²w²]}. (17.52.)

Комплексное число удобно записать в экспоненциальной форме

Q₀ = Q_m..e^-i^j, (17.53.)

где Q_m. = (U_m_./L)/Ö [(w²₀ - w²) + 4d²w²], (17.54.)

a j = arctg[(2dw)/(w²₀ - w²)]. (17.55.)

Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, также зависят от w.

Рис. 98.

И решение уравнения в комплексной форме Q = Q_m.eⁱ⁽^w^{t -}^j⁾. (17.56.)

С учетом w²₀ = 1/(LC) (17.57.)

и d = R/(2L) (17.58.)

получим: Q_m. = U_m./{wÖ [R² + (wL - 1/wC)²]}, (17.59.)

и tga = R/[1/(wC) - wL]. (17.60.)

Продифференцировав Q = Q_m.cos(wt - a) (17.61.)

по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

I = - wQ_m.sin(wt - a) = I_m.cos(wt - a + p/2), (17.62.)

где I_m. = wQ_m. = U_m./Ö [R² + (wL - 1/wC)]. (17.63.)

или I = I_m.cos(wt -j), (17.64.)

где j = (a - p/2) (17.65.)

— сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. Для

tgj = tg(a - p/2) = - 1/tga = (wL - 1/wC)/R]. (17.66.)

Из последнего выражения следует ряд выводов. Если wL > 1/wC то ток отстает по фазе от напряжения, т.е. w > 0, если же

wL < 1/wC, то ток опережает напряжение, т.е. j < 0.

При определенном (резонансном) значении частоты w амплитуда заряда достигает максимума. Для нахождения этой частоты находим максимум функции Q, продифференцируем подкоренное выражение по частоте w и приравняем полученное нулю.

- 4(w²₀ - w²)w + 8d²w = 0, (17.67.)

Это равенство выполняется при значениях частоты, w = 0 или

+- Ö (w²₀ - 2d²), у которых, только положительные значения имеют физический смысл. Реальная резонансная частота вынужденных колебаний в контуре отличается от частоты собственной w₀.

w_рез. = Ö (w²₀ - 2d²) (17.68.)

⇐ Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 202122 Следующая ⇒