Построение интерполяционных многочленов

Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функцией в точках .

Решение. Пусть , поэтому имеем

.

Отсюда .

Поэтому при .

 

Многочлен Лагранжа

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функцией в точках

.

Решение. Составим таблицу

х	-2	-4/3		4/3
у

 

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

 

Многочлен Ньютона с конечными разностями

Пример 1. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функция задана таблицей

 

х		0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5
у		0, 1002	0, 2013	0, 8045	0, 4108	0, 5211

Решение. Составляем таблицу конечных разностей.

х	у
		0, 1002
0, 1	0, 1002		0, 0009
		0, 1011		0, 0012
0, 2	0, 2013		0, 0021		-0, 0002
		0, 1032		0, 0010		0, 0001
0, 3	0, 3045		0, 0031		-0, 0001
		0, 1063		0, 0009
0, 4	0, 4108		0, 0040
		0, 1103
0, 5	0, 5211

 

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед тогда и

Пример 2. Задана таблица. Найти .

 

х
	0, 2588
		0, 0832
	0, 3420		-0, 026
		0, 0806		0, 0006
	0, 4226		-0, 032
		0, 0774		0, 0006
	0, 5		0, 038
		0, 0736
	0, 5736

При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

 

Приближенное дифференцирование

Найти функции , заданной таблично.

Решение.

х	у
	1, 6990
		0, 0414
	1, 7404		-0, 0036
		0, 0378		0, 0005
	1, 7782		-0, 0031
		0, 0347
	1, 8129

 

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

.

 

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

 

Метод Эйлера для решения задачи Коши

Найдем решение на отрезке следующей задачи Коши: , . Возьмем шаг . Тогда .

Расчетная формула метода Эйлера имеет вид:

 

, .

 

Решение представим в виде таблицы:

 

 

		0, 2	0, 4	0, 6	0, 8	1, 0
	1, 0000	1, 2000	1, 3733	1, 5294	1, 6786	1, 8237

Исходное уравнение есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде: .

 

Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение в виде таблицы:

		0, 2	0, 4	0, 6	0, 8	1, 0
	1, 0000	1, 1832	1, 3416	1, 4832	1, 6124	1, 7320

 

Из таблицы видно, что погрешность составляет

.

Модифицированные методы Эйлера

Пример 1. Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в предыдущем примере. Возьмем шаг . Тогда , и расчетная формула первого модифицированного метода Эйлера имеет вид: , где

, ,

, .

Решение представим в виде таблицы.

			0, 1	0, 1	1, 1	0, 1836
	0, 2	1, 1836	0, 0850	0, 3	1, 2682	0, 1590
	0, 4	1, 3426	0, 0747	0, 5	1, 4173	1, 1424
	0, 6	1, 4850	0, 0677	0, 7	1, 5527	0, 1302
	0, 8	1, 6152	0, 0625	0, 9	1, 6777	0, 121
		1, 7362

 

Третий столбец таблицы содержит приближенное решение . Сравнивая полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице, видим, что погрешность составляет

.

Пример 2. Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в примере 1. Так же, как и ранее, зададим шаг . Тогда

.

В соответствии с данными формулами получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:

,

где , , , , .

Решение представим в виде таблицы.

 

			0, 1	0, 2	1, 2	0, 867
	0, 2	1, 1867	0, 0850	0, 4	1, 3566	0, 767
	0, 4	1, 3484	0, 0755	0, 6	1, 4993	0, 699
	0, 6	1, 4938	0, 0690	0, 8	1, 6180	0, 651
	0, 8	1, 6272	0, 0645		1, 7569	0, 618
		1, 7542

 

Таблица заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы содержит приближенное решение .

Сравним полученное приближенное решение с точным решением. Видим, что погрешность составляет .

 

Метод Рунге-Кутты для решения задачи Коши

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности найдем решение на отрезке следующей задачи Коши .

Возьмем шаг . Тогда .

Расчетные формулы имеют вид:

, , ,

, , .

Задача имеет точное решение: , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями .

Найденные приближенные значения решения и их погрешности представлены в таблице.

			0, 6	1, 43333
0, 1	1, 01005	10-9	0, 7	1, 63232
0, 2	1, 04081		0, 8	1, 89648
0, 3	1, 09417		0, 9	2, 2479
0, 4	1, 17351			2, 71827
0, 5	1, 28403

 

Решение краевой задачи методом прогонки

Методом прогонки решить краевую задачу:

.

Решение. Пусть .

;

;

; ;

.

Найденные значения записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение , вычислим и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны значения точного решения .

Таблица 10

		-0, 498	-0, 662	-0, 878	-0, 890	-0, 900
		0, 001	0, 002	0, 004	0, 008	0, 012
		0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5
		-0, 025	-0, 049	-0, 072	-0, 078	-0, 081
		-0, 015	-0, 029	-0, 041	-0, 050	-0, 057

 

	-0, 908	-0, 915	-0, 921	-0, 926
	0, 16	0, 022	0, 028	0, 035
	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9
	-0, 078	-0, 070	-0, 055	-0, 032
	-0, 058	-0, 054	-0, 044	-0, 026

 

Литература

 

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях [Электронный ресурс]: учебное пособие / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. - 3-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. - 240 с. - Режим доступа: http: //www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996322664.html. – ЭБС " Электронная библиотека технического ВУЗа".

2. Численные методы [Электронный ресурс] / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 7-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 636 с. - Режим доступа: http: //www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996308026.html. – ЭБС " Электронная библиотека технического ВУЗа".

3. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Текст]: учеб. пособие по курсу " Математическое моделирование" для студ. всех спец. / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2011. - 64 с. – Экземпляров всего: 3. Имеется электронный аналог печатного издания.

4. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Электронный ресурс]: учеб. пособие / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. – Электрон. текстовые дан. – Саратов: СГТУ, 2011. – 1 эл. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: 128 МБ ОЗУ; 4х CD-ROM дисковод; Microsoft Office 2003 и выше; ПК Pentium III или выше. - Загл. с экрана. – б. ц.
Электронный аналог печатного издания. Диск помещен в контейнер 14х12 см. Режим доступа: http: //lib.sstu.ru/books/zak 52_11.pdf.

5. Покровский В.В. Электромагнетизм. Методы решения задач [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Покровский В.В. – Электрон. текстовые данные. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 120 c. – Режим доступа: http: //www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996306411.html. – ЭБС «" Электронная библиотека технического ВУЗа»

6. Григорьев А.Д. Методы вычислительной электродинамики [Электронный ресурс]/ Григорьев А.Д. – Электрон. текстовые данные. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 432 c. – Режим доступа: http: //www.iprbookshop.ru/33386. – ЭБС «IPRbooks».

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

 

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Кафедра «Автоматизированные электротехнологические установки и системы»

 

Контрольная работа по дисциплине

«Численные методы решения задач электродинамики

И тепломассопереноса»

 

Вариант №

 

Выполнил: ст-т гр. б1ЭЛЭТ-21

Иванов И.И.

№ зач. книжки

Проверил: к.т.н., доцент каф. АЭУ

Алексеев В.С.

 

 

Саратов - 2015

Приложение 2

Варианты заданий

1. Решить уравнение методом половинного деления, хорд с точностью .

 

 

2. Решить уравнение методом Ньютона и итерации с точностью .

 

 

3. Решить уравнение методом хорд и касательных и видоизменённым Ньютона с точностью .

 

4. Решить систему методом простой итерации с точностью .

	С	d		С	d

 

5. Решить систему методом Зейделя с точностью .

 

	А	b		A	b

 

6. Решить систему методом простой итерации с точностью .

 

 

7. Решить систему методом Ньютона с точностью .

 

 

 

8. По заданным значениям и найти прямую и параболу методом наименьших квадратов. Найти погрешность. Построить прямую и кривую в той же системе координат, где нанесены данные точки.

№15

N
X
Y

№16

N
X		0, 12	0, 14	0, 16	0, 18	0, 2	0, 22	0, 24	0, 26	0, 28
Y	-1			1, 1	1, 3	-0, 5	-0, 3	0, 5	0, 7	1, 5

№17

N
X
Y						2, 5		3, 3	2, 8

№18

N
X
Y	-5	-3, 5	-5, 3	-4	-6	-3, 8	-4, 3	-5, 1	-4, 8

№19

N
X
Y			-1		0, 5	-0, 15	-0, 06	0, 18	0, 15	0, 2

№20

N
X
Y

 

9. 1) Заданы значения функции в узлах , получающиеся делением отрезка на 5 частей. Найти значения функции при и с помощью интерполяционных формул Ньютона.

 

0, 1	1, 0	1, 1	0, 9	0, 9	0, 8	1, 1	1, 0	1, 2	1, 2	1, 1	0, 8	0, 8	0, 8	1, 1	3, 5	0, 2	2, 1	0, 3	1, 5	0, 6
1, 2	2, 1	2, 2	2, 0	1, 9	2, 0	2, 2	2, 1	1, 8	2, 0	1, 9	2, 0	2, 2	1, 8	2, 2	4, 1	0, 7	3, 3	0, 4	4, 5	0, 8
1, 4	2, 9	3, 2	3, 0	3, 2	2, 9	3, 2	3, 1	3, 2	3, 0	3, 2	2, 8	2, 9	2, 9	3, 0	5, 3	0, 8	4, 5	0, 5	6, 2	0, 9
1, 6	3, 8	4, 2	3, 8	3, 8	4, 2	4, 2	3, 8	4, 1	3, 8	3, 8	4, 0	4, 0	4, 0	4, 1	6, 8	0, 9	5, 7	0, 6	7, 8	1, 4
1, 8	5, 2	5, 2	5, 1	5, 1	5, 2	5, 1	5, 2	5, 2	5, 0	4, 9	5, 2	5, 2	4, 9	4, 9	7, 2	1, 0	6, 9	1, 2	8, 4	1, 6
2, 0	5, 9	6, 0	5, 8	6, 1	5, 8	5, 9	6, 2	6, 1	6, 1	5, 8	6, 0	5, 8	6, 1	5, 9	8, 4	1, 3	8, 1	1, 5	9, 9	2, 3

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться:

Популярное:

1. D-технология построения чертежа. Типовые объемные тела: призма, цилиндр, конус, сфера, тор, клин. Построение тел выдавливанием и вращением. Разрезы, сечения.
2. V) Построение переходного процесса исходной замкнутой системы и определение ее прямых показателей качества
3. А. Устройство и построение тел
4. Выбор МП и построение структуры МПС.
5. Глава 2. Построение простых объектов
6. Глава 4. Построение системы аналитической отчетности
7. ДЕЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ И ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
8. Исследование функций и построение графиков.
9. Какие события на Западе послужили важнейшим аргументом в обосновании сталинского курса на построение социализма в одной стране?
10. Лабораторная работа № 14. Построение сводных таблиц
11. Лекция 15. Построение тренировки в больших циклах. Этапы цикла.
12. Мотивация, ее влияние на самосознание личности, построение «образа Я»