![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Неопределённый интеграл. Определение и свойстваСтр 1 из 7Следующая ⇒
ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределённый интеграл. Определение и свойства
В дальнейшем под промежутком Х будем понимать одноиз следующих множеств (а, b), Определение 1. Функция F(x) называетсяпервообразнойдля f(x) на промежутке Х если выполняются следующие условия: а) функция f(x) определена на промежутке Х; б) функция F(x)непрерывна и дифференцируема во всех внутренних точках Х; в) Примеры. 1) 2) 3) Из определения 1 очевидно, что если F(x) является первообразной для f(x), то F(x) + C также является первообразной для этой функции. Как отличаются между собой две первообразные? Теорема 1. Если □ Положим Следствие. Если F(x) одна из первообразных для f(x) на Х, то любая другая первообразная Ф(х) для f(x) на Х имеет вид Определение 2. Множество всех первообразных функций f(x) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) на Х и обозначается
Под знаком интеграла
Примеры. 1) 2) Свойства интегралов 1. 2. □ 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a= const
□ Пусть F(x) – первообразная для f(x), т.е.
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов от этих функций, т.е.
□ Пусть
В силу определения интеграла и равенства
Таблица интегралов 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Справедливость этих формул проверяется непосредственно дифференцированием правой части. Эти интегралы называются табличными. Интегралы от более сложных функций находятся с помощью свойств интегралов и таблицы интегралов. Замечание. В теории дифференцирования функций было установлено, что производная любой элементарной функции тоже представляет элементарную функцию, т.е. применение операции дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. С операцией интегрирования сложнее. Интегралы от некоторых элементарных функций не выражаются через элементарные функции, т.е. не являются элементарными. Например,
Эти интегралы называют специальными функциями. Они часто используются в различных разделах физики и других дисциплинах. Для них составлены таблицы, графики, компьютерные программы. Геометрические приложения определённого интеграла Несобственные интегралы ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределённый интеграл. Определение и свойства
В дальнейшем под промежутком Х будем понимать одноиз следующих множеств (а, b), Определение 1. Функция F(x) называетсяпервообразнойдля f(x) на промежутке Х если выполняются следующие условия: а) функция f(x) определена на промежутке Х; б) функция F(x)непрерывна и дифференцируема во всех внутренних точках Х; в) Примеры. 1) 2) 3) Из определения 1 очевидно, что если F(x) является первообразной для f(x), то F(x) + C также является первообразной для этой функции. Как отличаются между собой две первообразные? Теорема 1. Если □ Положим Следствие. Если F(x) одна из первообразных для f(x) на Х, то любая другая первообразная Ф(х) для f(x) на Х имеет вид Определение 2. Множество всех первообразных функций f(x) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) на Х и обозначается
Под знаком интеграла
Примеры. 1) 2) Свойства интегралов 1. 2. □ 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a= const
□ Пусть F(x) – первообразная для f(x), т.е.
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов от этих функций, т.е.
□ Пусть
В силу определения интеграла и равенства
Таблица интегралов 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Справедливость этих формул проверяется непосредственно дифференцированием правой части. Эти интегралы называются табличными. Интегралы от более сложных функций находятся с помощью свойств интегралов и таблицы интегралов. Замечание. В теории дифференцирования функций было установлено, что производная любой элементарной функции тоже представляет элементарную функцию, т.е. применение операции дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. С операцией интегрирования сложнее. Интегралы от некоторых элементарных функций не выражаются через элементарные функции, т.е. не являются элементарными. Например,
Эти интегралы называют специальными функциями. Они часто используются в различных разделах физики и других дисциплинах. Для них составлены таблицы, графики, компьютерные программы. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-11; Просмотров: 611; Нарушение авторского права страницы