|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Метод простой итерации для решения СЛАУ
Применим метод простой итерации для решения системы уравнений
Заметим, что метод простой итерации сходится, так как выполняется условие преобладания диагональных элементов:
Пусть требуемая точность Приведем систему к виду:
Величина Последовательно вычисляем: при
при
при
при
Вычисляем модули разностей значений
При
Вычисляем модули разностей значений
Для сравнения приведем точные значения переменных:
Метод Зейделя для решения СЛАУ Применим метод Зейделя для решения системы уравнений из предыдущего примера. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу простых итераций. Проведем теперь итерации методом Зейделя. При
При вычислении
При вычислении
При вычислении
Аналогичным образом проведем вычисления при Получим: при
при
Известны точные значения переменных:
Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений Методом Ньютона решить систему двух уравнений: Решение. 1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепишем систему в виде: Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области За начальное приближение принимают
2) Находим
Поскольку Окончательный ответ:
Метод итерации для решения систем нелинейных уравнений Методом итерации решить систему с точностью до
Решение. 1) Приведем систему к форме:
2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два графика 3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:
Следовательно, 4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:
Выберем следующие начальные значения:
Поскольку
Метод скорейшего спуска для решения систем нелинейных уравнений Методом скорейшего спуска приближенно вычислить корни системы:
Решение. Пусть Здесь Подставляя нулевое приближение, будем иметь
Вычислим Аналогично найдем второе приближение
Тогда Для контроля вычислим невязку: Получаем решение системы:
Метод скорейшего спуска для решения СЛАУ Методом скорейшего случая решить систему уравнений:
Решение. В качестве начального приближения выберем Тогда
Вычисляя коэффициент
Отсюда
Процесс скорейшего случая для линейных систем сходится медленно. Так, здесь точное решение:
Метод наименьших квадратов Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения
Вычислим коэффициенты Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов
Решая эту систему, получим:
Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов
И коэффициенты равны:
Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3. Таблица 3
Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-11; Просмотров: 1107; Нарушение авторского права страницы
.
, 
, 
, 
.
. Вычисления будем проводить с четырьмя знаками после десятичной точки.
равна 0, 1179, т. е. выполняется условие 
и можно пользоваться критерием окончания итерационного процесса (8). В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: 
. Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины 
, 
, а следовательно, и 
не станут меньше 
.
.
.
.
при 
и 
: 
. Так как все они больше заданной точности 
, продолжаем итерации.
.
при 
и 
: 
. Все они меньше заданной точности 
, поэтому итерации заканчиваем. Приближенным решением системы являются следующие значения: 
.
. 
.
используем уже полученное значение 
: 
.
используем уже полученные значения и 
.
используем уже полученные значения 
.
и 
.
.
.
.
с точностью до 0, 001.
и 
.
и 
.
, то 
.
и 
.
.
и 
и найдя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в области 
и 
.
и 
т.е. условия сходимости выполняются.
.
, то 
и 
.
.
и 
.
, 
, 
, 
, 
, 
.
.
.
.
и так далее.
.
, 
, 
.
, получим: 
.
, причем невязка 
. Аналогично вычисляя, получим: 
; 
; 
; 
.
; 
; 
; 
.
в точках 
, 
приведены в следующей таблице.
по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация 
; 
.
и 
многочлена первой степени 
имеет вид: 
.
.
.
и 
многочлена второй степени 
имеет вид: 
.
. Тогда
.
. 
.