ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

И ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

Методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине для студентов заочной и заочной сокращенной форм обучения направления 13.03.02 «Электроэнергетика

И электротехника»

Одобрено УМКН по направлению 13.03.02 «Электроэнергетика и

электротехника», протокол № __ от «__» _____________ 2015 г.

Саратов - 2015

Рецензенты: к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Автоматизированные электротехнологические установки и системы» Тригорлый Сергей Викторович; д.т.н., доцент, профессор кафедры «Автоматизированные электротехнологические установки и системы» Антонов Игорь Николаевич

Численные методы решения задач электродинамики и тепломассопереноса: метод. указания по выполнению контрольной работы по дисциплине для студентов заочной и заочной сокращенной форм обучения напр. 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» / Саратовский гос. техн. ун-т им. Гагарина Ю.А.; сост.: В.С. Алексеев, В.А. Лаврентьев. - Саратов: СГТУ, 2015. – 44 с.

Учебное издание

Вадим Сергеевич АЛЕКСЕЕВ, Владимир Александрович ЛАВРЕНТЬЕВ

университет имени Гагарина Ю.А., 2015

ВВЕДЕНИЕ

Контрольная работа – это одна из основных форм рубежного контроля студенческих знаний (как правило, для студентов заочной формы обучения). Цель контрольной работы заключается в оценке качества усвоения студентами отдельных, как правило, наиболее важных разделов, тем и вопросов изучаемой дисциплины, а также умения решать конкретные практические и теоретические задачи.

Тематика контрольных работ разрабатывается преподавателем, читающим данную дисциплину. Вариант контрольной работы (Приложение 2) определяется в порядке, установленном преподавателем: по последней цифре номера зачетной книжки, по фамилии, по списку группы. Замена варианта контрольной работы не допускается.

В контрольной работе должны быть правильно решены поставленные задачи. При написании контрольной работы студент должен использовать методические указания по выполнению контрольной работы, новейшую литературу по данной дисциплине, а также литературные и нормативные источники, рекомендованные преподавателем.

Проверка контрольной работы позволяет выявить насколько глубоко и полно студент усвоил соответствующие разделы или темы курса, имеются ли недоработки, пробелы в усвоении изучаемого материала. Положительной оценкой работы является «зачтено». За работы, не удовлетворяющие предъявляемым требованиям, выставляется «незачтено». Оценку «зачтено» выставляется работам, которые отвечают следующим требованиям:

• контрольная работа строго соответствует варианту, который определяется в соответствии с методическими указаниями;

• все вопросы задания раскрыты полно, четко и логически последовательно;

• контрольная работа выполнена студентом самостоятельно;

• контрольная работа оформлена в соответствии с настоящими рекомендациями.

Замечания, выявленные преподавателем в ходе проверки, фиксируются на полях работы. К рассмотрению не принимаются ксерокопии контрольных работ и работы, которые выполнены с нарушением установленных требований, Студент, контрольная работа которого не получила положительную оценку, не допускается к сдаче экзамена по дисциплине. Объем контрольной работы – 10-15 печатных страниц.

Контрольная работа регистрируется на кафедре в установленные сроки. Непредставление работы в срок является основанием не допуска студента к экзамену по данной дисциплине.

Структура контрольной работы

Структура контрольной работы по дисциплине «Численные методы решения задач электродинамики и тепломассопереноса» содержит следующие структурные элементы: титульный лист (Приложение 1); содержание; основная часть (решение задач с описанием процесса решения); заключение; список использованных источников.

Порядок выполнения контрольной работы

Приступать к написанию контрольной работы следует лишь после изучения методических указаний по выполнению контрольной работы, основных тем дисциплины, основываясь на учебных материалах из списка основной литературы, рекомендованной по данному курсу, дополнительной учебной литературы, и нормативного материала по избранной теме (при наличии такой необходимости). Список рекомендуемой преподавателем научной литературы необходимо рассматривать как основу для самостоятельного поиска и анализа.

Подбор материала и план контрольной работы разрабатывается студентом самостоятельно, что дает преподавателю основание оценить степень усвоения изученного материала. При написании контрольной работы студенту следует проявить самостоятельность и не прибегать к простому переписыванию литературы. Преподаватель вправе учитывать качество проделанной работы при сдаче студентом зачета или экзамена по соответствующей дисциплине.

Введение контрольной работы должно содержать формулировку контрольного задания, краткое изложение цели контрольной работы.

Основная часть контрольной работы должна содержать базовые определения, доказательства, описание методики расчётов. В ходе написания основной части следует давать ссылки на используемые источники информации. В этой части следует также изложить ход собственных рассуждений, описать последовательность расчётов, привести промежуточные доказательства и результаты решения поставленной задачи.

