Исследование функций и построение графиков.

I. Возрастание и убывание функций.

Теорема 1:

а) Если функция дифференцируема на интервале , возрастает на нем, то ее производная на этом интервале .

б) Если функция дифференцируема на интервале , убывает на нем, то ее производная на этом интервале .

Теорема 2(обратная):

а) Если функция дифференцируема на интервале и то эта функция возрастает на интервале .

б) Если функция дифференцируема на интервале и то эта функция убывает на интервале .

Замечание: Теоремы 1 и 2 выражают геометрический факт: если функция возрастает, то касательная к кривой составляет острый угол с положительным направлением оси или параллельна ей; если функция убывает, то касательная к кривой составляет тупой угол с положительным направлением оси ox или параллельна ей.

II. Экстремумы функции.

Напоминание:

Функция имеет максимум в точке , если , лежащих в некоторой окрестности точки .

Функция имеет минимум в точке , если , лежащих в некоторой окрестности точки .

Замечание 1: Функция может достигать максимумовили минимумовтолько при значениях лежащих внутри отрезка .

Замечание 2: Функция на данном отрезке может иметь несколько максимумови минимумов.

Теорема 1(необходимое условие существования экстремума):

Если дифференцируемая функция имеет в некоторой точке экстремум (максимумили минимум), то производная в этой точке равна нулю.

Замечание 1: Обратное утверждение не верно, т.е. если производная в точке равна нулю, то в этой точке экстремума может и не быть. Например в точке .

Замечание 2: Функция может иметь экстремум в точках, в которых производная не определена. На пример в точке .

Определение: Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Вывод: Экстремум функция имеет в критических точках, но не всякая критическая точка будет экстремальной.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума):

Пусть функция непрерывна на интервале и дифференцируема на нем (кроме, быть может, точки ). Если при переходе через эту точку в направлении возрастания x производная меняет знак с (+) на (-), то при функция имеет максимум. Если при переходе через эту точку производная меняет знак с (-) на (+), то при функция имеет минимум.

Схема исследования на экстремум.

1. Находим производную функции .

2. Находим критические точки функции т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует.

3. Определяем знак производной в окрестности каждой критической точки.

III. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Определение:

а) График функции называется выпуклым в точке , если в некоторой окрестности точки все точки графика лежат ниже касательной, проведенной в точке .

б) График функции называется вогнутым в точке , если в некоторой окрестности точки все точки графика лежат выше касательной, проведенной в точке .

в) График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.

г) Точка графика функции, в которой выпуклость меняется на вогнутость (и наоборот) называется точкой перегиба.

Замечание: В точке перегиба, если она существует, касательная пересекает кривую.

Теорема 1:

а) Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, то график этой функции на заданном интервале является выпуклым.

б) Если во всех точках интервала вторая производная функции положительна, то график этой функции на заданном интервале является вогнутым.

Теорема 2: Если вторая производная функции в точке равна нулю или не существует и при переходе через вторая производная меняет знак, то точка является точкой перегиба функции.

Схема исследования на выпуклость и вогнутость.

1. Находим

2. Находим точки, в которых =0 или не существует

3. Исследуем знак в окрестности найденных точек.

III. Асимптоты.

Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от произвольной точки кривой до прямой, при удалении точки в бесконечность, стремится к нулю.

Асимптоты бывают двух видов – вертикальные и наклонные.

1. Вертикальные асимптоты.

Из определения следует, что, если в некоторой точке или (или оба вместе), то прямая является асимптотой к графику функции . Значит для отыскания вертикальных асимптот нужно найти значения x, при которых . Такие значения могут возникнуть в точках разрыва функции или на границе области определения.