Мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении. Средняя мощность переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю.

⇐ ПредыдущаяСтр 20 из 22Следующая ⇒

МОЩНОСТЬ, ВЫДЕЛЯЕМАЯ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА, ЗАВИСИТ НЕ ТОЛЬКО ОТ СИЛЫ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ, НО И ОТ СДВИГА ФАЗ МЕЖДУ НИМИ.

Формула показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosj =1 и P=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cosj=0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosj имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I , что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить соsj, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0, 85.

ЛЕКЦИЯ № 17.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ.

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур — это цепь, состоящая из включенных последовательно индуктивности L, емкости C и сопротивления R. В контуре наблюдаются электромагнитные колебания, при которых электрические и магнитные величины периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей. В момент времени t = 0 энергия электрического поля между обкладками конденсатора равна

W_Э = Q²/(2C). (17.1.)

При замыкании конденсатора на катушку индуктивности L, по цепи потечет изменяющийся по времени электрический ток I и конденсатор начнет разряжаться. В индуктивности возникнет магнитное поле, энергия которого будет увеличиваться до W_М= (Q^/)².L/2 = (LI²)/2. (17.2.)

При R = 0 согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура в любой момент времени будет постоянной и равной

W=W_Э +W_М = Q²/(2C)+ (Q^/)²(L/2) = const. (17.3.)

В момент времени t=T/4, конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля станет равной 0, а энергия магнитного поля (и ток) будет максимальной. После этого ток в контуре будет убывать, будет уменьшаться и энергия магнитного поля. Но, по правилу Ленца, индуктивный ток в катушке будет продолжать течь в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться с противоположной первоначальной полярностью поля. Увеличивающееся электростатическое поле будет ослаблять ток индукции, который к t = T/2 станет равным 0, а заряд на обкладках конденсатора станет максимальным, т.е. равным по величине первоначальному (но противоположной полярности). После этого начнется обратный процесс, протекающий по такому же механизму. К t = T, система вернется к первоначальному состоянию, и процесс начнется снова. Продифференцируем уравнение энергии W = Q²/(2C) + (Q^/.)².(L/2) (17.4)

по времени, отметив что Q^/ = dQ/dt. (17.5)

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt +(L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² =0. (17.6)

Упростим выражение, приведя подобные величины, и получим

d²Q/dt² + (1/LC).Q = 0, (17.7)

дифференциальное уравнение относительно Q. Из него получим

Q = Q_max.cos(w₀t). (17.8)

Заряд Q совершает гармонические колебания, где Q_max _. - амплитуда заряда, w₀ — циклическая частотой контура равная w₀ = 1/Ö (LC). (17.9)

Период колебаний заряда в контуре определяется по формуле

Т = 2pÖ (LC). (17.10)

Силу тока в колебательном контуре легко найти по формуле

I = dQ/dt = -w₀Q_max_.sin(w₀t) = I_max_.cos(w₀t + p/2), (17.11)

где I_max. = w₀Q_max _. (17.12)

— амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе

U_C = Q/C = Q_max./C.cos(w₀t) = U_max.cos(w₀t), (17.13)

где U_max. = Q_max./C (17.14)

— амплитуда напряжения. Из уравнений для тока и напряжения следует, что колебания тока опережают по фазе колебания заряда и напряжения на угол p/2, т.е. когда ток в контуре максимален заряд и напряжение на конденсаторе равны нулю. Сравним электрические колебания в контуре с колебаниями пружинного маятника, сопровождающимися взаимными превращениями кинетической и потенциальной энергий.

потенциальная энергия упругой деформации (x²).k/2 (17.15)

аналогична энергии электростатического поля (Q²)./2C, (17.16)

кинетическая энергия (m(x^/)²)/2 = (mv²)/2 (17.17)

— энергии магнитного поля (L(Q^/)²/2 = (LI²)/2, (17.18)

смещение х - заряду Q, коэффициент упругости k - обратной емкости 1/C, скорость v - силе тока I, масса m - индуктивности L.

Рис. 92. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Таблица сравнения электрических и механических величин.

Электрические величины	Механические величины
Заряд конденсатора	Q(t)	Координата	X(t)
Ток в цепи	I=dq/dt	Скорость	V=dx/dt
Индуктивность	L	Масса	m.
Величина, обратная электроемкости	1/C	Жесткость	k.
Напряжение на конденсаторе	U=q/C	Упругая сила	Kx.
Энергия электрического поля конденсатора	q²/2C	Потенциальная энергия пружины	kx²/2
Магнитная энергия катушки	LI²/2	Кинетическая энергия	mv²/2
Магнитный поток	LI.	Импульс	Mv.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими. Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

ω = 1/√ LC. (17.19)

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.

17.2. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой

Частоты Х₁ = A_1m cos(w₀t + j₁), Х₂ = A_2m cos(w₀t + j₂),

Taк как векторы A₁ и А₂ имеют одинаковую частоту w₀, то разность фаз (j₂—j₁) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет Х=Х₁+Х₂=A_mcos(w₀t+ j),

где амплитуда А и начальная фаза j соответственно задаются

соотношениями A² = A₁² + A₂²+ 2A₁A₂cos(φ ₂- j₁), и

tgφ = (A₁sinj₁ + A₂sin j₂)/(A₁cosj₁+A₂cos j₂).

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j₂—j₁) складываемых колебаний. При:

1) j₂-j₁= ±2mp (т=0, 1, 2, ...), тогда A=A₁+A₂ , т. е. амплитуда результирующего колебания А равнасумме амплитуд складываемых колебаний;

2) j₂-j₁= ±(2m+1)p (т=0, 1, 2,...), тогда A=|A₁–A₂|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w₀:

S = f(t) = (A₀/2)+A₁cos(w₀t+j₁)+A₂ cos(2w₀t + j₂) + …..+ A_m cos(mw₀t + j₂),

Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. *Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w₀, 2w₀, 3w₀, ..., называются первой (или основной ), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

Рис. 93.

17.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты w, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем Х = Acos(w₀), У = Вcos(w₀t + ά ),

где a — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

Х/A = cos(w₀), У/В = cos(w₀t + ά ) = cos(w₀)cosά + sin(w₀)sinά,

заменяя во втором уравнении coswt на х/А и sinwt на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса , оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:

х²/A² – 2ху/АВcosά + у²/В² = sin²ά,

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз a. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

Рис. 94.

1) a = mp(m=0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой у = +-(В/А)х. где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т, а знак минус — нечетным значениям т (рис. ). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой w и амплитудой , совершающимся вдоль прямой, составляющей с осью х угол j=arctg . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

2) a = (2m+1) (m=0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид

х²/А² + у²/В = 1. Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам. Кроме того, если А=В , то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Рис. 95.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. * Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной j ).

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

⇐ Предыдущая 13 14 15 16 17 18 192021 22 Следующая ⇒