В заключении следует сформулировать краткие выводы по проделанной работе и привести список использованных источников информации.

Типичными ошибками при выполнении контрольной работы являются:

• несоответствие содержания контрольной работы цели и поставленным задачам;

• неверное решение предложенных задач;

• нарушение установленных требований к оформлению работы;

• использование информации без ссылок на источник информации.

Выполненную контрольную работу следует сдать на кафедру в срок не позднее 10 дней до начала экзамена по дисциплине. Сданные контрольные работы подлежат регистрации в специальном журнале. Дата регистрации должна быть отмечена сотрудником кафедры на титульном листе контрольной работы. Зарегистрированные контрольные работы передаются на рецензирование преподавателю. Если сроки предоставления контрольной работы на рецензирование не соблюдены, то работа не проверяется преподавателем и не зачитывается как выполненная. Это является основанием не допуска студента к экзамену по данной дисциплине.

Сроки хранения контрольных работ устанавливаются в соответствии с номенклатурой дел СГТУ имени Гагарина Ю.А.

Оформление содержания контрольной работы

Общий объем контрольной работы должен быть в пределах 10-15 печатных страниц, оформленных в соответствии с ГОСТ 2.105-95.

Студент выполняет текстовый вариант работы на белой бумаге формата А4 (210× 297 мм). Текст работы должен быть изложен на одной стороне листа. Все буквы, цифры и знаки контрольной работы должны быть черного цвета. При согласовании с преподавателем допускается предоставление контрольной работы в рукописном виде.

Текст реферата, рисунки, формулы, таблицы, а также номера страниц не должны выходить за пределы двухсантиметровой рамки листа А4. Номера страниц должны быть проставлены в правом верхнем углу. При использовании текстового редактора Word, для выполнения этих условий необходимы следующие настройки:

• размер бумаги А4;

• поля слева – 3 см; сверху и снизу по 2 см; правое поле 1, 5 см;

• номер страницы – правый верхний угол.

Основной текст контрольной работы набирается шрифтом Times New Roman, размер 14 пт, начертание обычное, через полуторный интервал, выравнивание по ширине страницы. Формулы набираются в формульном редакторе Microsoft Equation 3.0. Высота символов в формуле должна соответствовать размеру символов основного текста. Формулы выравниваются по центру. Для оформления таблиц и подписей к рисункам допускается Times New Roman, размер 12 пт.

Рекомендуемое количество использованных источников определяется преподавателем дисциплины, по которой выполняется контрольная работа.

Контрольная работа должна быть переплетена в обложку или помещена в папку–скоросшиватель (картонную или пластиковую).

Вместе с бумажной версией на кафедру должна быть сдана электронная версия контрольной работы. Название файла должно иметь вид: ФамилияИО_группа_год_7.doc.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Метод половинного деления

Найдем приближенно с точностью . Эта задача эквивалентна решению уравнения , или нахождению нуля функции . В качестве начального отрезка возьмем отрезок . На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: . Найдем число делений отрезка , необходимых для достижения требуемой точности. Имеем:

Следовательно, не позднее 6-го деления найдем с требуемой точностью, . Результаты вычислений представлены в табл.


	1, 0000	1, 0000	1, 0000	1, 1250	1, 1250	1, 1406	1, 1406
	2, 0000	1, 5000	1, 2500	1, 2500	1, 1875	1, 1875	1, 1562
	1, 5000	1, 2500	1, 1250	1, 1875	1, 1406	1, 1562	1, 1484
Зн	-	-	-	-	-	-	-
Зн	+	+	+	+	+	+	+
	5, 5938	0, 7585	-0, 2959	0, 1812	-0, 0691	0, 0532	-0, 0078
–	1, 0000	0, 5000	0, 2500	0, 1250	0, 0625	0, 0312	0, 0156

Метод простой итерации

Пример 1. Используем метод простой итерации для решения уравнения с точностью . Преобразуем уравнение к виду:

, т. е. .

Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке . Вычислив значения на концах отрезка, получим: , а , т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки,

поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.

Рис. 7

Подсчитаем первую и вторую производные функции :

Так как на отрезке , то производная монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке . Поэтому справедлива оценка:

Таким образом, условие выполнено, и можно воспользоваться критерием окончания вычислений. В табл. приведены приближения, полученные по расчетной формуле. В качестве начального приближения выбрано значение .


		0, 8415	0, 8861	0, 8712	0, 8774	0, 8765

Критерий окончания выполняется при , . Сходимость двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 4. Приближенное значение корня с требуемой точностью .

Пример 2. Решить методом простой итерации уравнение на отрезке с точностью 0, 025. Для решения исходное уравнение приводится к виду . Для выбора величины используем приведенную выше формулу . Тогда расчетная формула имеет вид . В качестве начального приближения можно выбрать верхнюю границу заданного отрезка .


		0, 8	0, 78

Так как , то .

Метод Ньютона (касательных)

Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0, 0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале . В этом интервале и . Так как и , то за начальное приближение можно принять .


-11		-5183	0, 6662
-10, 3336	307, 3	4276, 8	0, 0718
-10, 2618	3, 496	4185, 9	0, 0008
-10, 261	0, 1477	-	-

. Поэтому .

Метод хорд

Найти положительный корень уравнения с точностью . Отделим корень. Так как , , то . Разделим интервал пополам: , тогда .

Найдём производные: , . Исходя из того, что , то и пользуемся формулой (10): , .

, , .

Так как , то .

Комбинированный метод

Пример. Вычислить положительный корень уравнения . Так как , то .

, на , поэтому .

; .

Так как , то

; .

Так как , то .

Решение.

1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепишем систему в виде:

Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области и .

За начальное приближение принимают и .

2) Находим



0, 5	-0, 1052		-8, 76	49, 32
-0, 46	-0, 3848		2, 76
0, 5742	0, 0114	2, 2968	-8, 7306	51, 2203
-0, 4551	0, 0052	5, 1484	2, 7306
0, 5727	0, 00006	2, 2908	-8, 7252	51, 1375
-0, 4542	-0, 00011	5, 1454	2, 7252
0, 5727
-0, 4542

Поскольку , то .

Окончательный ответ: и .

Решение.

1) Приведем систему к форме:

2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два графика и и найдя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в области и .

3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:

Следовательно,

и т.е. условия сходимости выполняются.

4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:

Выберем следующие начальные значения: .

	0, 15	0, 1616	0, 1508	0, 1539	0, 1510	0, 1519	0, 1510
	-2	-2, 035	-2, 0245	-0, 0342	-2, 0313	-2, 0341	-2, 0333

Поскольку , то и .

Метод наименьших квадратов

Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.



	-1

Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; .

Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид:

Решая эту систему, получим:

Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид:

И коэффициенты равны:

. Тогда

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.

Таблица 3



-1
-1	0, 7	2, 4	4, 1	5, 8
-1	0, 62	2, 24		6, 9

Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:

Многочлен Лагранжа

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функцией в точках

Решение. Составим таблицу

х	-2	-4/3		4/3
у

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

Решение.

х	у
	1, 6990
		0, 0414
	1, 7404		-0, 0036
		0, 0378		0, 0005
	1, 7782		-0, 0031
		0, 0347
	1, 8129

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

Литература

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях [Электронный ресурс]: учебное пособие / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. - 3-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. - 240 с. - Режим доступа: http: //www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996322664.html. – ЭБС " Электронная библиотека технического ВУЗа".

2. Численные методы [Электронный ресурс] / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 7-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 636 с. - Режим доступа: http: //www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996308026.html. – ЭБС " Электронная библиотека технического ВУЗа".

3. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Текст]: учеб. пособие по курсу " Математическое моделирование" для студ. всех спец. / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2011. - 64 с. – Экземпляров всего: 3. Имеется электронный аналог печатного издания.

4. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Электронный ресурс]: учеб. пособие / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. – Электрон. текстовые дан. – Саратов: СГТУ, 2011. – 1 эл. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: 128 МБ ОЗУ; 4х CD-ROM дисковод; Microsoft Office 2003 и выше; ПК Pentium III или выше. - Загл. с экрана. – б. ц.
Электронный аналог печатного издания. Диск помещен в контейнер 14х12 см. Режим доступа: http: //lib.sstu.ru/books/zak 52_11.pdf.

5. Покровский В.В. Электромагнетизм. Методы решения задач [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Покровский В.В. – Электрон. текстовые данные. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 120 c. – Режим доступа: http: //www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996306411.html. – ЭБС «" Электронная библиотека технического ВУЗа»

6. Григорьев А.Д. Методы вычислительной электродинамики [Электронный ресурс]/ Григорьев А.Д. – Электрон. текстовые данные. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 432 c. – Режим доступа: http: //www.iprbookshop.ru/33386. – ЭБС «IPRbooks».

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Кафедра «Автоматизированные электротехнологические установки и системы»

Контрольная работа по дисциплине

«Численные методы решения задач электродинамики

И тепломассопереноса»

Вариант №

Выполнил: ст-т гр. б1ЭЛЭТ-21