Вычисление определенного интеграла

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Формула Ньютона-Лейбница. Введем понятие интеграла с переменным верхним пределом. Пусть f(x) интегрируема на любом отрезке содержащемся в интервале (а, b) и с – некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда каково бы ни было число (a, b) функция f(x) – интегрируема на [c, x]. Следовательно, на (a, b) может быть определена функция

которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 21. Любая непрерывная в интервале (a, b) функция f(x) имеет в этом интервале первообразную, причем одной из первообразных является функция

, где .

⁪ □ Надо показать, что, для любого x (a, b) существует предел

=f(x).

Возьмем приращение , так чтобы точка x+ є (a, b) (рис.1).

Рис.1.

Тогда по свойствам определенного интеграла имеем:

Так как f(x) непрерывна на (a, b), то при Δ x→ 0, ξ → xи f(ξ )→ f(x). Откуда

. ■

Замечание. Аналогично доказывается теорема для функции непрерывной на [a, b], причем в качестве нижнего предела интегрирования можно взять точку а.

Следствие 1. При доказательстве теоремы установлено существование производной от интеграла с переменным верхним пределом, причем

т.е. производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подинтегральной функции.

Следствие 2. Если f(x) интегрируема на любом отрезке, лежащем в [a, b], то интеграл с переменным верхним пределом представляет непрерывную функцию.

Теперь докажем основную формулу интегрального исчисления. Ранее было доказано, что любые две первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину. Тогда по теореме 21 можно утверждать, что любая первообразная Ф(x) непрерывная на отрезке [a, b] и имеет вид , где С – некоторая постоянная. Положим здесь x=a. Тогда

Откуда следует формула, которая называется формулой Ньютона-Лейбница:

Таким образом, для вычисления определенного интеграла от функции f(x) нужно найти разность значений её первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Примеры. 1)

Замена переменной и интегрирование по частям. Для определенного интеграла, как и неопределенного, имеют место формулы замены переменной и интегрирования по частям.

Теорема 22. Пусть выполняются следующие условия:

1) функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b];

2) функция имеет непрерывную производную на [α, β ];

3) [a, b] = .

Тогда справедлива формула замены переменных в определенном интеграле

□ Пусть Ф(х) некоторая первообразная f(x), тогда . Так как Ф(х) и дифференцируемы, то правилу дифференцирования сложных функций имеем

Отсюда следует, что функция является на отрезке [α, β ] первообразной дляфункции . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:

Поскольку то, приравнивая, получим

. ■

Пример . Вычислить .

Решение. Рассмотрим подстановку , . Проверим законность такой подстановки. Во-первых, функция непрерывна на отрезке . Во-вторых, функция дифференцируема на отрезке и её производная непрерывна на отрезке . В-третьих, при изменении t от 0 до функция изменяется от 0 до 1, причем и . Таким образом, данная подстановка удовлетворяет всем условиям теоремы 22. Применяя формулу замены переменных, получаем

Замечание. При использовании формулы замены переменных необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

Пример. Рассмотрим интеграл . Однако, если этот же интеграл записать по-другому и сделать формально замену, то получим

Как видно, пришли к абсурду. Это произошло потому, что функция разрывная при и не удовлетворяет условиям теоремы 22.

Теорема 23. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [a, b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям для определенных интегралов: